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2015届高三文科艺术生数学一轮复习---概率


2015 届高三文科数学复习------随机事件的概率
古典概型: 几何概型: 考点再现: 1、某射手在一次射击中,射中 10 环,9 环,8 环的概率分别是 0.20,0.30,0.10,则此射 手在一次射击中不够 8 环的概率为( A.0.40 B.0.30 C.0.60 D.0.90 ). 答案 A

2、甲乙两人一起去游“2011 西安世园会”,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中 任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( 1 A. 36 ). 1 5 1 B. C. D. 9 36 6 若用 {1,2,3,4,5,6}代表 6 处景点,显然甲、乙两人选择结果为 {1,1}、 {1,2} 、

解析:

{1,3}、 ?、 {6,6}, 共 36 种; 其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、 {2,2}、 {3,3}、 ?、 1 {6,6},共 6 个基本事件,所以所求的概率值为 . 6 答案 D 3、已知集合 A ? x | 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 , B ? ? x | y ? 1g 则“ x ? A ? B ”的概率为 (A)

?

?

? ?

1? x ? ? ,在区间 ?? 3,3? 上任取一实数 x , x ? 3?
1 12

1 4

(B)

1 8

(C)

1 3

(D)

选 C.

4、从 ?1, 2,3, 4,5? 中随机选取一个数为 a 从 ?2,3, 4? 中随机选取一个数 b,则 b ? a 的概率是 A.

4 5

B.

3 5

C.

【 答 案 】 C

从 两 个 集 合 中 各 选 1 个 数 有 15 种 , 满 足 b ? a 的 数

2 5

D.

1 5

有, (1, 2), (1,3), (2,3), (1, 4), (2, 4), (3, 4) 共有 6 个,所以 b ? a 的概率是

6 2 ? ,选 C. 15 5

2 5、设 p在 ? 0,5? 上随机地取值,则关于 x 的方程 x ? px ? 1 ? 0 有 实数根的概率为

A.

1 5

B.

2 5
2

C.

3 5

D.

4 5

方程有实根,则 ? ? p ? 4 ? 0 ,解得 p ? 2 或 p ? ?2 (舍去).所以由几何概型可知所求的概 率为

5?2 3 ? ,选 C. 5?0 5

6 .某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,

成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段: ? 40,50 ? , ?50, 60 ? , ???, ?90,100 ? ,得到如图所示的频 率分布直方图.

(I)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成绩不低于 60 分的人数; (II)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的 50 名学生中成立“二帮一”小组, 即从成绩 ?90,100? 中选两位同学,共同帮助 ? 40,50 ? 中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,乙同学的成绩为 95 分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率. 【答案】 1000 ? 0.86 ? 860 人 (Ⅱ)成绩在 ? 40,50 ? 分数段内的人数为 50 ? 0.04 ? 2 人 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 50 ? 0.1 ? 5 人, [40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 5 人,记为乙、B、C、D、 E . 则“二帮一”小组有以下 20 种分组办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E , 甲 BC, 甲 BD,甲 B E ,甲 CD, 甲 C E , 甲 DE, A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D,A 乙 E,ABC,ABD,ABE , ACE, ADE 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 4 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E 所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P ?

ACD,

4 1 ? 20 5

7 .某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了 40 名学生的政治成绩,这 40 名学生 的成绩全部在 40 分至 l00 分之间,据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图. (I)求成绩在[80,90)的学生人数; (Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,求至少有 l 名学生成绩在 [90,100] 的概率.

【答案】解:(Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [80,90) 的频率为

1 ? (0.005 ? 2 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.045) ?10 ? 0.1 ,
所以,40 名学生中成绩在区间 [80,90) 的学生人数为 40 ? 0.1 ? 4 (人) (Ⅱ)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有一 名学生成绩在区间 [90,100] 内”, 由已知和(Ⅰ)的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 4 人, 记这四个人分别为 a, b, c, d , 成绩在区间 [90,100] 内的学生有 2 人,记这两个人分别为 e, f 则选取学生的所有可能结果为:

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ) , (d , e), (d , f ), (e, f )
基本事件数为 15, 事件“至少一人成绩在区间 [90,100] 之间”的可能结果为:

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) ,
基本事件数为 9, 所以 P ( A) ?

9 3 ? 15 5

8、以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书馆 A 学习的次数和乙组 4 名同学寒假 假期中去图书馆 B 学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 x 表示.

甲组 9 1 2 0 1
第 18 题图

乙组 x 8 2 9

(1)如果 x =7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差; (2)如果 x =9,从学习次数大于 8 的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰好分别在两个图 书馆学习且学习的次数和大于 20 的概率. 【答案】解(1)当 x=7 时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:7,8,9,12,所以平均

7 ? 8 ? 9 ? 12 ? 9; 4 1 7 方差为 s 2 ? [(7 ? 9) 2 ? (8 ? 9) 2 ? (9 ? 9) 2 ? (12 ? 9) 2 ] ? . 4 2
数为 x ? (2)记甲组 3 名同学为 A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数依次为 9,12,11;乙组 4 名同学为 B1,B2,B3,B4,他们去图书馆学习次数依次为 9,8,9,12;从学习次数大于 8 的学生中人选两名学 生,所有可能的结果有 15 个,它们是: A1A2,A1A3,A1B1,A1B3,A1B4,A2A3,A2B1,A2B3,A2B4,A3B1,A3B3,A3B4, B1 B3,B1B4,B3B4 用 C 表示:“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20”这一事件,则 C 中的结果有 5 个,它们是:A1B4,A2B4,A2B3,A2B1,A3B4, 故 选 出 的 两 名 同 学 恰 好 分 别 在 两 个 图 书 馆 学 习 且 学 习 的 次 数 和 大 于 20 概 率 为

P(C ) ?

