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江苏专用2018高考数学一轮复习第八章立体几何第42课空间几何体的结构及其表面积与体积教师用书


第 42 课
[最新考纲]

空间几何体的结构及其表面积与体积
要求 A √ √ B C

内容 柱、锥、台、球及其简单组合体 柱、锥、台、球的表面积与体积

1.空间几何体的结构特征 (1)多面体 ①棱柱的两个底面是全等的多边形,且对应边互相平行,侧面都是平行四边形. ②棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. ③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形. (2)旋转体 ①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到. ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. ③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、 下底中点连线所在直线旋转 得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到. ④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 柱体 (棱柱和圆柱) 锥体 (棱锥和圆锥) 台体 (棱台和圆台) 球 表面积 体积

S 表面积=S 侧+2S 底

V=Sh
1 3

S 表面积=S 侧+S 底
1 3

V= Sh

S 表面积=S 侧+S 上+S 下

V= (S 上+S 下+ S上S下)h
4 3

S=4π R2

V= π R3

1

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( (2)球的体积之比等于半径比的平方.( ) ) 3 a.( 2 ) )

(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(

(4)已知球 O 的半径为 R,其内接正方体的边长为 a,则 R= [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm ,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆 的半径为________ cm. 2 [S 表=π r +π rl=π r +π r·2r=3π r =12π ,∴r =4,∴r=2(cm).]
2 2 2 2

2

3.(2016·全国卷Ⅱ改编)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积 为________. 12π [设正方体棱长为 a,则 a =8,所以 a=2.
3

所以正方体的体对角线长为 2 3,所以正方体外接球的半径为 3,所以球的表面积为 4π ·( 3) =12π .] 4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧面积相等,
2

S1 9 V1 且 = ,则 的值是________. S2 4 V2
3 2

S1 9 r1 [设甲、乙两圆柱的底面半径分别为 r1,r2,母线长分别为 l1,l2,则由 = 得 = S2 4 r2

3 l1 r2 2 V1 S1l1 9 2 3 .又两圆柱侧面积相等,即 2π r1l1=2π r2l2,则 = = ,所以 = = × = .] 2 l 2 r1 3 V2 S2l2 4 3 2 5.如图 42?1,在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A?BB1D1D 的体积为________cm .
3

图 42?1 6 [连结 AC 交 BD 于 O,在长方体中,

∵AB=AD=3,∴BD=3 2且 AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又 DB∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D,

2

1 3 2 ∴AO 为四棱锥 A?BB1D1D 的高且 AO= BD= . 2 2 ∵S 矩形 BB1D1D=BD×BB1=3 2×2=6 2, 1 1 3 2 3 ∴VA?BB1D1D= S 矩形 BB1D1D·AO= ×6 2× =6(cm ).] 3 3 2

空间几何体的结构特征 (1)下列说法正确的是________.(填序号) ①有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱; ②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形; ③有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ④棱台的各侧棱延长后不一定交于一点. (2)以下命题: ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确的命题有________.(填序号) (1)② (2)③ [(1)如图①所示, 可知①错. 如图②, 当 PD⊥底面 ABCD, 且四边形 ABCD

为矩形时,则四个侧面均为直角三角形,②正确.

① 根据棱台的定义,可知③,④不正确.



(2)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误,③正确.对于命题④,只有平行于圆锥 底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,④不正确.] [规律方法] 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念, 要 善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可. 2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元 素的关系. 3.因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为
3

锥”的解题策略. [变式训练 1] 下列结论正确的是________.(填序号) ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥; ②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体; ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥; ④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线. ④ [如图①知,①不正确.如图②,两个平行平面与底面不平行时,截得的几何体不

是旋转体,则②不正确.





③错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以 正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长. 由母线的概念知,选项④正确.] 空间几何体的表面积与体积

(1)(2016·苏锡常镇调研二)设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1,

V1 3 S1 S1, 底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2, S2, 若 = , 则 的值为________. V2 π S2
【导学号:62172230】 (2)在梯形 ABCD 中,∠ABC= π ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的 2

直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 3 2 (1) π 1 3 5π (2) 3 [(1)由题意可知 V1=a ,S1=6a , πr 2 ,S2= 2π r , 3
2 3 3 2

V2= ×π r2×r=

V1 3 S1 6a 3 2 由 = 得 a=r,所以 = = . 2 V2 π S2 π 2π r
(2)过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E,梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋 转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径, 线段 BC 为母线的 圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径,ED 为高的圆锥,如图所示.

