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8-2空间图形的基本关系与公理


高考数学总复习

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第8章 立体几何初步

高考数学总复习

空间图形的基本

第 二 节

关系与公理

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第8章

第二节

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第二节

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考纲解读 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形 的位置关系的简单命题.
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考向预测 1.以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推 理能力与空间想象能力. 2.有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共 面的问题. 3.多以选择题、填空题的形式考查,有时也出现在解答 题中,属低中档题.
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知识梳理 1.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条 直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有
一条通过该点的公共直线.
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公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
第8章 第二节

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2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ? ?平行直线 ? ?共面直线? ?相交直线 ? ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内
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(2)异面直线所成的角 ①过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a,b 的平行线 l1,l2(a∥ l1,b∥ l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是 异面直线 a,b 所成的角.
? π? ②范围:?0, ?. 2? ?
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3.直线与平面的位置关系有 相交 、平行、在平面内 三种情况.

相交 、平行两种情况. 4.平面与平面的位置关系有
5.定理 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两 个角相等或互补.

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基 础 自 测

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1.(教材改编题)若点 M 在直线 b 上,b 在平面 β 内,则 M, b,β 之间关系可表示为( A.M∈b∈β C.M? β b?
[答案] B

) B.M∈b? β D.M? b∈β
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[解析] 用集合语言表示,只有 B 正确.

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2. (文)已知 a、 是异面直线, b 直线 c∥直线 a, c 与 b( 则 A.一定是异面直线 B.一定是相交直线

)

C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
[答案] C

[解析] a、b 是异面直线,直线 c∥直线 a.因而 c 不与 b 平行,否则,若 c∥b,则 a∥b,与已知矛盾,因而 c 不与 b 平行.

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(理)给出下列命题: ①和直线都相交的两条直线在同一个平面内; ②三条两两相交的直线在同一个平面内; ③有三个不同公共点的两个平面重合; ④两两平行的三条直线确定三个平面. 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )
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[答案] A
[解析] 对于①两条直线可以异面; 对于②三条直线若交 于一点,则可以异面;对于③这三点若共线,则两平面可以相 交;对于④两两平行的三条直线也可以在三个平面.
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3.用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下 列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是( A.①② C.①④ ) B.②③ D.③④
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[答案] C
[解析] 本题主要考查平面几何,立体几何的线线,线面 的关系. ①平行关系的传递性.
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②举反例:

a⊥b,b⊥c,则 a∥ c.

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③举反例:

a∥ γ,b∥ γ,则 a 与 b 相交.
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④垂直于同一平面的两直线互相平行. 故①,④正确.

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4.(文)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也 与 CC1 共面的棱的条数为( A.3 C.5 ) B.4 D.6
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[答案] C
[解析] 如下图,与 AB 共面也与 CC1 共面的棱有 CD, BC,BB1,AA1,C1D1,共 5 条.
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(理)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC =AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A.30° C.60° B.45° D.90° )
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[答案] C

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[解析] 本题考查线线角,考查学生的作图能力和计算能 力.
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分别取 AA1、BA、A1C1 的中点 E、F、G,联结 EF、FG、 EG.
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则∠FEG 或∠FEG 的补角是 BA1 与 AC1 所成的角, 设 BA=AC=AA1=1, 2 2 则 EF= ,EG= ,FG= 2 2
? 1+? ? ?

6 2 ?2 ? = , 2 2? ?

1 1 6 1 + - - 2 2 4 2 1 ∴cos∠FEG= = =- , 2 2 2 1 2× × 2 2 ∴BA1 与 AC1 所成的角为 60° .

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解法二:如下图,可补成一个正方体 ABCD-A1B1C1D1, ∴AC1∥ BD1.
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∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60° , ∴BA1 与 AC1 成 60° 的角.
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5.下列各图是正方体和正四面体.P、Q、R、S 分别是所 在棱的中点,过四个点共面的图形是________.
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[答案] ①②③

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[解析] 在④选项中, 可证 Q 点所在棱与 PRS 平行, 因此, P、Q、R、S 四点不共面.可证①中 PQRS 为梯形;③中可证 PQRS 为平行四边形,②中如右图取 A1A 与 BC 的中点为 M、 N,可证明 PMQNRS 为平面图形,且 PMQNRS 为正六边形.
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6.直线 AB、AD? α,直线 CB、CD? β,点 E∈AB,点 F ∈BC,点 G∈CD,点 H∈DA,若直线 EH∩直线 FG=M,则 点 M 与 BD 的关系是________.
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[答案] M∈BD

