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中职数学第一册第5章三角函数教案 2


课 题 名 称 课 题 序 号 使 用 教 具 2

§5.1 角的概念的推广 授 课 课 时

授 课 班 级 授 课 时 间 第 到

13 中专;教师: 陆广地 授 课 形 式 新授

教 学 目 的

通过实例,理解角的概念推广的必要性,理解任意角的概念,根据角的终边旋转方向,能 判定正角、负角和零角;学会建立直角坐标系来讨论任意角,理解象限角的定义,掌握终 边相同角的表示方法;培养学生分析问题、解决问题的能力,为今后的学习奠定良好的基 础。 学会终边相同角的表示方法 终边相同的角的集合的表示方法.

教 学 重 点 教 学 难 点 更 新 、 补 充 、 删 减 内 容 课 外 作 业

P129-1

授课主要内 容或板书设 计

教 学 后 记

课 堂 教 学 安 排
主 要 教 学 内 容 及 步 骤 教学过程 师生活动 设计意图等

一、自主学习:预习教材 P131-134 完成下列问题 1.角的定义:一条射线绕着它的端点 O ,从起始位置 OA 旋转到终 止位置 OB ,形成一个角 ? ,点 O 是角的顶点,射线 OA, OB 分别是 角 ? 的______、______。 2.角的分类: 正角:按________方向旋转形成的角叫做正角; O 负角:按________方向旋转形成的角叫做负角; 零角:如果一条射线_______________,我们称它为零角。说明:零 角的始边和终边________。 3.象限角与非象限角(轴线角) : 在直角坐标系中, 使角的顶点与坐标原点重合, 角的始边与 x 轴的非 负轴重合,则 (1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个 角是第几象限角。 (2)非象限角(也称轴线角) :如果角的终边落在坐标轴上,就认 为这个角不属于任何象限,称为非象限角(也称轴线角) 。例如: B

A

90 ,180 , 270 等。
4.终边相同的角的集合: 所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 二、合作探究: 合作探究一:角概念的理解 锐角是第几象限角?第一象限的角都是锐角吗?那直角和钝角 呢? 合作探究二:象限角的理解 第一象限角的集合可表示为________________ ___. 第二象限角的集合可表示为_______________ ____. 第三象限角的集合可表示为______________ _____. 第四象限角的集合可表示为______________ _____. 合作探究三:终边相同的角 1.观察:390°,-330°角,它们的终边都与 30°角的终



.

2.与 30°角的终边相同的角的表达式. 390°=30°+ 360°, 30°=30°+0×360°,? 那么与 ? ? 30? 有相同始边和终边的角,连同 30°角在内可以表示 成 3.这些有相同的始边和终边的角,叫做终边相同的角. 与α 有相同始边和终边的角可以怎样表示呢?
θ

-330°=30°-360°,

合作探究四:设 θ 为第一象限角,求 2θ, 2 , -θ 所在的象限.

三、精讲点拨 例 1:在直角坐标系中, 写出终边在 y 轴上的角的集合 (用 0? ~ 360? 的角表示) 例 2:在 0? ~ 360? 之间,找出与下列各角终边相同的角,并分别指 出它们是第几象限角: (1) 480 ? ; (2) ? 760 ? ; (3) 932 ? . 例 3:写出与 60 角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式
?

? 360? ? ? ? 720? 的元素 ? 写出来。
四、当堂检测: 1.一昼夜时针转过多少度? 2.跳水运动员后滚翻两周半跳水,转过多少度? 3.下列各角中,与-1050°的角终边相同的角是 ( )

A .60?

B. - 60?

C30?

D - 30?

4.将-885°化为 ? + k·360°(0°< ? <360°,k∈Z)的形式是 ( ) A.-165°+ (-2)·360° C. 195°+ (-2)·360° 5.下列命题中正确的是( B.195°+ (-3)·360° D.165°+ (-3)·360° ) B.小于90°的角一定是锐角 D.终边相同的角一定相等 )

A.第一象限角一定不是负角 C.钝角一定是第二象限角 6.若 ? 是锐角,则180°- ? 是(

A.第一象限角 限角 7、如果

B.第二角限角

C.第三象限角

D.第四象

x 是第三象限角,则x在第 2

象限

8、角α的终边落在一、三象限角平分线上,则角α的集合是 ___________. 9、时钟走过 2 小时 15 分钟,则分针所转过的角度为 针所转过的角度为 。 ;时

10 、 写 出 与 -2250 角 终 边 相 同 角 的 集 合 , 并 在 这 个 集 合 中 求 出 -7200~10800 内的所有角。

五、课堂小结: 这节课我学会了: ?自我评价 你完成本节学案的情况为 ( 般 D.较差 ) A. 很好 B. 较好 C . 一

课 题 名 称 课 题 序 号 使 用 教 具 2

5.2 弧度制
授 课 课 时

授 课 班 级 授 课 时 间 第 到

13 中 授 课 形 式 讲练结合

知识目标:⑴ 理解弧度制的概念;⑵ 理解角度制与弧度制的换算关系. 教 学 目 的 能力目标: (1)会进行角度制与弧度制的换算; (2)会利用计算器进行角度制与弧度 制的换算; (3)培养学生的计算技能与计算工具使用技能 教 学 重 点 教 学 难 点 更 新 、 补 充 、 删 减 内 容 (1)由问题引入弧度制的概念; (2)通过观察——探究,明晰弧度制与角度制的换算关系; 授课主要内 容或板书设 计 (3)在练习——讨论中,深化、巩固知识,培养计算技能; (4)在操作——实践中,培养计算工具使用技能; (5)结合实例了解知识的应用. 弧度制的概念,弧度与角度的换算. 弧度制的概念

