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2011届高考数学第一轮复习专题讲义练习3


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等差数列和等比数列的综合(1 等差数列和等比数列的综合 )
基本练习 1 已知等差数列 {an } 中, a2 = 6, a5 = 15 若 bn = a2 n ,则数列 {bn } 的前 5 项的和为( C A 30 B 45 C 60 D 186 2 在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,。,18 的 18 名火炬手。取若从中 任 。。 选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( B )A

1 51

B

1 1 C 68 306

D

1 408

3 等差数列 {an } 中, a4 = 10 ,且 a3 , a6 , a10 成等比数列,则数列的前 20 项的和为___200 或 ___330 4 已知 f ( x ) =

x 1 , 数列 {an } 满足 a1 = ,an +1 = f ( an ) , an = _______ 则 3x + 1 3 5 正偶数排列如下表,其中第 i 行第 j 个数表示
a ij (i ∈ N*,j ∈ N*)例如 a32 =10,若 aij = 2010 ,
则 i + j = ____________.60
14

2 4 8 16 10 18 6 12 20

...............

6 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n = n ,则
3

2009 n= 2

∑a

2008 3 = ___________ 2009 n ?1

例 1 在数列 {a n } 中 a1 + 2a 2 + 3a 3 + ... + na n = n( 2n + 1)(n ∈ N *) . (1) 求数列 {a n } 的通项公式;(2)求数列 ?

? na n ? 的前 n 项和 Tn . n ? ?2 ?

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例 2 数列 {an } 满足a1 = 1, a2 = 2, an + 2 = (1 + cos (Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn =

2

nπ nπ )an + sin 2 , n = 1, 2,3,?. 2 2

a2 n ?1 1 , S n = b1 + b2 + ? + bn . 证明:当 n ≥ 6时, n ? 2 < . S a2 n n
2

解 (Ⅰ)因为 a1 = 1, a2 = 2, 所以a3 = (1 + cos

π
2

)a1 + sin 2

π
2

= a1 + 1 = 2,

an = (1 + cos 2 π )a2 + sin 2 π = 2a2 = 4.
一般地,当 n = 2k ? 1( k ∈ N* ) 时, a2 k +1 = [1 + cos = a2 k ?1 + 1 ,即 a2 k +1 ? a2 k ?1 = 1. 所以数列 {a2 k ?1} 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 = k . 当 n = 2k ( k ∈ N* ) 时, a2 k + 2 = (1 + cos
2
2

(2k ? 1)π 2k ? 1 ]a2 k ?1 + sin 2 π 2 2

2 kπ )a2 k = 2a2 k . 2
k

所以数列 {a2 k } 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2 k = 2 .

? n +1 * ? 2 , n = 2k ? 1(k ∈ N , 故数列 {an } 的通项公式为 a2 = ? n ? 2 * ? 2 , n = 2k ( k ∈ N .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn =

a2 n ?1 n = n, a2 n 2
① ②

1 2 3 n + 2 + 3 +? + n , 2 2 2 2 1 1 2 3 n S n = 2 + 2 + 4 + ? + n +1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得, S n = + 2 + 3 + ? + n ? n +1 . 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) 2 ] 2 ? n = 1? 1 ? n . =2 1 2n +1 2n 2 n +1 1? 2 Sn =
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1 n n+2 ? n = 2? n . n ?1 2 2 2 1 n(n + 2) < 1 成立. 要证明当 n ≥ 6 时, S n ? 2 < 成立,只需证明当 n ≥ 6 时, n 2n
所以 S n = 2 ? 证法一

6 × (6 + 2) 48 3 = = < 1 成立. 26 64 4 k (k + 2) < 1. (2)假设当 n = k ( k ≥ 6) 时不等式成立,即 2k
(1)当 n=6 时, 则当 n=k+1 时,

(k + 1)(k + 3) k (k + 2) (k + 1)(k + 3) (k + 1)(k + 3) = × < < 1. 2k +1 2k 2k (k + 2) (k + 2)i2k n(n + 1) 1 < 1 ,即当 n≥6 时, S n ? 2 < . 2 2 n

