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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 案例探究三角函数模型的简单应用例题讲解素材 北师大版必修4


陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 案例探究三角函数模 型的简单应用例题讲解素材 北师大版必修 4
三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一,本节主要帮助考生深刻理解正、 余弦定理,掌握解斜三角形的方法和技巧. ●难点磁场 (★★★★★)已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B. cos

1 1 2 ? ?? ,求 cos A cos C cos B

A?C 的值. 2
●案例探究 [例 1]在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观

察站 P,上午 11 时,测得一轮船在岛北 30°东,俯角为 60°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北 60°西、俯角为 30°的 C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远? 命题意图: 本题主要考查三角形基础知识, 以及学生的识图能力和综合运用三角知识解 决实际问题的能力. 知识依托:主要利用三角形的三角关系,关键找准方位角,合理利用边角关系. 错解分析:考生对方位角识别不准,计算易出错. 技巧与方法:主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题. 解:(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB= 3 (千米) 在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°

3 (千米) 3

? BC ? AC 2 ? AB 2 ? ( 30 1 ? ? 2 30 (千米 / 时) 3 6

3 2 30 ) ? ( 3)2 ? 3 3

(2)∠DAC=90°-60°=30° sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=

AB ? BC

3 30 3

?

3 10 10

1

sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30° ?

3 10 . 10

3 1 3 (3 3 ? 1) 10 ? ? 1? ( 10 ) 2 ? 2 2 10 20
在△ACD 中,据正弦定理得

AD AC , ? sin DCA sinCDA

3 3 10 ? AC ? sin DCA 9? 3 10 ∴ AD ? ? 3 ? sin CDA 13 (3 3 ? 1) 10 20 9? 3 答:此时船距岛 A 为 千米. 13

[例 2]已知△ABC 的三内角 A、B、C 满足 A+C=2B,设 x=cos

A?C , 2

f(x)=cosB(

1 1 ). ? cos A cos C

(1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域. 命题意图: 本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力, 并且考查考生对基础 知识的灵活运用的程度和考生的运算能力,属★★★★级题目. 知识依托:主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题. 错解分析: 考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点, 并且不易想到运用函数的单 调性去求函数的值域问题. 技巧与方法:本题的关键是运用三角函数的有关公式求出 f(x)的解析式,公式主要是 和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意| 解:(1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120°

A?C |的范围. 2

A?C A?C cos 1 cos A ? cos C 2 2 f ( x) ? ? ? 2 cos A ? cos C cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) x 2x ? ? 2 , 1 4 x ? 3 2 ? ? 2x ?1 2 2 cos
∵0°≤|

A?C A?C 1 |<60°,∴x=cos ∈( ,1 ] 2 2 2

2

又 4x -3≠0,∴x≠

2

3 3 3 1 ,∴定义域为( , )∪( ,1]. 2 2 2 2

(2)设 x1<x2,∴f(x2)-f(x1)=

2 x2 4 x2 ? 3
2

?

2 x1 4 x1 ? 3
2

=

2( x1 ? x2 )( 4 x1 x2 ? 3) (4 x1 ? 3)( 4 x2
2 2

1 3 2 2 ,若 x1,x2∈( , ),则 4x1 -3<0,4x2 -3<0,4x1x2+3>0, 2 2 ? 3)

x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0
即 f(x2)<f(x1),若 x1,x2∈(
2

3 2 ,1] ,则 4x1 -3>0. 2

4x2 -3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0.

3 3 1 , )和( ,1 ] 上都是减函数. 2 2 2 1 1 (3)由(2)知,f(x)<f( )=- 或 f(x)≥f(1)=2. 2 2 1 故 f(x)的值域为(-∞,- )∪[2,+∞ ) . 2
即 f(x2)<f(x1),∴f(x)在( ●锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形; (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化; (3)能熟练运用三角形基础知识,正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合,通过 等价转化或构建方程解答三角形的综合问题,注意隐含条件的挖掘.

3

参考答案 难点磁场 解法一:由题设条件知 B=60°,A+C=120°. 设α =

A?C ,则 A-C=2α ,可得 A=60°+α ,C=60°-α , 2 1 1 1 1 所以 ? ? ? cos A cos C cos(60? ? ?) cos(60? ? ?) 1 1 cos ? cos ? ? ? ? ? , 1 3 3 2 2 2 1 3 1 3 cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 4 4 4 2 2 2 2
cos ?

依题设条件有

? 2 ? , 3 cos B cos 2 ? ? 4 1 cos ? ? cos B ? ,? ? ?2 2 . 2 cos 2 ? ? 3 4
2

整理得 4 2 cos α +2cosα -3 2 =0(M) (2cosα - 2 )(2 2 cosα +3)=0,∵2 2 cosα +3≠0, ∴2cosα - 2 =0.从而得 cos

A?C 2 ? . 2 2

解法二:由题设条件知 B=60°,A+C=120°

?

? 2 1 1 ? ?2 2 ,? ? ? ?2 2 cos 60? cos A cos C

①,

把①式化为 cosA+cosC=-2 2 cosAcosC ②, 利用和差化积及积化和差公式,②式可化为

2 cos
③,

A?C A?C cos ? ? 2[cos( A ? C) ? cos( A ? C)] 2 2

1 1 A?C =cos60°= ,cos(A+C)=- 代入③式得: 2 2 2 A?C 2 cos ? ? 2 cos( A ? C ) ④ 2 2 A?C A?C A?C 2 2 将 cos(A-C)=2cos ( )-1 代入 ④:4 2 cos ( )+2cos -3 2 =0, 2 2 2
将 cos

4

A?C A?C ? 2 2 )( 2 2 cos ? 3) ? 0, 2 2 (*), A?C A?C A?C 2 ? 2 2 cos ? 3 ? 0,? 2 cos ? 2 ? 0, 从而得 : cos ? . 2 2 2 2 (2 cos

5


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