课 外 作 业

P134-1、2

教 学 后 记

课 堂 教 学 安 排
主 要 教 学 内 容 及 步 骤 教学过程 师生活动 设计意图等

揭示课题 5.2 弧度制 *回顾知识 复习导入 问题 角是如何度量的?角的单位是什么? 解决 将圆周的

1 圆弧所对的圆心角叫做 1 度角,记作 1° . 360

1 度等于 60 分(1°=60′) ,1 分等于 60 秒(1′=60″) . 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制. 扩展 计算:23°35′26″+31°40′43″ 角度制下,计算两个角的加、减运算时,经常会带来单位换算上的 麻烦.能否重新设计角的单位制,使两角的加、减运算像 10 进位制 数的加、减运算那样简单呢? 动脑思考 探索新知 概念 将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,记作 1 弧 度或 1rad.以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制.

若圆的半径为 r , 圆心角∠AOB 所对的圆弧长为 2 r , 那么∠AOB 的大小就是 2r 弧度 ? 2弧度 . r 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧 度数为零. 分析 由定义知道,角 ? 的弧度数的绝对值等于圆弧长 l 与半径 r 的 比,即 . ? ? (rad)

l r

半径为 r 的圆的周长为 2 π r ,故周角的弧度数为
2 πr (rad) ? 2 π (rad) . r

由此得到两种单位制之间的换算关系: 360° = 2π rad ,即 180° = π rad .

换算公式 1° = π (rad) ? 0.01745rad
180
180 1rad ? ( )? ? 57.3? ? 57?18? . π

说明 1.用弧度制表示角的大小时,在不至于产生误解的情况下,通 常可以省略单位“弧度”或“rad”的书写.例如,1 rad,2rad, 可以分别写作 1,2,

π rad, 2

π . 2

2.采用弧度制以后,每一个角都对应唯一的一个实数;反之,每一 个实数都对应唯一的一个角.于是,在角的集合与实数集之间,建 立起了一一对应的关系. *巩固知识 典型例题 例 1 把下列各角度换算为弧度(精确到 0.001): ⑴ 15° ; ⑵ 8°30′; ⑶?100° .
180

分析 角度制换算为弧度制利用公式 1° = π (rad) ? 0.01745rad . 解 ⑴ 15? ? 15 ? π ? π ? 0.262 ;
180 12

⑵ 8?30? ? 8.5? ? 8.5 ? π ? 17π ? 0.148 ;
180 360

⑶ ?100? ? ?100 ? π ? ? 5π ? ?1.745 .
180 9

例 2 把下列各弧度换算为角度(精确到 1′) : ⑴

3π ; 5

⑵ 2.1;

⑶ ?3.5.

分析 弧度制换算角度制利用公式 1rad ? (180 )? ? 57.3? ? 57?18? .
π

解 ⑴ 3π ? 3π ? 180? ? 108 ;
5 5 π

⑵ 2.1 ? 2.1? 180? ? 378? ? 120?19? ;
π π

⑶ ?3.5 ? ?3.5 ?

180? 630? ?? ? ?200?32? . π π

运用知识 强化练习 教材练习 5.2.1 1. 把下列各角从角度化为弧度(口答) : 180° ? ; 90° ? ; 45° ? ; 15° ? ;

60° ?

; 30° ?

; 120° ?

; 270° ?



2. 把下列各角从弧度化为角度(口答) :

π ?
2π ? 3

; ;

π ? 2 π ? 3

; ;

π ? 4 π ? 6

; ;

π ? 8 π ? 12

; .

3. 把下列各角从角度化为弧度: ⑴ 75° ; ⑵?240° ; ⑶ 105° ; ⑷ 67°30′.

4. 把下列各角从弧度化为角度:

π 2π ; ⑵ ; 15 5 自我探索 使用工具
⑴ 准备计算器.

⑶ ?

4π ; 3

⑷ ?6 π .

观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书,小组完成计算器 弧度与角度转换的方法. 利用计算器,验证计算例题 1 与例题 2. 巩固知识 典型例题 例 3 某机械采用带传动, 由发动机的主动轴带着工作机的从动轮转 动.设主动轮 A 的直径为 100 mm,从动轮 B 的直径为 280 mm.问: 主动轮 A 旋转 360°,从动轮 B 旋转的角是多少?(精确到 1′) 解 主动轮 A 旋转 360°就是一周, 所以,传动带转过的长度为π ×100 = 100π (mm) . 再考虑从动轮, 传动带紧贴着从动轮 B 转过 100π (mm)的长度,

l 那么,应用公式 ? ? ,从动轮 B 转过的角就等于 r 100? 5 ? ? ? 128 34' . 140 7 5 答 从动轮旋转 π ,用角度表示约为 128°34′. 7
例 4 如下图,求公路弯道部分 AB 的长 l (精确到 0.1m.图中长 度单位:m) .

