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(北师大版)数学必修五:1.3《等比数列(第4课时)》ppt课件


成才之路 · 数学
北师大版 · 必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
数 列

第一章

数列

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第一章
§3 第4课时 等比数列

等比数列的综合应用

第一章

数列

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1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

第一章

§3

第4课时

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课前自主预习

第一章

§3

第4课时

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如今手机越来越普遍,大街小巷都可看到手机的风采,用手 机发送信息传达情谊也成为年轻人的 时尚.一条温馨的信息会带给我们无 穷的温暖.一条信息,一种关怀,设 想一人收到某信息后用 10 分钟将它 传给两个人,这两 个人又用 10 分钟将此信息各传给未知此信 息的另外两个人,如此继续下去,一天时间这种关怀可传达给 多少人?

第一章

§3

第4课时

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1.用错位相减法求数列的前 n 项和 如果数列{an}是等差数列, 公差为 d; 数列{bn}是等比数列,

错位相减法. 公比为 q,则求数列{anbn}的前 n 项和就可以运用__________
方法如下: 设 Sn=a1b1+a2b2+a3b3+?+anbn. 当 q=1 时,{bn}是常数列, nb1?a1+an? Sn=b1(a1+a2+a3+?+an)= ; 2

第一章

§3

第4课时

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当 q≠1 时,则: qSn =qa1b1+qa2b2+qa3b3+?+qanbn ________ =a1b2+a2b3+?+an-1bn+anbn+1, ∴(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+?+bn(an-an-1) -anbn+1 b1· q?1-qn 1? =a1b1+d· -anbn+1. 1-q


b1dq?1-qn-1? a1b1+ -anbn+1 1-q ∴Sn= . 1-q

第一章

§3

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2.等比数列前 n 项和性质 (1)数列{an}为等比数列,Sn 为其前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn,

等比数列.(Sn≠0) S3n-S2n,?,仍构成________
(2)若某数列前 n 项和公式为 Sn=an-1(a≠0,a≠± 1,n∈

等比数列. N+),则{an}成________
(3)若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 Sn+qnSm ①Sn+m=________. S偶 q ②在等比数列中,若项数为 2n(n∈N+),则 =______. S奇

第一章

§3

第4课时

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1.已知等比数列{an}中, an=2×3n 1, 则由此数列的偶数项


所组成的新数列的前 n 项和为( A.3n-1 1 n C.4(9 -1) [答案] D

)

B.3(3n-1) 3 n D.4(9 -1)

[解析] ∵a2=6,q=9,
n 6 ? 1 - 9 ? 3 n ′ ∴Sn = =4(9 -1). 1-9

第一章

§3

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1 n-1 2.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3· 2 +a,则 a 的值为 ( ) 1 A.-3 1 C.6 [答案] 1 B.-6 1 D.3

1 n-1 1 n [解析] ∵Sn=3· 2 +a=6· 2 +a, 又∵Sn=Aqn-A, 1 ∴a=-6.
第一章 §3 第4课时

B

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1 3.等比数列{an}的公比为2,且 S3=1,则 S6 等于( 9 A.16 16 C. 9 [答案] 9 B.8 27 D. 8

)

B

第一章

§3

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1 [解析] ∵q=2,S3=

? ?1? ? a1?1-?2?3? ? ? ? ?

1 1-2

? 1? 7 =2a1?1-8?=4a1=1, ? ?

4 ∴a1=7. 4? ?1?6? ?1-? ? ? 7? ?2? ? 8? 1? 9 ?1- ? ∴S6= 1 =7? 64?=8. 1-2

第一章

§3

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4 .若等比数列 {an} 的前 n 项和 Sn = 2n + 1 + r ,则 r 的值为
____. [答案] -2
[解析] 解法一:a1=S1=4+r, a2=S2-S1=8+r-4-r=4, a3=S3-S2=16+r-8-r=8, 又∵{an}为等比数列, ∴a2 2=a1a3, ∴16=8(4+r), ∴r=-2.
第一章 §3 第4课时

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解法二:∵Sn=2n+1+r=2·2n+r, ∴数列{an}为等比数列, ∴Sn=A·qn-A=2·2n+r,

∴r=-2.

第一章

§3

第4课时

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5 .设等比数列 {an} 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn + 1 ,

Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为________.
[答案] -2 [解析] ∵Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,
∴2Sn=Sn+1+Sn+2 ∴(Sn+1-Sn)+(Sn+2-Sn)=0, ∴an+1+an+1+an+2=0, ∴2an+1=-an+2, an+2 ∴ =-2, an+1 ∴q=-2.
第一章 §3 第4课时

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课堂典例讲练

第一章

§3

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与前n项和有关的等比数列的性质问题

各项都是正实数的等比数列{an}, 前 n 项的和记 为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40 等于( A.150 C.150 或-200 [答案] A B.-200 D.400 或-50 )

[分析] 本题思路较为广泛,可以运用等比数列前 n 项和 公式列方程,确定基本量 a1,q 后求解,也可以应用等比数列 前 n 项和的性质求解.