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[解析] 由 EH∩FG=M, M∈EH, 知 所以 M∈平面 CBD, 同理 M∈平面 ABD,又平面 ABD∩平面 CBD=BD, 故 M∈BD.
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7.已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC=10,BD=6,M, N 分别是 AB,CD 的中点,MN=7.求异面直线 AC 与 BD 所成 的角.
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[解析] 如上图,取 BC 的中点 E,连接 EM,EN,因为 M,N 分别是 AB,CD 中点, 所以 EM∥AC,EN∥BD. 所以∠MEN 就是异面直线 AC 与 BD 所成的角或所成角的 补角.
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ME2+NE2-MN2 在△MEN 中,由余弦定理得 cos∠MEN= 2ME· NE 25+9-49 1 = =- , 2 2×5×3 又因为异面直线所成角的范围是(0,90° ],所以异面直线 AC 与 BD 所成的角为 60° .

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点共线、线共点问题
[例 1] 如下图所示, 已知△ABC 的三个顶点都不在平面 α 内,它的三边 AB,BC,AC 延长后,分别交平面 α 于点 P,Q, R.求证:点 P,Q,R 在同一直线上.
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[分析] 要证明 P,Q,R 三点共线,只需证明 P,Q,R 三点在平面 α 和平面 ABC 的交线上,可先用任意两点确定交 线所对应的直线,再证明第三点在该直线上,本题体现了空间 问题转化为平面问题的思想和方法.
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[证明] 由已知 AB 的延长线交平面 α 于点 P, 根据公理 3, 三角形 ABC 所在的平面与平面 α 必相交于一条直线,设为 l. ∵P∈直线 AB,P∈平面 ABC. 又直线 AB∩平面 α=P,∴P∈平面 α. ∴P 是平面 ABC 与平面 α 的公共点. ∵平面 ABC∩平面 α=l, ∴P∈l.同理,Q∈l,R∈l. ∴点 P,Q,R 在同一条直线 l 上.
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[点评] 易忽视先找出平面 ABC 与平面 α 的交线, 从而缩 小目标范围.
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已知空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是边 AB,AD 的 CF CG 2 中点 F,G 分别是边 BC,CD 上的点,且 = = (如下 CB CD 3 图所示),求证:三条直线 EF,GH,AC 交于一点.
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[分析] 欲证三线共点,可证其中两条直线有交点,且该 交点在第三条直线上. AE AH 1 [证明] ∵ = =1,∴EH 綊 BD, EB HD 2 CF CG 2 而 = = , CB CD 3 FG 2 ∴ = ,且 FG∥ BD, BD 3
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∴四边形 EFGH 为梯形,从而两腰 EF,GH 必相交于一 点 P. ∵P∈直线 EF,EF? 平面 ABC, ∴P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上. 故 EF,GH,AC 三条直线交于一点.
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[点评] 平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用,只 是在思考中应考虑空间图形的新特点.
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共面问题
[例 2] 求证:两两相交而不通过同一点的四条直线必在同 一平面内. [分析] 已知 a、b、c、d 四条直线不共点但是两两相交, 求证:a、b、c、d 共面. a、b、c、d 四条直线或者有三条共点或无三条共点,分两 种情形证:
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(1)设有三条直线共点, 不失一般性, 可设此三条直线为 a、 b、c,它们均过 P 点(如下图甲),此时 d 必不过点 P(因四线不 共点)
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因此过 d 和点 P 可以确定平面 α,再设法证明其他三条直 线 a、b、c 均在 α 内即可.
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(2)设没有三条直线共点(如上图乙) ∵a∩b=Q ∴a 与 b 可确定一个平面 β 再设法证明其余二线 c、d 均在 β 内即可.
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[证明] (1)若 a、b、c 三线共点 P,但点 P?直线 d. ∴直线 d 和其外一点 P 可以确定一个平面 α 又 a∩d=C,∴C∈α 且点 P∈α ∴直线 a? 平面 α, 同理可证:直线 b 上有两点 B、P 在平面 α 上, ∴b? 平面 α,∴c? 平面 α,∴a、b、c、d 四线共面.
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(2)若 a、b、c、d 两两相交但不过同一点. ∵a∩b=Q,∴a 与 b 可以确定一个平面 β 又∵c∩b=E,E∈b? 平面 β,∴E∈β 同理 c∩a=F,F∈a? 平面 β,∴F∈β ∴直线 c 上有两点 E、F 在 β 上
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∴c? 平面 β 同理可证 d? 平面 β 故 a、b、c、d 四线共面 β. 得(1)、(2)可知:两两相交而不通过同一点的四条直线必在 同一平面内.
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[点评] 利用基本性质 2 及其三个推论, 可以用来证明点, 线共面.证明此类问题,常用的方法有: (1)纳入法: 先利用基本性质 2 及其三个推论证明某些点和 直线在一个确定的平面内,再证明其余的点和直线也在这个确 定的平面内.
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(2)同一法: 先利用基本性质 2 及其三个推论证明某些点和 直线在一个确定的平面内,另一些点和直线在另外一个确定的 平面内,?,最后再证明这些平面重合. (3)反证法:可以假设这些点和直线不在一个平面内,然后 通过推理,找出矛盾,从而否定假设、肯定结论.
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一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共 面.
[解析] 已知:a∥ b∥ c,
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l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:直线 a,b,c,l 共面.
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证明:∵a∥ b, ∴a、b 确定一个平面 α, ∵l∩a=A,l∩b=B, ∴A∈α,B∈α,故 l? α. 又∵a∥ c, ∴a、c 确定一个平面 β,同理可证 l? β, ∴α∩β=a 且 α∩β=l, ∵过两条相交直线 a、l 有且只有一个平面, 故 α 与 β 重合,即直线 a,b,c,l 共面.
第8章 第二节