分析 知道圆心角和半径, 求弧长时, 要首先将圆心角换算为弧度制. 解 60° 角换算为

π 弧度, 因此 3
π . ? 45 ? 3.142 ? 15 ? 47.1 (m) 3

l? ? R?

答 弯道部分 AB 的长 l 约为 47.1 m. *运用知识 强化练习 教材练习 5.2.2 1.填空: ⑴ 若扇形的半径为 10cm,圆心角为 60° ,则该扇形的弧长

l?

,扇形面积 S ?



⑵ 已知 1° 的圆心角所对的弧长为 1m,那么这个圆的半径是 m. 2.自行车行进时,车轮在 1min 内转过了 96 圈.若车轮的半径为 0.33m,则自行车 1 小时前进了多少米(精确到 1m) 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何?

继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.2; (2)书面作业: 学习与训练 5.2; (3)实践调查:了解弧度制的实际应用

课 题 名 称 课 题 序 号 使 用 教 具

5. 3 任意角的三角函数
4 授 课 课 时

授 课 班 级 授 课 时 间 第 1 到

13 中 授 课 形 式 讲练结合

知识目标:⑴ 理解任意角的三角函数的定义及定义域;⑵ 理解三角函数在各象限的 正负号;⑶ 掌握界限角的三角函数值. 教 学 目 的 能力目标:⑴ 会利用定义求任意角的三角函数值; ⑵ 会判断任意角三角函数的正负 号;⑶ 培养学生的观察能力. 教 学 重 点 教 学 难 点 更 新 、 补 充 、 删 减 内 容 (1)在知识回顾中推广得到新知识; (2)数形结合探求三角函数的定义域; 授课主要内 容或板书设 计 (3)利用定义认识各象限角三角函数的正负号; (4)数形结合认识界限角的三角函数值; (5)问题引领,师生互动.在问题的思考和交流中,提升能力. ⑴ 任意角的三角函数的概念;⑵ 三角函数在各象限的符号;⑶ 特殊角的三角函数值. 任意角的三角函数值符号的确定

课 外 作 业

P139-1、2

教 学 后 记

课 堂 教 学 安 排
主 要 教 学 内 容 及 步 骤 *动脑思考 探索新知 由于 r ? 0 , 所以任意角三角函数的正负号由终边上点 P 的坐标来 确定限. 当角 ? 的终边在第一象限时,点 P 在第一象限, x ? 0, y ? 0 ,所 以, sin ? ? 0,cos ? ? 0, tan ? ? 0 ; 当角 ? 的终边在第二象限时,点 P 在第二象限, x ? 0, y ? 0 ,所 以, sin ? ? 0,cos ? ? 0, tan ? ? 0 ; 当角 ? 的终边在第三象限时,点 P 在第三象限, x ? 0, y ? 0 ,所 以, sin ? ? 0,cos ? ? 0, tan ? ? 0 ; 当角 ? 的终边在第四象限时,点 P 在第四象限, x ? 0, y ? 0 ,所 以, sin ? ? 0,cos ? ? 0, tan ? ? 0 . 归纳 任意角的三角函数值的正负号如下图所示. y y y 教学过程 师生活动 设计意图等

? ?
sin?

? ?

x

? ?
°

? ?
cos?

x

? ?

?
tan?

x

?

巩固知识 典型例题 例 2 判定下列角的各三角函数正负号: (1)4327?; 分析 象限. 解 (1) 因为 4327 ? 12 ? 360 ? 7 ,所以,4327? 角为第一象限角, 故 sin 4327 ? 0 , cos4327 ? 0 , tan 4327 ? 0 . (2)因为 (2)

27? . 5

判断任意角三角函数值的正负号时,首先要判断出角所在的

27? 7? 27? ,所以, 角为第三象限角,故 ? 2 ? 2? + 5 5 5

sin

27? 27? 27? ? 0 , cos ? 0 , tan ? 0. 5 5 5

例 3 根据条件 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,确定 ? 是第几象限的角. 分析 sin ? ? 0 时,? 是第三象限的角、第四象限的角或 ? 的终边在 y
? 是第二或第四象限的角. 同 轴的负半轴上的界限角);tan ? ? 0 时,

时满足两个条件,就是要找出它们的公共范围. 解
? 取角的公共范围得 ? 为第四象限的角.

运用知识 强化练习 教材练习 5.3.2 1.判断下列角的各三角函数值的正负号: (1)525? ; (2)-235 ? ; (3)

19? 3? ; (4) ? . 6 4

2.根据条件 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,确定 ? 是第几象限的角 动脑思考 探索新知 探究 由于零角的终边与 x 轴的正半轴重合, 所以对于角终边上的任意 点 P ( x, y ) 都 有 x ? r , y ? 0 . 因 此 , 利 用 三 角 函 数 的 定 义 , 有

sin 0 ?

0 r 0 ? 0 , cos0 ? ? 1 , tan 0 ? ? 0 . r r r ? 3? 、?、 、 2 ? 等三角函数值. 2 2

同样还可以求得 0、 归纳 0
sin ?

? 2
1 0 不存在

?
0 ?1 0

3? 2
?1 0 不存在

2?

