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三角函数的图像和性质 测试题及解析


三角函数的图象与性质 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
(时间:80 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 3 ? ? 1.函数 y=sin?4x+2π?的周期是( ? ? A.2π 解析 答案 2π π T= 4 =2. C ). C.非奇非偶函数 D.无法确定 B.π ). π C.2 π D.4 满分:100 分)

? π? 2.函数 y=cos?x+2?(x∈R)是( ? ? A.奇函数 解析 答案 B.偶函数

? π? ∵y=cos?x+2?=-sin x,∴此函数为奇函数. ? ? A

3.函数 y=cos x 图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的 2 倍,得到图 象的解析式为 y=cos ωx,则 ω 的值为( A.2 解析 答案 1 B.2 C.4 ). 1 D.4

1 1 由已知 y=cos x 的图象经变换后得到 y=cos 2x 的图象,所以 ω=2. B ).

4.函数 y=-xsin x 的部分图象是(



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解析

考虑函数的奇偶性并取特殊值.函数 y=-xsin x 是偶函数,当 x∈

π? ? ?0,2?时,y<0. ? ? 答案 C ). ? π 3π? D.?-4, 4 ? ? ?

? π? 5.在下列区间上函数 y=sin?x+4?为增函数的是( ? ? ? π π? A.?-2,2? ? ? 解析 ? 3π π? B.?- 4 ,4? ? ? C.[-π,0]

π π π 3π π 由 2kπ-2≤x+4≤2kπ+2(k∈Z)得 2kπ- 4 ≤x≤2kπ+4(k∈Z),当 k

3π π =0 时,- 4 ≤x≤4,故选 B. 答案 B

π? ?π ?? 6.已知简谐运动 f(x)=2sin?3x+φ??|φ|<2?的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最 ? ?? ? 小正周期 T 和初相 φ 分别为( π A.T=6,φ=6 解析 ). π D.T=6π,φ=3

π π B.T=6,φ=3 C.T=6π,φ=6

1 将(0,1)点代入 f(x)可得 sin φ=2.

π π 2π ∵|φ|<2,∴φ=6,T= π =6. 3 答案 A

π 7. 已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的一部分图象如图所示,如果 A>0,ω>0,|φ|<2,



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则(

).

A.A=4 解析

B.ω=1

π C.φ=6

D.B=4

1 5π π π 由图象可知,A=2,4T=12-6=4,T=π,

π π π ω=2.∵2×6+φ=2,∴φ=6,故选 C. 答案 C ).

?π ? ?π ? ?π? 8. 若函数 f(x)=3sin(ωx+φ)对任意的 x 都有 f?3+x?=f?3-x?, 则 f?3?等于( ? ? ? ? ? ? A.3 或 0 解析 B.-3 或 0 C.0 D.-3 或 3

? π ? ?π ? ∵f?3+x?=f?3-x?, ? ? ? ?

π ∴f(x)关于直线 x=3对称, ?π? ∴f?3?应取得最大值或最小值. ? ? 答案 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.函数 y=cos x 在区间[-π,a]上为增函数,则 a 的取值范围是________. 解析 ∵y=cos x 在[-π,0]上为增函数,

又在[-π,a]上递增,∴[-π,a]?[-π,0],∴a≤0. 又∵a>-π,∴-π<a≤0. 答案 (-π,0]

π? ? 10.函数 y=tan x,x∈?0,4?的值域是________. ? ? 解析 π? ? ∵y=tan x 在?0,4?上单调递增, ? ?