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平面基本性质的综合应用
[例 3] 在正方体 AC1 中,E 是 CD 的中点,连接 AE 并延 长与 BC 的延长线交于点 F, 连接 BE 并延长交 AD 的延长线于 点 G,连接 FG. 求证:直线 FG?平面 ABCD 且直线 FG∥直线 A1B1. [分析] 先由基本性质 1 判定 FG?平面 ABCD,再由平行 公理有线线平行.
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[解析] 由已知知 E 是 CD 的中点,

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在正方体 AC1 中, A∈平面 ABCD,E∈平面 ABCD, 所以 AE? 平面 ABCD.
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又 AE∩BC=F,所以 F∈AE, 从而 F∈平面 ABCD. 同理 G∈平面 ABCD,所以 FG? 平面 ABCD. 1 因为 EC 綊 AB, 2 故在 Rt△FBA 中,CF=BC, 同理 DG=AD. 又在正方形 ABCD 中,BC 綊 AD,
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所以 CF 綊 DG, 又 CD∥所以四边形 CFGD 是平行四边形, 所以 FG∥ CD,AB,AB∥ A1B1, 所以直线 FG∥直线 A1B1.
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[点评] 判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本 性质及几何体内线面之间的位置关系,其中基本性质 4 是论证 空间中两条直线平行的重要方法之一,使用基本性质 4 的关键 是“桥梁直线”,即第三条直线的选择.同时,解立体几何问 题应注意平面几何知识的应用.
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已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1、 B1C1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q. 求证:(1)D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P、Q、R 三点共线.
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[证明] 如下图所示,

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(1)∵EF 是△D1B1C1 的中位线, ∴EF∥ B1D1. 在正方体 AC1 中,B1D1∥ BD,∴EF∥ BD. ∵EF,BD 确定一个平面,即 D、B、F、E 四点共面.