0 1 0

0 1 0

cos?

tan?

*巩固知识 典型例题 例 4 求值:
5cos180 ? 3sin 90 ? 2 tan 0 ? 6sin 270 ;

分析 这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值,然后再进行代 数运算. 解
5cos180 ? 3sin 90 ? 2 tan 0 ? 6sin 270

= 5 ? (?1) ? 3 ? 1 ? 2 ? 0 ? 6 ? (?1) ? ?2 . *运用知识 强化练习 教材练习 5.3.3 1.计算: 5sin 90 ? 2cos0 ? 3 tan180 ? cos180 .

? ? 1 ? 3? 2.计算: cos ? tan ? tan 2 ? sin ? cos ? . 2 4 3 3 2 归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.3; (2)书面作业: 学习与训练 5.3; (3)实践调查: 探究计算器的计算界限角的三角函数值的方法.

课题名称 课题序号 使用教具

5.4 同角三角函数基本关系 2 授 课 课 时

授 课 班 级 授 课 时 间 第 1 到

13 中 授 课 形 式 讲练结合

知识目标:理解同角的三角函数基本关系式. 教学目的 能力目标:⑴ 已知一个三角函数值,会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角 函数值;⑵ 会利用同角三角函数的基本关系式求三角式的值. 教学重点 教学难点 更新、补 充、删减 内 容 (1)由实际问题引入知识,认识学习的必要性; (2)认识数形结合的工具——单位圆; 授课主要 内容或板 书 设 计 (3)借助于单位圆,探究同角三角函数基本关系式; (4)在练习——讨论中深化、巩固知识,培养能力; (5)拓展应用,提升计算技能. 同角的三角函数基本关系式的应用. 应用平方关系求正弦或余弦值时,正负号的确定

课外作业

P142-1、2

教学后记

课 堂 教 学 安 排
主 要 教 学 内 容 及 步 骤 *动脑思考 探索新知 概念 同角三角函数的基本关系:
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? ?

教学过程 师生活动 设计意图等

sin ? . cos ?

说明 前面的公式显示了同角的正弦函数与余弦函数之间的平方关 系,后面的公式显示了同角的三个函数之间的商数关系,利用它们 可以由一个已知的三角函数值,求出其他各三角函数值. *巩固知识 典型例题 例 1 已知 sin ? ?

4 ,且 ? 是第二象限的角, 求 cos? 和 tan? . 5

分析 知道正弦函数值,可以利用平方关系,求出余弦函数值;然后 利用商数关系,求出正切函数值. 解 由 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,可得 cos? ? ? 1 ? sin2 ? . 又因为 ? 是第二象限的角,故 cos ? ? 0 .所以

4 3 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? ; 5 5

4 sin ? 4 5 =? . tan ? ? ? cos ? ? 3 3 5
注意:利用平方关系 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 求三角函数值时,需要进行开 方运算,所以必须要明确 ? 所在的象限.本例中给出了 ? 为第二象 限的角的条件,如果没有这个条件,就需要对 ? 进行讨论. *运用知识 强化练习 教材练习 5.4.1 1.已知 cos ? ?

1 ,且 ? 是第四象限的角, 求 sin ? 和 tan? . 2

3 2.已知 sin ? ? ? ,且 ? 是第三象限的角, 求 cos? 和 tan? . 5
*巩固知识 典型例题

例 2 已知 tan ? ? 2 ,求 分析

3sin ? ? 4cos ? 的值. 2sin ? ? cos ?

利用已知条件求三角式的值问题的基本方法有两种:一种是

将所求三角函数式用已知量 tan? 来表示;另一种是由 tan ? ? 2 得到
sin ? ? 2cos ? ,代入所求三角函数式进行化简求值.

解 1 由 已 知 tan ? ? 2 得

sin ? ? 2 , 即 sin ? ? 2 cos ? , 所 以 cos ?

3sin ? ? 4cos ? 3(2 cos ? ) ? 4 cos ? 10 cos ? 10 ? ? . = 2(2 cos ? ) ? cos ? 3cos ? 3 2sin ? ? cos ?

解 2 由 tan ? ? 2 知 cos ? ? 0 ,所以

3sin ? ? 4cos ? 3tan ? ? 4 6 ? 4 10 ? ? ? . 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 4 ? 1 3
例 3 已知 ? 为第一象限角,化简 分析 解
1 ?1 . cos 2 ?

化简三角式一般是利用三角公式或化简代数式的方法进行.

? 为第一象限角,故 tan ? >0 ,所以
原式=
1 ? cos2 ? sin 2 ? ? ? tan 2 ? ? tan ? . cos2 ? cos2 ?

*运用知识 强化练习 教材练习 5.4.2 已知 tan ? ? 5 ,求

sin ? ? 4cos ? 的值. 2sin ? ? 3cos ?

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?

*自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? *继续探索 活动探究 (1)读书部分: 教材章节 5.4; (2)书面作业: 学习与训练 5.4.