∴0≤tan x≤1,即 y∈[0,1].
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答案

[0,1]

π 11.已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在一个周期内当 x=12时,有最大值 2,当 x 7π =12时有最小值-2,则 ω=________. 解析 答案 2π ?7π π ? 由题意知 T=2×?12-12?=π.∴ω= T =2. ? ? 2

?1 π? 12.函数 y=6sin?4x-6?的初相是________,图象最高点的坐标是________. ? ? 解析 大值 6. 答案 π ?8π ? -6 ? 3 +8kπ,6?(k∈Z) ? ? π 1 π π 8π 初相为-6,当4x-6=2+2kπ,即 x= 3 +8kπ(k∈Z )时,函数取得最

三、解答题(每小题 10 分,共 40 分) ? π? 13.用“五点法”作出函数 y=2sin?x-3?+3 的图象,并指出它的周期、频率、 ? ? 相位、初相、最值及单调区间. 解 (1)列表: π x-3 x y 0 π 3 3 π 2 5π 6 5 π 4π 3 3 3π 2 11π 6 1 2π 7π 3 3

(2)描点、作图(如图所示). ? π? 将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展,得 y=2sin?x-3?+3 的图 ? ? 象.



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1 1 由图象知,周期 T=2π,频率 f=T=2π, π π 相位为 x- ,初相为- ,最大值为 5,最小值为 1, 3 3 11π ?5π ? 函 数 的 单 调 递 减 区 间 为 ? 6 +2kπ, 6 +2kπ? , k ∈ Z , 单 调 递 增 区 间 为 ? ? 5π ? π ? ?-6+2kπ, 6 +2kπ?,k∈Z. ? ? π? ? 14.求函数 y=-2tan?3x+3?的定义域、值域,并指出它的周期、奇偶性和单调 ? ? 性. 解 π? π π π kπ ? 由 3x+3≠2+kπ,得 x≠18+ 3 (k∈Z),∴函数 y=-2tan?3x+3?的定义 ? ?

? ? ? π kπ π 域为?x?x≠18+ 3 ?k∈Z?? .它的值域为 R,周期为 T=3,它既不是奇函数, ? ? ?

π π π 5π kπ π kπ 也不是偶函数.由-2+kπ<3x+ 3<2+kπ(k∈ Z),得-18+ 3 <x<18 + 3 (k∈ π? ? ? 5π kπ π kπ? Z), 所以函数 y=-2tan?3x+3?在区间?-18+ 3 ,18+ 3 ?(k∈Z)上单调递减. ? ? ? ? π? π ?1 ?? 15.设函数 f(x)=sin?2x+φ??0<φ<2?,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x=4. ? ?? ? (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解 π (1)∵x=4是 y=f(x)的图象的一条对称轴,

π π ?1 π ? ∴sin?2×4+φ?=± 1,∴8+φ=kπ±2,k∈Z, ? ? π 3π ∵0<φ<2,∴φ= 8 .



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3π ?1 3π? (2)由(1)知 φ= 8 ,因此 y=sin?2x+ 8 ?. ? ? π 1 3 π 由题意得:2kπ-2≤2x+8π≤2kπ+2,k∈Z, 7 π 即 4kπ-4π≤x≤4kπ+4,k∈Z, 7 π? ? ∴函数的单调增区间为?4kπ-4π,4kπ+4?,k∈Z. ? ? π? ? 16.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的图象在 y 轴上的截距为 1, ? ? 它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2). (1)求 f(x)的解析式; 1 (2)将 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的3,然后再将所得到的图象 π 向 x 轴正方向平移3个单位长度, 得到函数 y=g(x)的图象, 写出 g(x)的解析式, 并作出在长度为一个周期上的图象. 解 T 1 (1)由已知,易得 A=2, 2 =(x0+3π)-x0=3π,解得 T=6π,∴ω=3.

?x ? 把(0,1)代入解析式 y=2sin?3+φ?,得 2sin φ=1. ? ? π π 又|φ|<2,解得 φ=6. ? x π? ∴y=2sin?3+6?. ? ? ?? π? π? ? π? x- ?+ ?= (2)压缩后的函数解析式为 y=2sin?x+6?,再平移得 g(x)=2sin?? ? ? ?? 3? 6? ? π? 2sin?x-6?. ? ? 列表: x π x-6 ? π? 2sin?x-6? ? ? 图象如图:
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π 6 0 0

2π 3 π 2 2

7π 6 π 0

5π 3 3π 2 -2

13π 6 2π 0



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