4

由于 V 圆柱=π ·AB ·BC=π ×1 ×2=2π ,

2

2

V 圆锥= π ·CE2·DE= π ·12×(2-1)= ,
π 5π 所以该几何体的体积 V=V 圆柱-V 圆锥=2π - = .] 3 3 [规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解. 2. 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出, 则常用转换法(转换的原则是使底 面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解. 易错提醒:对于简单组合体的表面积计算,应首先搞清各构成部分,并注意重合部分的 处理. [变式训练 2] (2017·徐州模拟)设 M,N 分别为三棱锥 P?ABC 的棱 AB,PC 的中点,三 棱锥 P?ABC 的体积记为 V1,三棱锥 P?AMN 的体积记为 V2,则 =________. 1∶4 [∵N 为棱 PC 的中点,

1 3

1 3

π 3

V2 V1

1 ∴VP?ABN= V1, 2 1 又 M 为棱 AB 的中点,则 VA?PMN=VB?PMN= V1 4 1 ∴VP?AMN= V1, 4

V2 1 ∴ = .] V1 4
多面体与球的切、接问题 (2016·全国卷Ⅲ改编)在封闭的直三棱柱 ABC?A1B1C1 内有一个体积为 V 的球. 若

AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是________.
9π 2 [由 AB⊥BC,AB=6,BC=8,得 AC=10,要使球的体积 V 最大,则球与直三棱柱

1 1 的部分面相切, 若球与三个侧面相切, 设底面△ABC 的内切圆的半径为 r.则 ×6×8= ×(6 2 2 +8+10)·r,则 r=2. 此时 2r=4>3,不合题意. 因此球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径 r 最大. 3 由 2r=3,即 r= . 2 4 9 3 故球的最大体积 V= π r = π .] 3 2 [迁移探究 1] 若本例中的条件变为“直三棱柱 ABC?A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面
5

上”,若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,求球 O 的表面积. [解] 将直三棱柱补形为长方体 ABCE?A′B′C′E′, 则球 O 是长方体 ABCE?A′B′C′E′的外接球, ∴体对角线 BC′的长为球 O 的直径. 因此 2r= 3 +4 +12 =13, 故 S 球=4π r =169π . [迁移探究 2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球 O 的球面上”,若该棱锥 的高为 4,底面边长为 2,求该球的体积. [解] 如图,设球心为 O,半径为 r,
2 2 2 2

则在 Rt△AOF 中,(4-r) +( 2) =r , 9 解得 r= , 4 4 4 ?9?3 243π . 3 则球 O 的体积 V 球= π r = π ×? ? = 3 3 16 ?4? [规律方法] 1.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.球与旋转体的组合 通常是作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切 点”、“接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点 P,A,B,C 中 PA,PB,PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直, 可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题. [变式训练 3] 已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ∠AOB=90°, C 为该球面上的动点. 若 三棱锥 O?ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为________. 【导学号:62172231】 144π 1 2 [如图,设球的半径为 R,∵∠AOB=90°,∴S△AOB= R . 2

2

2

2

∵VO?ABC=VC?AOB,而△AOB 面积为定值, ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时,VO?ABC 最大, ∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时, 体积 VO?ABC 最大为 1 1 2 × R ×R=36, 3 2 ∴R=6,∴球 O 的表面积为 4π R =4π ×6 =144π .]
2 2

6

[思想与方法] 1.转化与化归思想:计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面 展开化为平面图形, “化曲为直”来解决, 因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平 面图形面积的求法. 2.求体积的两种方法:①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成 已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前 提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到, 利用等积法可以用来求解 几何图形的高或几何体的高. [易错与防范] 1.求组合体的表面积时,要注意各几何体重叠部分的处理,防止重复计算. 2.底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义,以防出错. 课时分层训练(四十二) A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 1.已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周 而形成的曲面所围成的几何体的体积为________. 4 2π 3 [依题意知,该几何体是以 2为底面半径, 2为高的两个同底圆锥组成的组合