课 题 名 称 课 题 序 号 使 用 教 具

5.5 三角函数的诱导公式 2 授 课 课 时

授 课 班 级 授 课 时 间 第 1 到 2

13 中 授 课 形 式 讲练结合

教 学 目 的

1.理解诱导公式的推导方法. 2.掌握并运用诱导公式求三角函数值、化简或证明三角函数式.(二)能力训练点 1.理解掌握诱导公式及应用,提高三角恒等变形能力. 2. 树立化归思想方法, 将任意角的三角函数值问题转化为 0° ~90° 间的角的三角函数值问 题,培养学生化归转化能力. 理解并掌握诱导公式. 运用诱导公式求三角函数值,化简或证明三角函数式. 教学疑点:运用诱导公式时符号的确定.

教 学 重 点 教 学 难 点 更 新 、 补 充 、 删 减 内 容

授课主要内 容或板书设 计

课 外 作 业

P147-1

教 学 后 记

课 堂 教 学 安 排
主 要 教 学 内 容 及 步 骤 (一)复习诱导公式一 师:我们已经学习过诱导公式一,即终边相同的角的同一三角函数 的值相等,这组公式是如何表达的?它们的作用是什么? 生:诱导公式一可这样表达: sin(2kπ+α)=sinα; cosα(2kπ+α)=cosα; tg(2kπ+α)=tgα; ctg(2kπ+α)=ctgα. 利用诱导公式一可以把求任意角的三角函数值的问题,转化为求 0° ~360° (0~2π)间角的三角函数值的问题. 师:学习诱导公式的基本思想方法是化归转化,如果我们能把求 90° ~360° 间的角的三角函数值转化为求 0° ~90° 间的角的三角函数 值,那么任意角的三角函数值就都能通过查表来求. 设 0°≤α≤90°,则 90° ~180° 间的角,可以写成 180° -α;180° ~270° 间 的角,可以写成 180°+α;270° ~360° 间的角,可以写成 360° -α.下 面我们依次讨论 180°+α,-α,180-α,360° -α 的三角函数值与 α 的三 角函数值之间的关系.为了使讨论更具有一般性,这里假定 α 为任 意角. (布置学生阅读 P.152—153 初步了解诱导公式二、公式三的推导过 程.) (二)诱导公式二、三 师:首先我们先介绍单位圆概念,如图 2-18 示,以原点为圆心,等 于单位长的线段为半径作一个圆,这样的圆称为单位圆.下面我们 利用单位圆和任意角三角函数的定义来推导诱导公式二、三.推导 之前,请一位同学回答分别关于 x 轴,y 轴,原点对称的两个点的坐 标间的关系. 教学过程 师生活动 设计意图等

生: 设点 P(x、 y), 它关于 x 轴、 y 轴、 原点对称的点坐标分别是 P1(x, -y),P2(-x,-y),P3(-x,-y). 师:请同学们作出一个任意角 α 的终边,再作出 180°+α 角的终边, 它们与单位圆的交点有何特征?为什么? 生: 如图 2-18, 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x, y). 由于角 180°+α

的终边就是角 α 终边的反向延长线,角 180°+α 的终边与单位圆的交 点 P′,是与点 P 关于点 O 对称的。 师:正由于点 P 与点 P′关于原点 O 中心对称,所以 P′坐标是(-x, -y),又因单位圆半径 r=1,由正弦函数和余弦函数的定义可得到

因此,sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα,请同学们思考能否由 同角三角函数关系式推导出 tg(180°+α),ctg(180°+α)化简结果? 生:由同角三角函数间的基本关系式,可得到 师:因此我们可以得到诱导公式二 sin(180°+α )=-sinα,cos(180°+α)=-cosα, tg(180°+α )=tgα,ctg(180°+α)=ctgα. 例 1 求下列各三角函数值

师:我们再来研究角 α 与-α 的三角函数值之间的关系.请同学们作 出任意角 α 与-α 的终边,它们与单位圆的交点有何特征?为什么? 生:如图 2-19,任意角 α 的终边与单位圆相交于 P(x,y),角-α 的终 边与单位圆相交于点 p′,从图上可观察得到 P 与 P′关于 x 轴成轴 对称. 师:这位同学回答得正确!由于角 α 与-α 是由射线从 x 轴的正半轴 开始,按相反的方向绕原点作相同大小的旋转而成的,这两个角的 终边关于 x 轴对称,因此,点 p′的坐标为(x,-y),由于 r=1, 我们得到 sinα(-α)=-y, cos(-α)=x, 从而 sin(-α)=-sinα, (cos(-α)=cosα. 如 何由同角三角函数关系式推导出 tg(-α).ctg(-α)的化简结果? 生:由同角三角函数关系式可得到

师:因此我们可以得到诱导公式三 sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα, tg(-a)=-tgα,ctg(-α)=-ctgα. 例 2 求下列各三角函数值 (1)sin(-400° )=-sin(360° +40° )=-sin40° =-0.6428,

解:∵ ctg(-α-180° )=ctg[-(180°+α)]=-ctg(180°+α)=- ctgα, sin(-180°-α )=sin[-(180°+α )]=-sin(180°+α )=-(-sinα)=sinα.

(三)诱导公式四、五 师:请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导 180° -α 与 α 的三 角函数值之间的关系? 生:由诱导公式我们可以得到 sin(180°-α )=sin[180°+(-α )]=-sin(-α )=sinα; cosα(180°-α)=cos[180°+(-α)]=-cos(-α)=-cosα; tg(180°-α )=tg[180° +(-α)]=tg(-α)=-tgα; ctg(180°-α )=ctg[180° +(-α)]=ctg(-α)=-ctgα.

