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广州市2014届高三年级调研测试(文数)


广州市 2014 届高三年级调研测试

数学(文 科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、 错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.函数 y ?

4 ? x 的定义域是
B.? ??,4? C.? 4, ??? D.?4, ???

A.? ??,4?

2 2.命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是

,或 x ? ?1 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1

,或 x ? ?1 ,则 x ? 1 D.若 x ? 1
2

3.如图 1 是 2013 年某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统 计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和众数依次为 A. 85,84 C. 86,84 B. 84,85 D. 84,86

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3
图1

2 2 4.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则复数 ? i 的虚部是 z
A. ? i B. ? 1 C. i

D.1

1

5.若集合 A, B 满足 A ? ?x ? Z | x ? 3? , B ? N ,则 A A. {0,1, 2} B. {1, 2}

B 不可能 是 ...
D. ?

C. {?1}

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 6.若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7.执行如图 2 的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是 A.15 开始 输入 N B.105 C.120 D.720 否 输出 p 结束

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?


k ?k?2
8.某几何体的三视图(如图 3 所示)均为边长为 2 的等腰直角三角 形,则该几何体的表面积是 A. 4 ? 4 2 C. 4 ? 2 B. 4 2 D. 8 ? 4 2

图2

正视图

侧视图

俯视图 9.若点 A(1,0) 和点 B(4, 0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2,则这样的直线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

图3

10.函数 f ( x) ? sin x ? x 在区间 ?0, ??? 内 A.没有零点 C.有且仅有 2 个零点 B.有且仅有 1 个零点 D.有且仅有 3 个零点

二.填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.若向量 m ? ?1,2 ? , n ? ? x,1? 满足 m ? n ,则 | n |? __________. 12.在等比数列 {an } 中,若 a2 ? a3 ? 3a1 ,则 a4 ? .
?

13. 在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M , 则满足 ?AMB ? 90 的概率为_______.

2

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 4, AC 为⊙ O 的 直径, OB ? AC ,弦 BN 交 AC 于点 M . 若 OC ? 3 , OM ? 1 ,则 MN 的长为 .
C B

M O N

A

15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 若点 P( x, y ) 在曲线 ?

图4 .

y ? x ? ?2 ? cos ? ( ? 为参数,? ? R )上,则 的取值范围是 x ? y ? sin ?

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos (1)求 cos B 的值; (2)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

A?C 3 . ? 2 3

3

17. (本小题满分 12 分) 某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们 的年龄在 25 岁至 50 岁之间.按年龄分组:第 1 组

[25,30) ,第 2 组 [30,35) ,第 3 组 [35, 40) ,第 4 组
[40, 45) ,第 5 组 [45,50] ,得到的频率分布直方图
如图 5 所示.下表是年龄的频率分布表. 区间 人数 图5

[25,30)
25

[30,35)

[35, 40)
b

[40, 45)

[45,50]

a

(1)求正整数 a , b , N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率.

4

18. (本小题满分 14 分) 如图 6,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AC , PC ? BC ,

P

M 为 PB 的中点, D 为 AB 的中点,且△ AMB 为正三角形.
(1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)若 BC ? 4 , PB ? 10 ,求点 B 到平面 DCM 的距离. A D 图6 B M C

19. (本小题共 14 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ?

a2 a3 ? ? 2 22

?

an ? 2n , n ? N* . 2n ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . ? an ? 1?? an?1 ? 1?

5

20. (本小题满分 14 分) 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,设点 P 在 x 轴上的正投影为点 D .当点 P 在圆上运 动时,动点 M 满足 PD ? 2MD ,动点 M 形成的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2) 已知点 E ?1,0? , 若 A, B 是曲线 C 上的两个动点, 且满足 EA ? EB , 求 EA ? BA 的 取值范围.

6

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 ? ? a ? 2? x . (1)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [a 2 , a] 上的最大值.

7

参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B D A D C D B

A C B

二.填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 5 12.3 13.

? 8

14.1

15. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解 : ( 1 ) 在 △

ABC





A?