第一章

§3

第4课时

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[解析] 解法一:设首项为 a1,公比为 q,由题意知 q≠± 1.
10 a ? 1 - q ? ? ? 1 =10 ? 1-q 由? 30 a ? 1 - q ? ? 1 =70 ? ? 1-q 10 10

① ,由以上两式相除得 q20+q10-6 ②

a1 =0,解得 q =2 或 q =-3(舍去),代入①有 =-10,∴ 1-q a1?1-q40? S40= =-10×(-15)=150. 1-q

第一章

§3

第4课时

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解法二:易知 q≠± 1,由 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 成公比为 q10 的等比数列,则 S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10, 即 q20+q10-6=0,解得 q10=2 或 q10=-3(舍去), ∴ S40 = S10+ (S20 - S10)+ (S30 - S20)+ (S40 - S30)= 10(1 + 2+ 22+23)=150.

第一章

§3

第4课时

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解法三:运用性质 Sm+n=Sm+qmSn 求解, ∵S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10 从而有 q20+q10-6=0,解得 q10=2 或 q10=-3(舍去). ∴S40=S30+q30S10=70+8×10=150. S30 S10 解法四: 易知 q≠± 1, ∵ ∴q20+q10-6=0, 30= 10, 1-q 1-q 解得 q10=2 或 q10=-3(舍去). S30 S40 又 = ,所以 S40=150. 1-q30 1-q40

第一章

§3

第4课时

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[方法总结]

在与等比数列的和有关的问题中,合理应用

和的性质,可以简化运算,本题的解法二运用了当 q≠-1 时, 数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍成等比数列,公比为 qm,解 法三运用了等比数列的性质: Sm+n=Sm+qmSn, 解法四运用了等 Sm Sn 比数列的性质:当 q≠± 1 时, m= n. 1-q 1-q

第一章

§3

第4课时

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(2014· 全国大纲卷文,8)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn. 若 S2=3,S4=15,则 S6=( A.31 C.63 [答案] C ) B.32 D.64

第一章

§3

第4课时

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[解析] 考查了等比数列前 n 项和.
? ?a1+a2=3 由条件知:an>0,且? ? ?a1+a2+a3+a4=15 ? ?a1?1+q?=3 ∴? 2 3 ? a ? 1 + q + q + q ?=15 ? 1



∴q=2.

1-26 ∴a1=1,∴S6= =63,关键是推出 an>0,是要熟记 1-2 公式.

第一章

§3

第4课时

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用错位相减法求和

已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3 =12, (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=an· 3n,求数列{bn}的前 n 项和公式.

[分析] 解答本题可先依据条件求出 an 再求数列{bn}的前 n 项和.

第一章

§3

第4课时

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[解析] (1)设数列{an}的公差为 d,则 a1+a2+a3=3a1+3d=12, 又 a1=2,得 d=2,∴an=2n. (2)由 bn=an· 3n=2n· 3n,得 Sn=2· 3+4· 32+?+(2n-2)· 3n-1+2n· 3n ① 3Sn=2· 32+4· 33+?+(2n-2)· 3n+2n· 3n+1② ①-②得 -2Sn=2(3+32+33+?+3n)-2n· 3n+1 =3(3n-1)-2n· 3n+1, 3?1-3n? + 所以 Sn= 2 +n· 3n 1.
第一章 §3 第4课时

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[方法总结]

如果数列{an}是等差数列,{bn}是公比为 q 的

等比数列,则数列{anbn}的前 n 项和一般可采用这一“错项相 减”求和法,解题的关键是在等式 Sn=a1b1+a2b2+?+anbn 的 两 边同乘以等比数列{an}的公比 q,得 qSn,由 Sn-qSn 消去相 同的项,或合并同类项化简得 Sn,在写 Sn 与 qSn 表达式时,应 特别注意“错项对齐”,以便于下一步准确写出 Sn.

第一章

§3

第4课时

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(2014· 安徽文,18)数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+ n(n+1),n∈N* an (1)证明:数列{ n }是等差数列; (2)设 bn=3n· an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an+1 an an+1 an [解析] (1)由已知得 = +1,即 - =1, n+1 n n+1 n

a1 an ∴{ n }是以 1 =1 为首项,1 为公差的等差数列.