公式四: sin(180 ° - α )=sinα , cos(180° -α)=-cosα , tg(180° -α)=-tgα , ctg(180° -α)=-ctgα. 师:请大家再思考如何利用已学过的诱导公式推导 360° -α 与 α 的三 角函数值之间的关系. 生:由诱导公式我们可以得到: sin(360°-α )=sin(-α )=-sinα, cos(360° -α)=cos(-α)=cosα,

tg(360°-α )=tg(-α)=-tgα, ctg(360° -α)=ctg(-α)=-ctgα. 师:于是我们得到诱导公式五 sin(360°-α )=-sinα,cos(=360° -α)=cosα, tg(360°-α )=-tgα,ctg(360° -α)=-ctgα. 公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式. 上面这些诱导公式,可以概括如下: k·360°+α(k∈z),-α,180°±α,360° -α 的三角函数值等于 α 的同名函 数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号.简化成“函 数名不变,符号看象限”的口诀。请同学思考利用诱导公式求任意 角的三角函数值的步骤,即如何利用诱导公式将任意角的三角函数 求值问题化归成锐角三角函数求值问题?请看下面例题后总结其步 骤. 例 4 求下列各三角函数值

(2)cos(-1665° )=-cos1665° =-cos(4× 360° +225° )=-cos225°

师:反思例 4 的解题过程,请一位同学总结. 生:利用诱导公式求任意角的三角函数值,一般可按以下步骤进行:

师:运用诱导公式解题本质上是多次运用“化归”思想方法,化负 角为正角,化大角为周内角,再化为锐角.

四)总结 本节课我们学习了 π±α,-α,2π-α 形式的诱导公式,可用口诀“函数 名不变,符号看象限”来帮助记忆,正确掌握诱导公式符号是运用 诱导公式解题的关键. 五、作业

课 题 名 称 课 题 序 号 使 用 教 具

5-6正弦函数的性质和图像 2 授 课 课 时

授 课 班 级 授 课 时 间 第 1 到 2

13 中 授 课 形 式 讲练结合

教 学 目 的

1. 了解如何利用正弦函数的图像,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像; 2.理解周期函数与(最小正)周期的意义,并通过正弦曲线、余弦曲线了解正弦函数、 余弦函数的性质; 理解集合的概念,知道常用数集的概念及其记法,正弦函数的图像及其主要性质(包括定 义域、值域、周期性、奇偶性、单调性) 1. 利用正弦线画出函数 y=sinx,x∈[-π ,π ]的图像; 2. 利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线; 3.周期函数与(最小正)周期的意义。

教 学 重 点

教 学 难 点 更 新 、 补 充 、 删 减 内 容

授课主要内 容或板书设 计

1.重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养 2.激发学生发现问题和提出问题的热情,鼓励学生善于思考,学会分析问题和解决问题 3.通过教师的指导使明确知识结构,发现知识结论,培养其综合能力与逻辑思维能力

课 外 作 业

P156-1、2

教 学 后 记

课 堂 教 学 安 排
主 要 教 学 内 容 及 步 骤 一.引入课题 电脑演示:三角函数的图像究竟是怎样的呢?它的定义域、值域、奇偶性、单 调性又是如何的呢?今天,我们就一起来学习这部分内容。 二.复习旧知 在此之前我们先复习一些必要的知识。 1.正弦线、余弦线的定义,同时说明:当角度变化时,对应的线段 MP 的长度 就是这个角度的正弦值。 2.作出点( 教学过程 师生 活动 设计意图 等

π π , sin ) ,为作正弦函数图像作铺垫。 3 3

(6 分钟)

三.新课 (一)正弦函数的图像 下面我们一起来画正弦函数的图像。 (边操作边讲解) 说明: 列表: 描点: 作图。 提问:我们作出了正弦函数在区间[-π ,π ]上的图像,但正弦函数对任意角均 有值, 即定义域为实数集 R?如何作在其他区间上的函数图像呢?由终边相同的角的 三角函数值相等知:在区间[π ,3π ]上其函数图像与在上是一样的,在 [?? ,3? ] 上 也一样,在其他区间上也是一样。每隔 2π 正弦函数的图像就出现一次重复,如此充 满整个实数轴。可以想像,正弦函数的图像是怎样的?(电脑演示完整的正弦函数 图像) 说明:正弦函数的图像叫做正弦曲线。 (二) 五点作出正弦函数图象的图像 请同学们观察在[-π ,π ]上正弦函数的图像,它上面哪几个点对函数图像的确 定起关键作用?为什么?(基本确定图像的形状)[电脑显示这五个点,以示突出] 所以我们只要画出这五个点,这个图形就基本确定了。因此,在精确度要求不太高 时(画草图) ,我们一般可采用这种方法来画三角函数图像帮助我们分析。这种方法 要比我们刚才的几何法简单得多,我们称之为:五点法。 正弦函数的主要性质 (计算机显示正弦函数的图像)请同学们观察正弦函数的图像,讨论解决以下几个 问题,稍后请两组各推选一名代表作总结。 (1) 这两个函数的定义域分别是什么? (2) 它们的值域分别是什么?最大值、最小值是多少,此时自变量 x 等于什 么? (3) 它们的奇偶性如何?为什么? (4) 它们的单调性如何?它有什么特殊的地方?为什么会有这种周期性? (图象本身或者说函数本身就存在周期性) (5) 这两个函数还有没有与其他函数不一样的性质?(提示:我们一直在强 调的;或从图象上看?)——教师引导出周期性(先感性认识,不深入)