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(2)正方体 AC1 中,设 A1ACC1 确定的平面为 α,又设平面 BDEF 为 β. ∵Q∈A1C1,∴Q∈α,又 Q∈EF,∴Q∈β. 则 Q 是 α 与 β 的公共点. 同理,P 点也是 α 与 β 的公共点. ∴α∩β=PQ,又 A1C∩β=R, ∴R∈A1C,∴R∈α,则 R∈PQ. 故 P、Q、R 三点共线.
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[点评] 1.共点问题 证明 l1、l2 和 l 三线共点, 一般先证两条直线 l1 与 l2 相交于 点 O;再由点 O 既在直线 l1、l 确定的平面 α 内,又在直线 l2、 l 确定的平面 β 内;由公理 3 可得点 O∈l=α∩β,即 l1、l2、l3 三线共点. 2.共线问题 证明 A、B、C 三点共线,一般先证 A、B 两点连线是平面 α、β 的交线;再证点 C∈直线 AB=α∩β,即 A、B、C 三点共 线.
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3.共面问题 证明多个几何元素(点和线)共面,一般先由公理 2 或其推 论确定平面 α 经过某些元素(或者说这些元素在平面 α 内);再 由公理 1 和公理 3 证明其他元素也在平面 α 内.
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异面直线问题
[例 4] 如下图所示正方体 ABCD-A1B1C 1D1 中,M、N 分 别是 A1B1,B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由. (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由.
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[解析](1)不是异面直线. 理由: ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.∴MN∥ A1C1. 又∵A1A 綊 D1D,而 D1D 綊 C1C,∴A1A 綊 C1C, ∴A1ACC1 为平行四边形.∴A1C1∥AC,得到 MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一个平面内, 故 AM 和 CN 不是异面直线.
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(2)是异面直线.证明如下: 假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 D1CC1 内,则 B∈平面 CC1D1,C∈平面 CC1D1. ∴BC? 平面 CC1D1 ,∴B∈面 CC1D1D,这与 ABCD- A1B1C1D1 是正方体相矛盾. ∴假设不成立,故 D1B 与 CC1 是异面直线.
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[点评](1)见中点,应构造中位线并利用中位线性质转化为 平行关系. (2)判定两条直线异面可用: 经过平面内一点和平面外一点 的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线,或用反证法. (3)异面直线的判定高考一般不会出大题, 但在选择题中可 能会涉及.
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(文)(2010· 重庆文)到两互相垂直的异面直线的距离相等 的点( ) B.恰有 3 个 D.有无穷多个
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A.只有 1 个 C.恰有 4 个

[答案] D

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[解析] 本题考查空间想象能力. 过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直 线都成 45° 角直线上所有点到两条直线的距离都相等,故选 D.
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(理)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点, 则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( 3 A. 4 7 C. 4 ) 5 B. 4 3 D. 4
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[分析] 三棱柱中 AA1∥ CC1,故∠A1AB 即所求.由 A1 在 底面射影为 BC 中点知,△A1AD,△A1BD 都是直角三角形, 结合各棱长都相等,可解△A1AB.
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[答案] D

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[解析] 如下图,设各棱长为 a,则由题设条件知,AD= 3 1 a,A1D⊥AD,∴A1D= a, 2 2 1 又 A1D⊥BD,BD= a, 2 2 3 ∴A1B= a,cos∠A1AB= ,∠A1AB 为异面直线,AB 与 2 4 CC1 所成角.故选 D.
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1.平面的基本性质(三个公理、三个推论)是整个立体几何 的基础,其中确定一个平面的四种情形是将立体几何问题转化 为平面几何问题的依据.高考中对平面基本性质的考查一般不 会单独命题,常是融该知识点于其他知识点之中综合命题. “空间两直线”中,“异面直线”是重点,也是难点,几 乎每年高考都要涉及.考查的内容多涉及异面直线的定义、异 面直线所成的角.
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2.公理的应用 (1)证明线共面 证明线共面,一般是三线共面作原始题从而推广到多线共 面,一般有两种证法,一是两线确定一个平面,再证明第三线 在这个平面内;二是其中两条直线确定一个平面 α,另两条直 线确定平面 β,而 α,β 又同时具有确定平面的公共条件,进而 α,β 重合.从而三线共面.
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(2)证明三点共线 三点都是某两平面的公共点,则三点共线. (3)证明三线共点 与初中证明三线共点的思路一样,先证两条直线交于一 点,再证明第三条直线经过这点,把问题化归到证明点在直线 上的问题了.
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3.空间两条直线位置关系有三种情况:相交、平行、异 面,而两条直线异面是个重点.要正确理解异面直线的定义, 其特征既不相交又不平行. 4.求两条异面直线所成的角的大小一般方法,是通过平 行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等 角定理及推论、异面直线所成的角的大小与顶点位置无关,将 角的顶点取在其中的一条直线上,特别地可以取其中一条直线 与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点.理科还用向 量法求异面直线所成的角.
第8章 第二节

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