B? C? ? .???????????????????????? 1分


c


A?C ? 2

? ?B
2

o ???????????????????????????? 2

? sin
????3 分 所

B 3 .??????????????????????? ? 2 3


2

c


B? ?

B o ????????????????????????????? 5 2 1 .????????????????????????????? 3

?
????7 分

8

(2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? 由 余

1 , 3
弦 定 理

b2 ?


2

2 a,???????????????????????? ? c c2 ? o a s 9分

c

c 2 ? 2c ? 1 ? 0 .????????????????????????????????
11 分 解 得

c ? 1 .???????????????????????????????????12


17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由频率分布直方图可知, [25,30) 与 [30,35) 两组的人数相同,

a ? 25 所 以 人.?????????????????????????????????1 分


b ? 25 ?
N?

0.08 ? 100 0.02

人.?????????????????????????????2 分 总 人 数

25 ? 250 0.02 ? 5

人.???????????????????????????3 分 (2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人, 每组抽取的人数分别为: 第 1 组 的 人 数 为

6?

25 ? 1 ,????????????????????????????4 分 150
第 2 组 的 人 数 为

25 6? ? 1 ,????????????????????????????5 分 150
第 3 组 的 人 数 为

100 6? ? 4 ,???????????????????????????6 分 150
所以第 1, 2, 3 组分别抽取 1 人, 1 人, 4 人. ???????????????????? 7分 (3) 由 (2) 可设第 1 组的 1 人为 A , 第 2 组的 1 人为 B , 第 3 组的 4 人分别为 C1 , C2 , C3 , C4 , 则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为: ( A ,B ) ,( A, C1 ) ,( A, C2 ) ,( A, C3 ) ,( A, C4 ) ,( B, C1 ) ,( B, C2 ) ,( B, C3 ) ,( B, C4 ) ,

(C1 , C2 ) , (C1 , C3 ) , (C1 , C4 ) , (C2 , C3 ) , (C2 , C4 ) , (C3 , C4 ) , 共 有 15
种.???????????9 分
9

其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为: ( A, C1 ) , ( A, C2 ) , ( A, C3 ) , ( A, C4 ) , ( B, C1 ) , ( B, C2 ) , ( B, C3 ) , ( B, C4 ) ,共有 8 种. ?????????????????? ???11 分 所 以 恰 有 1 人 年 龄 在 第 3 组 的 概 率 为

8 .??????????????????????12 分 15
18. (本小题满分 14 分) ( 1 ) 证 明 : 在 正

?A M B 中 , D



AB

的 中 点 , 所 以

MD ? AB .??????????????1 分
因 为 M 是 PB 的 中 点 , D 是 AB 的 中 点 , 所 以 MD // PA , 故

P A ?

A.???????? B 2分

又 PA ? AC , AB

AC ? A , AB, AC ? 平面 ABC ,

P

所以 PA ? 平面 ABC .?????????????4 分 因为 BC ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC .?????5 分 又 PC ? BC, PA M A D B C

PC ? P, PA, PC ? 平面 PAC ,

所以 BC ? 平面 PAC .????????????7 分 (2)解法 1:设点 B 到平面 DCM 的距离为 h ,???8 分 因为 PB ? 10 , M 是 PB 的中点,所以 MB ? 5 . 因 为

?A

M 为B















AB ? MB ? 5 .????????????????????9 分
因为 BC ? 4, BC ? AC ,所以 AC ? 3 . 所 以

S?B


?

1 2

?

? ? ?

?