说明: 1、学生总结后,各小组派代表阐述结论,其他同学补充; 2、教师归纳; (电脑显示正弦函数的性质) (三)例题; (四)作业 (五)小结正弦函数的性质。

课 题 名 称 课 题 序 号 使 用 教 具

5.7 余弦函数的图像与 授 课 班 级 13 中 授 课 时 间 性质
1 授 课 课 时 第 1 到 1 授 课 形 式 讲练结合

教 学 目 的

知识与技能:1.了理余弦函数的图象与性质 2 运用图象求余弦函数的有关性质 过程与方法: (1)理解并掌握任意角的余弦函数 定义域,值域; (2)熟练地求解余弦函数值; (3)掌握并运用余弦函数图象解题。 情感态度与价值观: 培养学生类比的数学思想,代数推理能力,概括和形象思维能力。 培养学生严谨的科学学习态度。

教 学 重 点 教 学 难 点 更 新 、 补 充 、 删 减 内 容

熟练地求解任意角的余弦函数定义域,值域. 求单调性区间

授课主要内 容或板书设 计

课 外 作 业

P161-1、2

教 学 后 记

课 堂 教 学 安 排
主 要 教 学 内 容 及 步 骤 【课前预习,成竹在胸】 使用说明 学法指导: 1 用 20 分钟左右的时间,阅读课本 13------15 页内容,熟记基础知识.自 主高效预习,提升自己的阅读理解能力。 2 完成教材助读设置的问题不, 然后结合课本基础知识和例题, 完成预习自测题。 3 将预习中不能解决的问题标记出来,并不写到后面“我的疑问”处。 【自主学习】 一 余弦函数的图像的画法 (1)精确画法----余弦线定点 余弦线: (2)画简图-----“五点法” 根据余弦曲线的形状,画函数 Y=COSX X∈[0,2π ]的简图 用“五点法”作出 Y=COSX 的简图 教学过程 师生 活动 设计意图 等

X

0

? 2

?

3? 2

2?

Y=COSX

(1) 教材助读 图像

余弦函数的性质

定义域



值域

最大值, 最小值

当 X= 当 X=

时,Y=1 时,Y=-1



周期性

周期函数,T=

单 调 性

当 X∈[ , 函数是单调增加的 当 X∈[ , 函数是单调递减的

]时,

]时,

奇偶性

【合作学习】

探究案【数学是思维的体操】

1 2

类型二 判断函数的奇偶性 y=cos(x+π ) y=|cosx|

1 2 3

类型三 求函数的值域 Y=2Cosx-1 x∈ R Y=2Cosx-1 x∈ [0, 2π ] ? Y=2Cosx-1 x∈ [ ,π ]

4

训练案【相信自我,挑战自我】 一、选择题(每题 4 分,共 16 分) 1.函数 y=sin( 2 005? -2 004x)是( ) 2 (B)偶数 (A)奇函数 (C)非奇非偶函数 (D)既是奇函数又是偶函数 2.函数 y=cosx+1,x∈[0,4π ]的图像与直线 y=2 的交点的个数是( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

)

3.若函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图像和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个 封闭图形的面积为( ) (A)4 (B)8 (C)2π (D)4π 4.(2010·温州高一检测)函数 y=x2cosx 的部分图像是( )

二、填空题(每题 4 分,共 8 分) 5.(2010·湛江高一检测)函数 f(x)=lg(1+2cosx)的定义域是_____________. 6.y=cosx 在区间[-π ,a]上为增函数,则 a 的取值范围是_____________. 三、解答题(每题 8 分,共 16 分) 7.比较下列各组数的大小.

(1)cos

3 2 ,sin

? 10

,

(2)cos(-

47? )与 cos(- 44? ) 10 9

【本课小结】 1 2 3

课 题 名 称 课 题 序 号 使 用 教 具

5.8 已知三角函数值求角
1 授 课 课 时

授 课 班 级 授 课 时 间 第 1 到 1

13 中 授 课 形 式 讲练结合

教 学 目 的

知识目标: (1)掌握利用计算器求角度的方法; (2)了解已知三角函数值,求指定范围内 的角的方法. 能力目标: (1)会利用计算器求角; (2)已知三角函数值会求指定范围内的角; (3)培养使用计算工具的技能. 已知三角函数值,利用计算器求角; 利用诱导公式求出指定范围内的角. 已知三角函数值,利用计算器求指定范围内的角

教 学 重 点 教 学 难 点 更 新 、 补 充 、 删 减 内 容

授课主要内 容或板书设 计

(1)精讲已知正弦值求角作为学习突破口; (2)将余弦、正切的情况作类比让学生小组讨论,独立认知学习; (3)在练习——讨论中深化、巩固知识,培养能力; (4)在反思交流中,总结知识,品味学习方法.

