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2015年高考数学一轮复习 第二章 不等式 第5课 二次函数的图像和性质教师版) 文(含解析)


第 5 课:二次函数的图象与性质
一、基础知识点及方法 1.二次函数: 形如 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 称为二次函数,特别注意: a ? 0 例题 1、写出下列函数的对称轴、顶点坐标、值域、单调区间并作出它们的简图。 (1) f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 (2) f ( x) ? ? x2 ? x ? 2 【解析】 (1) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 4 , ? 对称轴 x ? ?1 ,顶点坐标 (?1 , ? 4) ,值域 [?4 , ? ?) 单调增区间 [?1, ? ?) 、单调减区间 (?? , ? 1)

1 2 9 2 4 1 1 9 9 ? 对称轴 x ? ,顶点坐标 ( , ) ,值域 ( ?? , ] 2 2 4 4 1 1 单调增区间 ( ?? , ) 、单调减区间 [ , ? ?) 2 2
(2) f ( x) ? ? x ? x ? 2 ? ?( x ? ) ?
2

练习一:填表

a?0
图象

a?0

定义域 值域 顶点坐标

R

R

单调性

4ac ? b2 , ??) 4a b 4ac ? b2 (? , ) 2a 4a b b ) , ??) 增区间 ( ?? , 增区间 (? 2a 2a b b , ??) ) 减区间 (? 减区间 ( ?? , 2a 2a (??,
2

4ac ? b ] 4a

[

练习 2、作出下列函数的图象(简图) (1) f ( x) ? ? x ? x ? 2( x ? 1)
2

(2) f ( x) ? ? x ? x ? 2, x ? (?1,1)
2

1

2.二次函数的解析式 (1)一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c (2)顶点式: f ( x) ? a( x ? m)2 ? n (3)交点式: f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 例题二: 已知二次函数的图象过点 (1, 0) , (?1, 4) , (0 , ? 3) 求这个二次函数的解析式,并写 出函数的值域和单调区间? 【解析】设该二次函数为 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) .

?a ? b ? c ? 0 ? 由条件得 ? a ? b ? c ? ?4 ? ? c ? ?3 ?

? a ? 1, ? ?b ? 2, . ?c ? ?3. ?

∴所求的二次函数的解析式为 y ? x2 ? 2x ? 3 .

? y ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 4 ? 值域为 [?4 , ? ?) ,递增区间为 [?1, ? ?) ,递减区间为 (?? , ? 1)
3.二次函数图象的对称性应用 变式 1:二次函数 f ( x ) 满足 f (?1) ? f (2) ? ?1 且 f ( x ) 的最大值为 8,求此二次函数的解 析式? 4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 设 f(x)=ax +bx+c (a≠0),依题意有? 4ac-b ? ? 4a =8,
2 2

【解析】方法 1:

a=-4, ? ? 解之,得?b=4, ? ?c=7,

∴所求二次函数为 y=-4x +4x+7.

2

方法 2: 设 f(x)=a(x-m) +n,a≠0.∵f(2)=f(-1), 2+(-1) 1 1 ∴抛物线对称轴为 x= = .∴m= . 2 2 2

2

? 1?2 又根据题意函数有最大值为 n=8,∴y=f(x)=a?x- ? +8. ? 2? ? 1?2 ∵f(2)=-1,∴a?2- ? +8=-1,解之,得 a=-4. ? 2? ? 1?2 2 ∴f(x)=-4?x- ? +8=-4x +4x+7. ? 2?
2 变式 2:二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 满足 f (?1) ? f (3) 则





A f (0) ? f (2) 【答案】C

B f (0) ? f (2)

C f (0) ? f (2)

D 无法比较 f (0)、f (2) 的大小

2 【解析】∵二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足 f (?1) ? f (3) ,

∴二次函数的对称轴为 x ?

?1 ? 3 ? 1 .∵ 0 ?1 ? 2 ?1 ,∴ f (0) ? f (2) . 2
2

加问:试比较 f (?1)、f (2) 的大小? 【解析】由上面解条及图象可知,当 a ? 0 时, f (?1) ? f (2) ;当 a ? 0 时, f (?1) ? f (2) 4.二次函数的单调性应用 例题 3:如果函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 在区间 (2,3) 内是单调增函数,则 a 的取值范围 【答案】 (?? , 2] 【解析】 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 的对称轴为 x ? a ,所以 f ( x ) 的递增区间为 [a , ? ?)

