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湖北省巴东一中高二数学教案 选修1-1:3.1空间向量及其运算第1课时


§3.1.1 空间向量及加减其运算
【学情分析】 :
向量是一种重要的数学工具,它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用,而且在物理学、 工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教 A 版必修四中,读者已经认知了平面向量,现在, 学习空间向量时要注意与平面向量的类比,体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。

【教学目标】 :
(1)知识与技能:理解和掌握空间向量的基本概念,向量的加减法 (2)过程与方法:通过高一学习的平面向量的知识,引申推广,理解和掌握向量的加减 法 (3)情感态度与价值观:类比学习,注重类比、推广等思想方法的学习,运用向量的概 念和运算解决问题,培养学生的开拓创新能力。

【教学重点】 :
空间向量的概念和加减运算

【教学难点】 :
空间向量的应用

【教学过程设计】 :
教学环节 教学活动 (1) 一块均匀的正三角形的钢板所受重力为 500N,在它的 顶点处分别受力 F 1 ,F 2 ,F 3 ,每个力与同它相邻的三 一.情景引 入 角形的两边之间的夹角都是 60 ,且| F 1 |=|F 2 |=|F 3 |=200N,这块钢板在这些力的作用下将 会怎样运动?这三个力至少多大时,才能提起这块钢 板? (2) 八抬大轿中每个轿夫对轿子的支持力具有怎样的特 点?? 让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下,看它们 是只限于平面上呢?还是本来就适用于空间中。 请学生自行阅读空间向量的相关概念:空间向量定义、模 长、零向量、单位向量、相反向量、相等向量。 请学生比较与平面向量的异同。 向量概念的关键词是大小和方向,所以它应既适用于平面 上的向量,也适合于空间中的向量,二者的区别仅仅在于:在 空间中比平面上有更多的不同的方向。因此平面几何中的向量 概念和知识就可以迁移到空间图形中。 (1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同 一平面内的两个向量。 如图,对于空间任何两个向量 a, b ,可以从空间任意一点 O 出发作 OA ? a, OB ? b ,即用同一平面内的两条有向线段
o

设计意图

从实际生活的例子出 发,使学生对不共面的 向量有一个更深刻的认 识。说明不同在一个平 面内的向量是随处可见 的。

二.新旧知 识比较

通过比较,既复习了平 面向量的基本概念,又 加强了对空间向量的认 识,注重类比学习,提 高学生举一反三的能 力。

三.类比推 广、探求新 知

让学生知道,数学中研 究的向量是自由向量, 与向量的起点无关,这 是数学中向量与物理中

-1-

OA, OB 来表示 a, b
B

矢量的最大区别。

D b

b

O a C

A

(2)在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边 形法则,同样对于空间任意两个向量 a, b 都看作同一平面内的 向量,它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法 和减法来进行,不需要补充任何新的知识,具体做法如下: 空间三个或更多的向量 相加,不能同时将这些 向量都用同一个平面上 的有限线段来表示,但 仍然可以用将它们依次 用首尾相接的有向线段 来表示, 得到它们的和。 比如:三个向量的和

如图, 可以从空间任意一点 O 出发作 OA ? a, OB ? b , 并 且从 A 出发作 AC ? b ,则 a ? b ? OC, a ? b ? BA.
B C

D b

b

O a C

A

AB ? BC ? CD ? AD
,一般地,空间中多个依 次用首尾相接的有向线 段相加的结果等于起点 和终点相连的有向线 段。我们常常把向量的 这种性质

探索 1:空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上? 探索 2:多个向量的加法能否由两个向量的加法推广? (3) 思考《选 2-1》课本 P85 探究题 归纳:向量加(减)法满足交换律和结合律。

AB ? BC ? CD ? AD
简称为“封口向量” 。

-2-

1.课本 P86 练习 1-3 2. 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,M 是 BB1 的中点, 化简下列各式,并在图中标出化简得 到的向量: (1) CB ? BA1 ; (2) AC ? CB ? AA 1; (3) AA1 ? AC ? CB 解: (1) CB ? BA1 ? CA1 (2) AC ? CB ? AA 1 ? AB 1 (3) AA1 ? AC ? CB ? BA1

四.练习巩 固

巩固知识,注意区别加 减法的不同处.

1.空间向量的概念: 五.小结 2.空间向量的加减运算 反思归纳

六.作业

课本 P97 习题 3.1,A 组 第 1 题(1)、(2)

练习与测试:
(基础题) 1.举出一些实例,表示三个不在同一平面的向量。 2.说明数字 0 与空间向量 0 的区别与联系。 答:空间向量 0 有方向,而数字 0 没有方向;空间向量 0 的长度为 0。 3.三个向量 a,b,c 互相平行,标出 a+b+c. ‘解:分同向与反向讨论(略) 。 4.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,M 是 BB1 的中点, 化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: (1) CB ? BA1 ;
-3-

(2) AC ? CB ?

1 AA1 ; 2

(3) AA1 ? AC ? CB 解: (1) CB ? BA1 ? CA1 (2) AC ? CB ?

1 AA1 ? AM 2

(3) AA1 ? AC ? CB ? BA1 (中等题) 5. 如图, 在长方体 OADB ? CA/ D / B / 中, 点 E,F 分别是 DB, D / B / OA ? 3i, OB ? 4 j, OC ? 2k , , 的中点,试用向量 i, j , k 表示 OE 和 OF 解: OE ?

3 i ?4j 2 3 OF ? i ? 4 j ? 2k 。 2

6.在上题图中,试用向量 i, j , k 表示 EF 和 FE 解: EF = OF ? OE = 2k ,

FE =-- EF =-- 2k

-4-


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