课 外 作 业

P166-1、2

教 学 后 记

课 堂 教 学 安 排
主 要 教 学 内 容 及 步 骤 *揭示课题 5.7 已知三角函数值求角 *构建问题 探寻解决 问题 已知一个角,利用计算器可以求出它的三角函数值, 利用计算器,求 = (精确到 0.0001): 反过来,已知一个角的三角函数值,如何求出相应的角? 解决 准备计算器.观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书.小组内总结学习已知 三角函数值,利用计算器求出相应的角的方法. 利用计算器求出 x: 归纳 ,则 x= 教学过程 师生 活动 设计意图 等

计算器的标准设定中,已知正弦函数值,只能显示出?90° ~ 90° (或 角. *动脑思考 探索新知 概念 已知正弦函数值,求指定范围内的角的主要步骤是:

)之间的

(1) 利用计算器求出?90° ~90° (或

)范围内的角;

(2) 利用诱导公式 (3) 利用诱导公式 *巩固知识 典型例题 例 1 已知 分析 由于

求出 90° ~ 270° (或

)范围内的角;

,求出指定范围内的角.

,利用计算器求 0° ~360° 范围内的角 x(精确到 0.01° ) . ,所以角 x 在第一或第二象限,即所求的角为锐角或钝 ,求出对

角.按照所介绍的步骤,可以求出锐角,再利用公式 应的钝角. 解 按步骤计算,得到所求的锐角为 x1=23.58° . 利用 ,得到所求的钝角为

23.58° =156.42° . 故 0° ~360° 范围内,正弦值为 0.4 的角为 23.58° 和 156.42° . 例 2 已知 分析 由于 ,求区间 中的角 x(精确到 0.0001) .

,所以角 x 在第三或第四象限.按照所介绍的步骤,可以

求出 内的角,利用公式 定区间的角. 解 按步骤计算,得到 利用 ?(?0.4115) 利用 得到 . 所以区间 ,得到 ; 内的角为 中的角为



分别求出指



中的角为

中,正弦值为?0.4 的角为 3.5531 和 5.8717.

*运用知识 强化练习 教材练习 5.7.1 1.已知 2.已知 ,求 0° ~ 360° ,求 0° ~ 360° 范围内的角 范围内的角 (精确到 0.01° ) . (精确到 0.01° ) .

*构建问题 探寻解决 问题 已知一个角,利用计算器可以求出它的三角函数值, 利用计算器,求 = (精确到 0.0001). 反过来,已知一个角的三角函数值,如何求出相应的角? 解决 准备计算器.观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书,小组内总结学习已知 三角函数值,利用计算器求出相应的角的方法. 利用计算器求出 x: 归纳 计算器的标准设定中,已知余弦函数值,只能显示出 0° ~ 180° *动脑思考 探索新知 概念 已知余弦函数值,求指定范围内的角的主要步骤是: 之间的角. ,则 x= .

(1) 利用计算器求出 0° ~180° (2) 利用诱导公式 (3) 利用公式 *巩固知识 典型例题 例 3 已知 分析 因为

范围内的角; 求出?180° ~0° 范围内的角;

,求出指定范围内的角.

,求?180° ~180° 范围内的角 x(精确到 0.01° ) . , 所以角 x 在第一或四象限. 利用计算器按照介绍的步骤, , 可以求出知在?180° ~ 0°

可以求出 0° ~ 180° 之间的角. 利用诱导公式

内的角. 解 按步骤计算,得到在 0° ~180° 范围中的角为 x = 66.42° . 利用 ,得到-180° ~0° 范围内的角为 ?66.42° . 因此在?180° ~180° 范围内余弦值为 0.4 的角为 *运用知识 强化练习 教材练习 5.7.2 已知 ,求区间 内的角 (精确到 0.01) . .

*构建问题 探寻解决 问题 已知一个角,利用计算器可以求出它的三角函数值, 利用计算器,求 = (精确到 0.0001).

反过来,已知一个角的三角函数值,如何求出相应的角? 解决 准备计算器.观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书,小组内总结学习已知 三角函数值,利用计算器求相应的角的方法. 利用计算器求出 x: 归纳 ,则 x= .

计算器的标准设定中,已知正切函数值,只能显示出?90° ~ 90° (或 角. *动脑思考 探索新知 概念 已知正切函数值,求指定范围内的角的主要步骤是:

)之间的

(1)利用计算器求出?90° ~90° (或

)范围内的角;

(2)利用公式 (3)利用公式 *巩固知识 典型例题 例 4 已知 分析 因为

,求出 90°~270°(或 ,求出指定范围内的角.

)的角;

,求 0° ~360° 范围内的角 x(精确到 0.01° ) . ,所以角 x 在第一或三象限.利用计算器可以求出锐角,

再利用周期性可以求得 180° ~270° 范围中的角. 解 按步骤计算,得到所求的锐角为 x=21.80° . 利用周期性得到相应第三象限的角为 =201.80° . 所以在 0° ~360° 范围内,正切值为 0.4 的角为 21.80° 和 201.80° . *运用知识 强化练习 教材练习 5.7.3 已知 ,求区间 内的角 (精确到 0.01) .

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法? 你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材章节 5.7; (2)书面作业:学习与训练 5.7; (3)实践调查:探究计算器的其他使用方法.


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