由(1)、(2)所述,当 n≥6 时, 证法二 令 cn =

n(n + 2) (n + 1)(n + 3) n(n + 2) 3 ? n 2 (n ≥ 6) ,则 cn +1 ? cn = ? = n +1 < 0. 2n 2 n +1 22 2 6×8 3 = < 1. 64 4

所以当 n ≥ 6 时, cn +1 < cn .因此当 n ≥ 6 时, cn ≤ c6 =

n(n + 2) < 1. 22 1 综上所述,当 n ≥ 6 时, S n ? 2 < . n
于是当 n ≥ 6 时, 例 3 已知 Sn=1+

1 1 1 + +…+ ,(n∈N*)设 f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定正数 t 的取值范围, 使得对 2 3 n 11 1 于一切大于 1 的自然数 n,不等式:f(n)>t- 恒成立. 20 t 1 1 1 解:∵Sn=1+ + +…+ .(n∈N*) 2 3 n
∴ f ( n ) = S 2 n +1 ? S n +1 = 1 1 1 + +?+ n+2 n+3 2n + 1 1 1 1 1 1 2 又f ( n + 1) ? f ( n ) = + ? = + ? 2 n + 2 2n + 3 n + 2 2n + 2 2 n + 3 2n + 4 1 1 1 1 =( ? )+( ? )>0 2n + 2 2n + 4 2n + 3 2n + 4 1 1 9 + = 2 + 2 2 + 3 20

∴f(n+1)>f(n)∴f(n)是关于 n 的增函数∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于 1 的自然数 n,不等式 f(n)>t-

11 1 恒成立 20 t

11 ?9 9 11 1 ? >t? 只要 >t- 成立即可于是 ? 20 20 解得 0<t<1 20 20 t ?t > 0 ?

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同步练习 ( )1 已知等差数列 {an } 中, | a3 |=| a9 | 公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取最大值的正整数 n 5或6 C 6或7 D 8或9

的值是( B) A 4或5 ( ) A. (

B

2 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, S5 = 3( a2 + a8 ) ,则

a5 的值为 ( D a3



1 6

B.

1 3

C.

3 5

D.

5 6

) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 满足 a1 , a3 , a4 成等比数列,S n为{a n }的前n 项和, 3



S3 ? S 2 的值为( A ) S5 ? S3

A.2

B.3

C.

1 5

D.不存在



) 等差数列 {an } 中,an ≠ 0 ,2a3 + a7 + 2a11 = 0 , 4 数列 {bn } 是等比数列, b7 = a7 , 且
2

则 b6b8 =( D ) A 2 ( B 4 C 8 D 16

)5 已知数列 {an } 的通项公式 an = log 2

n +1 ,设其前 n 项和 Sn ,则使 Sn <-5 成立的 n+2
D 有最大值 32

自然数 n ( A ) A 有 最小值 63 B 有最大值 63 ( )6 设直线 nx+(n+1)y =

C 有最小值 32

2 与两坐标轴围程的面积为 Sn ,则 S1 + S 2 + ... + S 2008 的值 2007 2008 2008 2009

为( D ) A 7

2005 2006

B

2006 2007

C

D

3 1 1 3 1 4 1 1 × =1? 2 , × + × 2 =1? , 1× 2 2 2 1× 2 2 2 × 3 2 3 × 22 3 1 4 1 5 1 1 × + × 2+ × 3 =1? ,……由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈ 1× 2 2 2 × 3 2 3 × 4 2 4 × 23
观 察 下 列 等 式 :

N* ,

3 1 4 1 n+2 1 × + × +?+ × = 1 × 2 2 2 × 3 22 n(n + 1) 2n

.

【答案】 1 ?