? ? ? 4 ? ? .????????????? 10 S C

1 2

5 3 ?5? 因为 MD ? 5 ? ? ? ? , 2 ?2?
2

2

由(1)知 MD // PA ,所以 MD ? DC . 在 ?ABC 中, CD ? 所
10

1 5 AB ? , 2 2


S ?MCD ?
分 因

1 1 5 3 5 25 3 .????????????????11 ? MD ? CD ? ? ? ? 2 2 2 2 8



VM ?B


? VB?M ,????????????????????????????? C 12

C

所以 即

1 1 S ?BCD ? MD ? S ?MCD ? h , 3 3

1 5 3 1 25 3 ? 3? ? ? ? h .?????????????????????????? 3 2 3 8
13 分 所以 h ? 故

12 . 5
B
到 平 面



D

C

的M







12 .????????????????????????14 分 5 解 法 2 : 过 点 B 作 直 线 CD 的 垂 线 , 交 CD 的 延 长 线 于 点 H ,????????????????8 分 由(1)知, PA ? 平面 ABC , MD // PA , P 所以 MD ? 平面 ABC . 因为 BH ? 平面 ABC ,所以 MD ? BH . 因为 CD MD ? D ,所以 BH ? 平面 DCM . M 所以 BH 为点 B 到平面 DCM 的距离.??????9 分
因为 PB ? 10 , M 是 PB 的中点,所以 MB ? 5 . 因为 ?AMB 为正三角形,所以 AB ? MB ? 5 .??10 分 因为 D 为 AB 的中点,所以 CD ? BD ? A D H B E C

5 . 2

以下给出两种求 BH 的方法: 方法 1:在△ BCD 中,过点 D 作 BC 的垂线,垂足为点 E , 则

DE ?
11 分 因

1 3 AC ? .??????????????????????????????? 2 2


1 1 ? CD ? BH ? ? BC ? DE ,???????????????????????? 12 2 2


11

BC ? DE 所以 BH ? ? CD

4?

3 2 ? 12 . 5 5 2
中 ,

BHD Rt : 在 △ 25 2 BH 2 ? DH ? BD ? . 2 ①??????????11 分 4 在 Rt △ BHC 中,因为 BC ? 4 , 2 2 2 所以 BH ? CH ? BC ,
方 法 2 即

5? ? BH ? ? DH ? ? ? 16 . 2? ?
2

2

②?????????????12

分 由①,②解得 BH ? 故 点

12 . 5
到 平 面

B

D

C

的M







12 .????????????????????????14 分 5
19. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 a1 ? 所

a2 a3 ? ? 2 22


?

an ? 2n , n ? N* , n ?1 2


① 时 ,

n ?1

a1 ? 2 .?????????????????????????????1 分


n?2





a1 ?

a2 a3 ? ? 2 22

?

an ?1 ? 2 ? n ? 1? 2n ? 2



② ?????????????2 分 ① - ② 得 ,

an ? 2 .???????????????????????????????4 分 2 n ?1
所 以

an ? 2n .??????????????????????????????????5
分 因为 a1 ? 2 ,适合上式, 所 以

an ? 2n ? n ? N * ? .??????????????????????????????6
分 (2)由(1)得 an ? 2n .
12




n ?1

an 2n ? bn ? ? an ? 1?? an?1 ? 1? ? 2n ? ??
?
???10 分 所以 Sn ? b1 ? b2 ?
n

?

?

???????????????????8 分

1 1 ? n ?1 .????????????????????????? 2 ?1 2 ?1

? bn
1 ? ? 1 ?? n ? n?1 ? ????????? ? 2 ?1 2 ?1 ?

? 1? ?1 1? ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 7 ? ? 7 15 ?
???12 分

? 1?
???14 分

1 2
n ?1

?1

.???????????????????????????

20. (本小题满分 14 分) ( 1 ) 解 法 1 : 由

PD ? 2MD 知 点 M

为 线 段

PD

的 中

点.?????????????????1 分 设 点

M









(x y ,

) ,





P









? x, 2 y ? .?????????????????2 分
因为点 P 在圆 x ? y ? 4 上,
2 2


2



x 2 ? ? 2 y ? ? 4 .???????????????????????????????3
分 所 以 曲 线

C









x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????????????4 分 4
解法 2:设点 M 的坐标是 ( x, y ) ,点 P 的坐标是 ?x0 , y0 ? , 由

PD ? 2MD





x0 ? x



y0 ? 2 y .???????????????????????1 分
因 为 点

P

?x0 , y0 ?




