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1.3三角函数的诱导公式练习题


1.3

三角函数的诱导公式
(第一课时)

终边相同的角同一三角函数值相等.

sin(? 诱导公式一:

? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan( ? k ? 2? ) ? tan? ? (k ? z )

利用诱导公式一,我们可以把任意角三角 函数的求值问题转化为00~3600的求值问题.

将下列三角函数转化为 ~2?的三角函数: 0 ? 31 1、 ? ? ) ? sin sin( 4 4 65 5 2、 cos ? ? cos ? 6 6
能否把00~3600的三角函数求值问题转化 ? 90? 间的角的三角函数求值问题呢? 为 0~

0 ? ? ? ? 90? 设 ,对于任意一个 0? 到

360? 的角 ?



都可以表示成以下四种情形之一:

??, ? ? ?180 ? ?, ? ?? ? ?180 ? ?, ?360? ? ?, ?

? ? ?0?, ? ? 90

? ? ?90?, ? ? 180

? ? ?180?, ? ? 270

? ? ?270?, ? ? 360

r ?1 sin ? ? y

公式二
cos? ? x
y tan ? ? x

sin(? ? ? ) ? ? y cos(? ? ? ) ? ? x
?y y tan(? ? ? ) ? ? ?x x

? ??

?

公式二
sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?

求下列三角函数值: 1、 210 cos 5 3、 tan ? 4
?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?

2、 1 ? ? ) sin(

r ?1 sin ? ? y
cos( ?? ) ? x

公式三
cos? ? x

sin( ?? ) ? ? y
?y y tan( ?? ) ? ?? x x

y tan ? ? x

?
??

公式三
sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

求下列三角函数值: 1、 cos(?70 6' )
0

sin( ?? ) ? ? sin ? cos( ?? ) ? cos ? tan( ?? ) ? ? tan ?

5 0 3、 cos(?420 ) 13? 4、 an(? t ) 3

2、 ? sin(

?

)

r ?1 sin ? ? y

公式四
cos? ? x

sin(? ? ? ) ? y cos(? ? ? ) ? ? x
y y tan(? ? ? ) ? ?? ?x x

y tan ? ? x

? ??

?

公式四
sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?

求下列三角函数值: 1、sin 120 3? 2、 cos 4 0 3、 an150 t
0

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ?

公式一:

公式四:

sin(? ? 2k? ) ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z ) cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?
公式二:

公式三:

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan(?? ) ? ? tan ?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?

诱导公式小结
公式一 ~ 四可用下面的话来概括:

? ? 2k? (k ? Z ),?? ? , ? ? ?的三角函数值, 等于角?的同名函数值,前面加上一个把?
看成锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变,符号看象限” .

公式一:

公式四:

sin(? ? 2k? ) ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? (k ? Z ) cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? ? tan ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?
公式二:

公式三:

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan(?? ) ? ? tan ?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ?

“函数名不变,符号看象限” .

例1

求下列三角函数值: (1) cos225 ;
?

? 16? ? 0 (3) sin ? ? ? ;(4) ?2040 ) . cos( ? 3 ?

11? (2) sin 3



例2

cos 180 ? ? ? sin ? ? 360 化简: . ? ? sin ? ? ? 180 ? cos ? 180 ? ?
? ?

?

?

? ? ? ?

?

?

练习

化简: 1、 ? ? 180 ) cos(?? ) sin(?? ? 180 ) sin(
0 0

2、 (?? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) sin
3

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角 函数,一般按下面步骤进行: 任意负角的 三角函数
用公式三或一

任意正角的 三角函数

用公式一

0 到 360 的角
o
o

用公式 二或四

的三角函数

锐角三 角函数

练习:
3 ?? ? ? 5? ? (1)已知 cos? ? ? ? ? ,求 cos? ? ? ?的值. ?6 ? 3 ? 6 ?
1 (2)已知cos ?? ? ? ? ? ? ,求 tan?? ? 9?? 的值. 2

小结: “函数名不变,符号看象限”



1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意 义时恒成立. 2.以诱导公式一~四为基础,还可以 产生一些派生公式, 如sin(2π -α )=-sinα , sin(3π -α )=sinα 等.

3.利用诱导公式一~四,可以求任意 角的三角函数,其基本思路是:
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数

锐角的三角 函数

0~2π 的角 的三角函数

这是一种化归与转化的数学思想.

作业: P29习题1.3 A组:3.


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