1 ( n + 1) ? 2n

8 有 n 个小球,将它们任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,再将其中一堆小球任意分 成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,如此下去,每次都任选一堆,将这堆小球任意分成两 堆,求出这两堆小球球数的乘积,直到不能再分为止,则所有乘积的和为_______.

n ( n ? 1)
2

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9 已知实数数列{an}中, a1 = 1, a6 = 32, an + 2 = 形状,计 A( m,n)为第 m 行从左起第 n 个数,则

an +12 ,把数列{an}的各项排成如下图的三角形 an

(1)A(12,5)=______ 2

125

a1
______

(2)若 A(m,n) × A(n,m)= 250 ,则 m+n=_____11__ 10 数列{an}满足 an = 3an ?1 + 3 ? 1( n ≥ 2) ,其中 a4 = 365 若
n

a2 a5 a6

a3 a7

a4 a8 a9

存在一个实数 λ ,使得 {

an + λ } 为等差数列,则 λ = __ -0.5 3n
*

11 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意 n ∈ N ,有 n, an , S n 成等差数列. (Ⅰ)记数列 bn = an + 1( n ∈ N ) ,求证:数列 {bn } 是等比数列.
*

(Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和为 Tn ,求满足

T +n+2 1 1 < n < 的所有 n 的值. 17 T2 n + 2n + 2 7

:]













S n = 2a n ? n



S n+1 = 2a n+1 ? (n + 1)

? a n +1 = 2a n +1 ? 2a n ? 1 ? a n +1 = 2a n + 1 ,
bn +1 an +1 + 1 2an + 2 = = = 2 又由 S1 = a1 = 2a1 ? 1 ? a1 = 1 bn an + 1 an + 1
所以数列 {bn } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列(Ⅱ)解: bn = an + 1 = 2 ,
n

an = 2 n ? 1 Tn = 2
n +1

T +n+2 ?1? 1 1 ?n?2, < n = ? ? < 所以 n 的值为 3,4 17 T2 n + 2n + 2 ? 2 ? 7
n

12.设 C1 , C2 ,? , Cn ,? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与直线

y=

3 x 相切, 对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn +1 相互外切, rn 表示 Cn 的半径, 以 已知 {rn } 3

为递增数列. (Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列;
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(Ⅱ)设 r1 = 1 ,求数列 { } 的前 n 项和.

n rn

3 3 1 x的倾斜角记为,则有tanθ = , sin θ = , 3 3 2 r 1 设Cn的圆心为(λn,0),则由题意得知 n = ,得λn = 2rn;同理 λn 2

解:(1)将直线y=

λn+1 = 2rn+1,从而λn+1 = λn + rn + rn+1 = 2rn+1,将λn = 2rn 代入,
解得rn+1 = 3rn 故 rn 为公比q = 3的等比数列。 (∏)由于rn = 1,q = 3,故rn = 3n ?1,从而 记Sn =
1 2 n + + ..... + , 则有 r1 r2 rn n = n *31? n , rn

Sn = 1 + 2*3?1 + 3*3?2 + ......n *31? n Sn = 1*3?1 + 2*3?2 + ...... + (n ? 1)*31? n + n *3? n 3 ① ? ②,得 2Sn = 1 + 3?1 + 3?2 + ... + 31? n ? n *3? n 3 1 ? 3? n 3 3 = ? n *3? n = ? (n + )*3? n , 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n + 3)*31? n ∴ S n = ? (n + ) *31? n = 4 2 2 4

13 已知函数 f(x)对任意 x ∈ R 都有 f ( x ) + f (1 ? x) =

1 1 , (1)求 f ( ) 的值 2 2 1 2 n ?1 (2)若数列{an}满足 an = f (0) + f ( ) + f ( ) + ... + f ( ) + f (1) ,求 an n n n
(3)设 bn =

4 4 an ? 1 1 4

, cn = bn bn +1 ,求数列 {cn } 的前 n 项的和 Tn (2) an =

(1) f ( ) =

1 2

1 16n (n+1) (3) Tn = 4 n +1
2 n

14 已知函数 f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x ,且 y = f ( x) 的图像过点 (1, n 2 ) ,且数列{an} 为等差数列, (2)当 n 为奇数时,设 g ( x ) = (1)求数列{an}的通项公式;

1 [ f ( x) ? f (? x)] 是否存在自 2

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然数 m 和 M,使得不等式 m < g ( ) < M 恒成立?若存在,求 M-m 的最小值,若不存在,说 明理由。 (1) an =2n-1 (2)M-m 的最小值为 2

1 2

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