5 1 ? . 15 3

9 . 某普通高中共有教师 360 人,分为三个批次参加研修培训,在三个批次中男、 女教师人数 如下表所示: 第一批次 女教师 男教师 第二批次 第三批次

86

x
66

y
z

94

已知在全体教师中随机抽取 1 名,抽到第二、三批次中女教师的概率分别是 0.15 、 0.1 . (Ⅰ)求 x, y, z 的值; (Ⅱ)为了调查研修效果,现从三个批次中按 1: 60 的比例抽取教师进行问卷调查,三个批次被 选取的人数分别是多少? (Ⅲ)若从(Ⅱ)中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈,求参加访谈的两名教师“分别来 自两个批次”的概率. 【答案】解:(Ⅰ) x ? 360 ? 0.15 ? 54, y ? 360 ? 0.1 ? 36

z ? 360 ? 86 ? 54 ? 36 ? 94 ? 66 ? 24
(Ⅱ)由题意知,三个批次的人数分别是 180,120, 60 ,所以被选取的人数分别为 3, 2,1 (Ⅲ)第一批次选取的三个教师设为 A1 , A2 , A3 ,第二批次的教师为 B1 , B2 ,第三批次的教师设 为 C ,则从这 6 名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为

? ? ? A1 A2 , A1 A3 , A1 B1 , A1 B2 , A1C , A2 A3 , A2 B1 , A2 B2 , A2C , A3 B1 , A3 B2 , A3C , B1B2 , B1C , B2C }
共 15 个 “来自两个批次”的事件包括

?1 ? ? A1 B1 , A1 B2 , A1C , A2 B1 , A2 B2 , A2C , A3 B1 , A3 B2 , A3C , B1C , B2C } 共 11 个,
所以“来自两个批次”的概率 p ?

11 15

10、从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高全部介于 155 cm 和

195 cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[ 155 , 160 ),第二组[160 , 165 ),,第
八组[ 190 , 195 ],右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第 八组人数相同,第六组的人数为 4 人. (Ⅰ)求第七组的频率; (Ⅱ)估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为

x, y ,事件 E ? { x ? y ? 5 },事件 F ? { x ? y ? 15 },求 P( E
频率/ /组距 频率 组距 0.06

F) .

0.04

0.016 0.008 O
155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高 身高(cm) (cm)

【答案】(Ⅰ)第六组的频率为

4 ? 0.08 ,所以第七组的频率为 50

1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ;
(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 , 身高在第二组[160,165)的频率为 0.016 ? 5 ? 0.08 ,

身高在第三组[165,170)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 身高在第四组[170,175)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 由于 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.32 ? 0.5 , 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.52 ? 0.5 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m ,则 170 ? m ? 175 由 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? ( m ? 170) ? 0.04 ? 0.5 得 m ? 174.5 所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 174.5 由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人 (Ⅲ)第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设为

A, B ,则有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况,
因事件 E ? { x ? y ? 5 }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E 包含的基 本事件为 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况,故 P ( E ) ?

7 15

由于 x ? y max ? 195 ? 180 ? 15 ,所以事件 F ? { x ? y ? 15 }是不可能事件, P ( F ) ? 0 由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以 P ( E

F ) ? P( E ) ? P( F ) ?

7 15

11、(本小题满分 l2 分) 为了增强学生的环保意识,某中学随机抽取了 50 名学生举行了一次环保知识竞赛,本次竞赛 的成绩(得分均为整数,满分 100 分)整理得到的频率分布直方图如下图.若图中第一组(成绩 为[40,50))对应矩形高是第六组(成绩为[90,100])对应矩形高的一半. (1)试求第一组、第六组分别有学生多少人? (2)若从第一组中选出一名学生,从第六组中选出 2 名学生,共 3 名学生召开座谈会,求第一组 中学生 A1 和第六组中学生 B1 同时被选中的概率.

【答案】

12、 . ( 【解析】 山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试 数学 (文) 试题) 有编号为 A1,A2,A3,,A6 的 6 位同学,进行 100 米赛跑,得到下面的成绩:

其中成绩在 13 秒内的同学记 为优秀. (l)从上述 6 名同学中,随机抽取一名,求这名同学成绩优秀的概率; (2)从成绩优秀的同学中,随机抽取 2 名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果,并求这 2 名同学的成绩都在 12.3 秒内的概率. 13.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率颁直方图如下:

(1 求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社 区服务次数在区间[25,30]内的概率. 【答案】

14、 某学校组织 500 名学生体检,按身高(单位:cm)分组:第 1 组[155,160),第 2 组[160,165), 第 3 组[165,170),第 4 组[170,175),第 5 组[175,180],得到的频率分布直方图如图所示. (1)下表是身高的频数分布表,求正整数 m,n 的值;

(2)现在要从第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,第 1,2,3 组应抽取的人数分别是多少? (3)在(2)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人,求至少有 1 人在第 3 组的概率.

【答案】

15. ( 【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)甲、乙 两名考生在填报志愿时都选中了 A 、 B 、 C 、 D 四所需要面试的院校,这四所院 校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假设每位 同学选择各个院校是等可能的,试求: (Ⅰ)甲、乙选择同一所院校的概率; (Ⅱ)院校 A 、 B 至少有一所被选择的概率. 【答案】

16. ( 【解析】山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文(a) )M 公司从某大学招收

毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所 示(单位:分),公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门” 工作. (I)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值; (II)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取 5 人,再从这 5 人 中选 2 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?

【答案】


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