1 4 2 2 体,则其体积 V= π ( 2) ×2 2= π .] 3 3 2.正三棱柱 ABC?A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3,D 为 BC 中点,则三棱锥 A?B1DC1
7

的体积为________. 【导学号:62172232】 1 [在正△ABC 中,D 为 BC 中点, 3 AB= 3, 2 1 2

则有 AD=

S△DB1C1= ×2× 3= 3.
又∵平面 BB1C1C⊥平面 ABC,AD⊥BC,AD? 平面 ABC,∴AD⊥平面 BB1C1C,即 AD 为三棱 锥 A?B1DC1 底面上的高. 1 1 ∴V 三棱锥 A?B DC = S△DB C ·AD= × 3× 3=1.] 1 1 1 1 3 3 3.已知底面边长为 1,侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的 体积为________. 4π 3 [依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径为 R,则 2R=

4π 3 4π 2 2 2 1 +1 +? 2? =2,解得 R=1,所以 V= R = .] 3 3 1 4.已知圆台的母线长为 4 cm,母线与轴的夹角为 30°,上底面半径是下底面半径的 , 2 则这个圆台的侧面积是________ cm . 24π [将圆台还原为圆锥后的轴截面如图所示,由题意知 AC=4 cm,∠ASO=30°,
2

O1C= OA,

1 2

设 O1C=r,则 OA=2r, 又

O1C OA = =sin 30°, SC SA

∴SC=2r,SA=4r.

AC=SA-SC=2r=4 cm.
∴r=2 cm. ∴圆台的侧面积为:

S=π (r+2r)×4=24π (cm2).]
5.一个六棱锥的体积为 2 3,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六 棱锥的侧面积为________. 12 [设正六棱锥的高为 h,棱锥的斜高为 h′.
8

1 1 由题意,得 ×6× ×2× 3×h=2 3,∴h=1, 3 2 1 2 2 ∴斜高 h′= 1 +? 3? =2,∴S 侧=6× ×2×2=12.] 2 6.(2017·泰州中学高三摸底考试)在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若 使△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是________. 3π 2 [过 A 作 AD 垂直 BC 于 D 点,则 AD= 3,BD=1,CD=2.5,因此所形成的几何体

1 3π 2 的体积是 ×π ·( 3) (2.5-1)= .] 3 2 7.(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2, 高为 8 的圆柱各一个, 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变, 但底面半径相同的新的 圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为______. 7 [设新的底面半径为 r,由题意得

1 1 2 2 2 2 ×π ×5 ×4+π ×2 ×8= ×π ×r ×4+π ×r ×8, 3 3 ∴r =7,∴r= 7.] 8.(2016·苏北三市三模)已知圆锥的母线长为 10 cm,侧面积为 60π cm ,则此圆锥 的体积为________cm . 96π [设圆锥的底面半径为 r,则 S 侧=π r×10=60π ,
3 2 2

∴r=6. ∴圆锥的高 h= 10 -6 =8. 1 1 2 ∴圆锥的体积 V= π r h= π ×36×8=96π .] 3 3 9. (2016·泰州期末)如图 42?2, 长方体 ABCD?A1B1C1D1 中, O 为 BD1 的中点, 三棱锥 O?ABD 的体积为 V1,四棱锥 O?ADD1A1 的体积为 V2,则 的值为________.
2 2

V1 V2

图 42?2 1 2 [设 AB=a,AD=b,A1A=c,则

1 1 1 1 1 abc V1= S△ABD· A1A= × ab× c= . 3 2 3 2 2 12

9

1 1 1 1 abc V2= S 矩形 ADD1A1· AB= ×bc× a= . 3 2 3 2 6

V1 1 ∴ = .] V2 2
10.(2013·江苏高考)如图 13?6,在三棱柱 A1B1C1?ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点.设三棱锥 F?ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1?ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________.