第一章

§3

第4课时

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an (2)由(1)得 n =1+(n-1)×1=n, ∴an=n2, ∴bn=n· 3n Sn=1· 31+2· 32+3· 33+?+n· 3n① ∴3Sn=1· 32+2· 32+?+(n-1)· 3n+n· 3n 1 ②


①-②得-2Sn=31+32+33+?+3n-n· 3n
n+1 3?1-3n? 3 ?1-2n?-3 n+1 = -n· 3 = 2 1-3

+1

?2n-1?3n+1+3 ∴Sn= . 4
第一章 §3 第4课时

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数列与函数的综合应用
以数列 {an} 的任意相邻两项为横、纵坐标的点 Pn(an,an+1)(n∈N*)均在一次函数 y=2x+k 的图像上,数列 bn =an+1-an(n∈N*,b1≠0). (1)求证:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 S6=T4, S5=-9,求 k 的值.

第一章

§3

第4课时

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[分析 ]

(1)本题考查等比数列与函数知识.先由点 P(an ,

an+1)在一次函数y=2x+k上,结合bn=an+1-an,求出bn与bn+1 之间的关系;(2)利用(1)中得到的结论求出Sn,Tn及其关系后利 用S6=T4,S5=-9,求k的值. [解析] (1)由题意,得 an+1=2an+k,bn=an+1-an,
∴bn=2an+k-an=an+k, ∴bn+1=an+1+k=(2an+k)+k=2(an+k). 即 bn+1=2bn. bn+1 ∵b1≠0,∴ b =2(n∈N*), n ∴数列{bn}是以 2 为公比的等比数列.
第一章 §3 第4课时

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(2)由(1),得 bn=an+k 及{bn}是公比为 2 的等比数列,得 b1?1-2n? Tn= =b1(2n-1), 1-2 由 bn=an+k 得 Tn=Sn+nk, ∴Sn=b1(2n-1)-nk. ∵S6=T4,S5=-9,
? ?63b1-6k=15b1, ∴? ? ?31b1-5k=-9,

解得 k=8.

第一章

§3

第4课时

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[方法总结] nk,即Tn=Sn+nk.

本题是等比数列与函数、方程组合的综合性

问题.注意由bn=an+k可得b1+b2+?+bn=a1+a2+?+an+

第一章

§3

第4课时

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已知 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+?+anxn,且 a1,a2,a3,?, an 组成等差数列(n 为正偶数),又 f(1)=n2,f(-1)=n. (1)求数列的通项公式 an; 1 (2)试比较 f(2)与 3 的大小,并说明理由.

第一章

§3

第4课时

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[解析] (1)∵f(x)=a1x+a2x2+a3x3+?+anxn, f(1)=n2,f(-1)=n, ∴f(1)=a1+a2+a3+?+an=n2, f(-1)=-a1+a2-a3+a4-?-an-1+an=n. n?a1+an? 2 n 由题意,得 =n ,2d=n. 2 ∴a1+an=2n,d=2,∴2a1+(n-1)×2=2n,∴a1=1,∴ an=2n-1.

第一章

§3

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1 1 12 1n (2)∵f(2)=2+3×(2) +?+(2n-1)×(2) , 1 1 12 13 1n 1n ∴2f(2)=(2) +3×(2) +?+(2n-3)×(2) +(2n-1)×(2)
+1

1 1 1 12 13 .以上两式左右两边分别相减,得2f(2)=2+2×(2) +2×(2)

1n 1 n+1 +?+2×(2) -(2n-1)×(2) ,

第一章

§3

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1 1 12 1 n-1 1n ∴f(2)=1+2×(2)+2×(2) +?+2×(2) -(2n-1)×(2) 1 1 n-1 2[1-?2? ] 1 1 1 =1+2× 1 -(2n-1)×2n=3-2n-2-(2n-1)×2n<3, 1-2 1 综上所述,f(2)<3.

第一章

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易混易错点睛

第一章

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若数列{an}的前 n 项和为 Sn=an-1(a≠0), 则数 列{an}是( ) A.等比数列 B.等差数列 C.可能是等比数列,也可能是等差数列 D.可能是等比数列,但不可能是等差数列

第一章

§3

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[误解]

A an+1 ,则有 a =a-1(常数),故选 A. n

由 Sn=an-1,得 an=(a-1)a
n-1

[辨析] 错误的原因在于:当 a=1 时,an=0,{an}是等差 数列,而不是等比数列,这是没有理解等比数列中 an≠0 而造 成的.

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§3

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[正解]

C

由 Sn=an-1,得

an=(a-1)an-1. 当 a=1 时,an=0,数列{an}为等差数列; an+1 当 a≠1 时, a =a-1,(不为零的常数), n 则数列{an}为等比数列,故选 C.

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本节思维导图

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?错位相减求和法 等比数列 ? ?等比数列前n项和性质 的综合应用? ?数列与函数的应用

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