? f ( x) 在区间 (2,3) 内是单调增函数,? a ? 2 , a 的取值范围是 (?? , 2] 变式:若函数在区间 (2,3) 内是单调函数,则 a 的取值范围
【答案】 (?? , 2] ? [3 , ? ?) 【解析】 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 的对称轴为 x ? a ,所以 f ( x ) 的递增区间为 [a , ? ?) ,递 减区间为 (?? , a]

? f ( x) 在区间 (2,3) 内是单调函数, ?a ? 2, 或 a ? 3 a 的取值范围是 (?? , 2] ? [3 , ? ?)

第 5 课:二次函数的图象与性质作业题 1. 画出函数 f ( x) ? 2 x ? 8x ? 8 的图象
2

由图象可知, f ( x ) 的定义域为 R 顶点坐标为 (2 , 0) ,对称轴为 x ? 2 值域为 [0 , ? ?) ,递增区间为 [2 , ? ?)

?? x 2 ? 2 x x ? 2 2. 画出函数 f ( x) ? ? 的图象 x?2 ?x ? 2
由图可知 f ( x ) 的递增区间为 (?? ,1] , (2 , ? ?)

f ( x) 的递减区间为 (1, 2)
3. 函 数 f ( x) ? x ? px ? q 对 任 意 的 x 均 有
2

f( 1 ? x ) ? f (?1,那么 x ) f (0) 、 f (?1) 、 f (1) 的大小关系为(
A. f (1) ? f (?1) ? f (0) C. f (1) ? f (0) ? f (?1) B. f (0) ? f (?1) ? f (1) D. f (?1) ? f (0) ? f (1)



3

【答案】C 4. 若函数 f(x)=x +ax+c 满足 f(-1)= f(3),则 ( A.f(0)>f(2) 【答案】C 5.已知函数 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 5 在区间 [?2,??) 上是增函数,求 f (1) 的范围 【解析】二次函数的对称轴为 x ? ∴ B.f(0)<f(2) C.f(0)=f(2)
2

) D.不能确定

m ,∵ f ( x ) 在区间 [?2,??) 上是增函数, 8

m ? ?2 ,解得 m ? ?16 ,∴ f (1) ? 9 ? m ? 25 . 8

2 6. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx 对任意 x ? R 均有 f (? 4 ? x) ? f (2 ? x) 成立, 且函数的

图象过点 A (1, ) .求函数 y ? f ( x) 的解析式; (提示:先求出对称轴) 【解析】? f (? 4 ? x) ? f (2 ? x) ,? 对称轴为 x ?

3 2

?4 ? 2 ? ?1 2

? b 1 ? ? ?1 ? ? 1 2 ? 2a ?a ? 所以 ? ,解得 ? 2 ,所以函数 y ? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? x ? x 2 ?a ? b ? 3 ? b ?1 ? ? ? 2
7. 已知二次函数 f ? x ? 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ? 0? ? 0 , f ?1? ? 1 . (1)求 f ? x ? 的解析式; (2)若 f ? x ? 在区间 [m , n] 上的值域是 [m , n] ,并且 n ? 1 求 m 、 n 的值. (提示:先求出对 称轴) 【解析】(1)设 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0? .
2

? ?c ? 0 ? a ? ?1 ? ? 2 由已知得 ?a ? b ? c ? 1 ,解得 ?b ? 2 所以 f ? x ? ? ?x ? 2x . ?c ? 0 ? b ? ?? ?1 ? 2a
(2) f ? x ? ? ?( x ?1) ? 1 ,显然 n ? 1 ,
2

所以区间 [m , n] 在函数的对称轴 x ? 1 的左边,

所以 ?

? f (m) ? m 2 , 即 m 、n 是方程 ? x ? 2 x ? x 的两根. 又 m? n , 所以 m ? 0 ,n ? 1 . ? f (n) ? n

4

8.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 满足 f (0) ? 0 ,对于任意 x ? R 都有 f ( x) ? x ,且

1 1 f (? ? x) ? f (? ? x) ,求函数 f ( x) 的表达式. 2 2
【解析】∵ f (0) ? 0 ,∴ c ? 0 . ∴函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? ? ∵对于任意 x ? R 都有 f (?

1 1 ? x) ? f (? ? x) , 2 2

1 b 1 ? ? ,得 a ? b . ,即 ? 2 2a 2

对于任意 x ? R 都有 f ( x) ? x ,即 ax2 ? (b ?1) x ? 0 对于任意 x ? R 都成立, ∴ a ? 0 ,且 ? ? ? b ? 1? ? 0 .
2

∵ (b ? 1)2 ? 0 , ∴ b ? 1, a ? 1 .

∴函数 f ( x ) 的表达式 f ( x) ? x2 ? x .

5


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