13

x2 ? y2 ? 4









x0 ? y0 ? 4 .


2

2

①?????????2 分 ,

x0 ? x

y0 ? 2 y















x 2 ? 4 y 2 ? 4 .?????????????????3 分
所 以 曲 线

C









x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????????????4 分 4
( 2 ) 解 : 因 为

EA ? EB







EA ? EB ? 0 .??????????????????????5 分
所 以

EA ? BA ? EA ? EA ? EB ? EA .???????????????????????7
分 设 点

?

?

2

A ? x1 , y1 ?





x12 ? y12 ? 1 4





y12 ? 1 ?

x12 .??????????????????8 分 4
2 2 2 2

所以 EA ? BA ? EA ? ? x1 ? 1? ? y1 ? x1 ? 2 x1 ? 1 ? 1 ?
2

x12 4

3 3? 4? 2 ? x12 ? 2 x1 ? 2 ? ? x1 ? ? ? .???????????????????? 4 4? 3? 3
???10 分 因 为 点

A ? x1 , y1 ?





线

C









?2 ? x1 ? 2 .??????????????????11 分
所 以
2

2 ? ? ? ? x1 ? ? ? 3 ? ?
分 所 以

3 ? 9 .??????????????????????????13 4

EA ? BA













?2 ? 9? .????????????????????????14 分 ?3, ? ?

14

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (a ? 2) x , 所 且 以 函 数

f ? x?











(0, ??) .????????????????????????1 分
f ?( x) ?
分 因为 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值, 所以 f ? ?1? ? 1 ? 2a ? ? a ? 2? ? 0 . 解 分 得

1 ? 2ax ? (a ? 2) . ???????????????????????????2 x

a ? ?1 .??????????????????????????????????3

1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? 3 ? , x x 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 所以 x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的极小值点.
当 a ? ?1 时, f ?( x) ? 故

a ? ?1 .???????????????????????????????????4
分 (2)因为 a ? a , 所以 0 ? a ? 1 .??????????????????????????????????5 分
2

(2 x ? 1)(ax ? 1) . x 因为 x ? (0, ??) ,所以 ax ? 1 ? 0 . 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 1 ? ? ?1 ? 所 以 函 数 f ( x ) 在 ? 0, ? 上 单 调 递 增 ; 在 ? , ?? ? 上 单 调 递 ? 2? ?2 ?
由(1)知 f ?( x ) ? ? 减.????????????7 分 ①当 0 ? a ? 所

1 2 时, f ( x ) 在 [a , a] 上单调递增, 2

3

? f ( x)?max ? f (a) ? ln a ? a


? a ? 2a .?????????????????????9
2

1 ? a? , ? 1 2 ? ? 2 1? ?1 ? 2 ②当 ? 即 ?a? 时, f ( x ) 在 ? a , ? 上单调递增,在 ? , a ? 上单调递减, 2 2? ? ?2 ? ?a 2 ? 1 . 2 ? ? 2
所 以

15

? f ( x)?max ? f ? ?
分 ③当

1? a a?2 a ? ? 1 ? ln 2 .??????????????11 ? ? ? ln 2 ? ? 4 2 4 ?2?

1 2 ? a 2 ,即 ? a ? 1时, f ( x) 在 [a 2 , a] 上单调递减, 2 2


? f ( ?m




?

2

.??????????????????? x) 13 a

?

综上所述:

1 3 2 时,函数 f ( x ) 在 [a 2 , a] 上的最大值是 ln a ? a ? a ? 2a ; 2 a 1 2 2 当 ?a? 时,函数 f ( x ) 在 [a , a] 上的最大值是 ? 1 ? ln 2 ; 4 2 2 2 当 ? a ? 1 时 , 函 数 f ( x ) 在 [ a 2 , a] 上 的 最 大 值 是 2 2ln a ? a5 ? a3 ? 2a 2 .???????14 分
当0 ? a ?

16


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