图 13?6 1∶24 [设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S,高为 h,则其体积为 V2=Sh.因为 D,E 分别 1 为 AB,AC 的中点,所以△ADE 的面积等于 S.又因为 F 为 AA1 的中点,所以三棱锥 F?ADE 的 4 1 1 1 1 1 1 高等于 h,于是三棱锥 F?ADE 的体积 V1= × S· h= Sh= V2,故 V1∶V2=1∶24.] 2 3 4 2 24 24 11.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α ,H 为垂足,α 截球

O 所得截面的面积为 π ,则球 O 的表面积为________.
【导学号:62172233】 9 π 2 1 3 [如图,设球 O 的半径为 R,则由 AH∶HB=1∶2 得 2 3

HA= ·2R= R,
∴OH= . 3 ∵截面面积为 π =π ·HM , ∴HM=1. 在 Rt△HMO 中,OM =OH +HM , 1 2 1 2 2 2 ∴R = R +HM = R +1, 9 9 3 2 ∴R= , 4 ∴S 球=4π R =4π ·?
2 2 2 2 2

R

?3 2?2 9 ? = π .] ? 4 ? 2

12.(2017·南京盐城二模)如图 42?3,正三棱柱 ABC?A1B1C1 中,AB=4,AA1=6.若 E,F 分别是棱 BB1,CC1 上的点,则三棱锥 A?A1EF 的体积是________.

10

图 42?3 8 3 [极限法,取 E,F 分别与 B1,C1 重合,则 1 3 1 1 3 2

S 三棱锥 A?A1EF= S△A1B1C1·AA1= × AB2sin 60°·AA1
1 3 = ×16× ×6=8 3.] 6 2 B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 2 2 1.已知一个圆锥的底面圆的半径为 1,体积为 π ,则该圆锥的侧面积为________. 3 【导学号:62172234】 3π [设圆锥的母线长为 l,高为 h,

1 2 则由 V= π r ·h, 3 得 h= 3V 2 2π =2 2. 2= πr π

1 2 2 ∴母线 l= h +r =3,故圆锥的侧面积为 S= (2π r)l=π rl=π ×1×3=3π .] 2 2.(2017·苏州期末)将半径为 5 的圆分割成面积之比为 1∶2∶3 的三个扇形作为三个 圆锥的侧面,设这三个圆锥的底面半径依次为 r1,r2,r3,则 r1+r2+r3=________. 5 1 5 [∵2π r1= ×10π ,∴r1= , 6 6

10 15 同理 r2= ,r3= , 6 6 30 ∴r1+r2+r3= =5.] 6 3.(2017·扬州期末)已知正四棱锥底面边长为 4 2,体积为 32,则此四棱锥的侧棱长 为________.

11

5

1 [设正四棱锥的高为 h,则 ×4 2×4 2×h=32, 3

∴h=3,∴底面对角线的长为 4 2× 2=8. 侧棱长为 3 +4 =5.] 4.如图 42?4,正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则 三棱锥 D1?EDF 的体积为________.
2 2

图 42?4 1 6 [VD1?EDF=VF?DED1,

△DED1 的面积为正方形 AA1D1D 面积的一半, 三棱锥 F?DED1 的高即为正方体的棱长, 1 所以 VD1?EDF=VF?DED1= S△DED1·h 3 1 1 1 = × DD1×AD×AB= .] 3 2 6 5.(2017·南京模拟)已知正三棱柱的各条棱长均为 a,圆柱的底面直径和高均为 b,若 它们的体积相等,则 a ∶b 的值为________. π∶ 3 [正三棱柱的体积 V1= 3 2 3 a ·a= a3, 4 4
3 3

π 3 ?b?2 圆柱的体积 V2=π ? ? ·b= b . 4 ?2? ∴ 3 3 π 3 a= b, 4 4
3 3

∴a ∶b =π ∶ 3.] 6.(2017·无锡期末)在圆锥 VO 中,O 为底面圆心,半径 OA⊥OB,且 OA=VO=1,则 O 到平面 VAB 的距离为________.

图 42?5

12

3 3

[由题意可知 VA=VB= 2,AB= 2.

1 1 1 1 ∴VV?AOB= ×S△AOB×VO= ×1×1× ×1= . 3 3 2 6 1 1 1 1 ∴VO?ABV= S△ABV×h= × × 2× 2×sin 60°×h= . 3 3 2 6 ∴h= 3 .] 3

13


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