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2014—2015学年漳州八校高三联考理科数学试题


2014—2015 学年漳州八校高三联考理科数学试题
(考试时间:120 分钟 总分:150 分) 命题人:程溪中学 许飘勇 审核人:王友祥 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的). 1.已知集合 A ? ?? 1, i?, i 为虚数单位,则下列选项正确的是( )

8.在区间 [0, ? ] 上随机取一个数 x ,则事件“ sin x ? cos x ? A.

6 ”发生的概率为( ) 2
D.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

2 3
D1 A1 C1 B1

9.如图,棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为线段 A1 B 上的 动点,则下列结论错误 的是( ) .. A. DC1 ? D1 P C. ?APD 1 的最大值为 90
0

1 A. ? A i

1? i ?A B. 1? i

C. i ? A
5

D. ? i ? A

B.平面 D1 A1 P ? 平面 A1 AP
A

D

P B

C

2.某几何体的三视图如图所示, 其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形, 俯视图是半径为 1 的半圆,则其侧视图的面积是( ) A.

D. AP ? PD1 的最小值为 2 ?

2

1 2

B.
2

3 2
2

C. 1

D. 3

10 .已知集合 M=N={0,1,2,3},定义函 数 f:M→N,且点 A(0,f(0) ) , B(i,f(i) ) , ??? ? ??? ? ??? ? C (i+1, f (i+1) ) , (其中 i=1, 2) . 若△ABC 的内切圆圆心为 P , 且满足 PA ? PC ? ? PB(? ? R) , 则满足条件的 ?ABC 有( ) A.10 个 B.12 个 C.18 个 D. 24 个 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在答题卷中的横线上). 11.为了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根据所得数据画出样本的 频率分布直方图(如右) ,那么在这 100 株树木中,底部周 长小于 110cm 的株数是
12.已知 a

3.“mn>0”是“方程 mx ? ny ? 1 表示椭圆”的 (

)

A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知具有线性相关的两个变量 x, y 之间的一组数据如下:

x y

0 2.2

1 4.3

2 4.5
[来源:学&科&网]

3 4.8

4 6.7 )

y ? 0.95 x ? a, 则当x ? 6时, y 的预测值为( 且回归方程是 ?
A.8.4 B.8.3 C.8.2 D.8.1

?

? ? ? ? (3, ?2), a ? b ? (0, 2),则 | b |?

x ? 0, ? y?3 ? y ? 0, 5. 若变量 x, y 满足约束条件 ? 则z ? 的取值范围是 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12, ?
3 A .( ,7) 4
x

4 2 ,且 a4 ? ? (1 ? 2 x)dx ,则公比等于_____________; 1 3 2 y x2 14.已知 F2、F1 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的上、下焦点,点 F2 关于渐近线的对称点恰 a b

13.若等比数列{ an }的首项为

2 B.[ ,5 ] 3

2 C.[ ,7] 3

3 D. [ ,7] 4

好落在以 F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为_____________; 15. 在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”。类似的,我们在 平面向量集 D= a a ? ? x, y ? , x ? R, y ? R 上也可以定义一个称“序”的关系,记为“ ? ”。

6.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( ) A. f ( x ) ? C. f ( x ) ?

2 ?1 2x ? 1 x x

B. f ( x ) ?

cos x ? ? (? ? x ? ) x 2 2
2 2

?? ?? ? ?? ?? ? , a1 ? a2 ” 定义如下:对于任意两个向量 a1 ? ? x1 , y1 ? , a2 ? ? x2 , y2?“ 当且仅当“ x1 ? x2 ”或
“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”。按上述定义的关系“ ? ”,给出如下四个命题: ①若 e1 ? ?1,0 ? , e2 ? ? 0,1? ,0 ? ? 0,0 ? , 则e1 ? e2 ? 0 ; ) ②若 a1 ? a2 , a2 ? a3 ,则 a1 ? a3 ;

?

??

?

D. f ( x) ? x ln( x ? 1)

??

?? ?

?

??

?? ?

?

??

?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

7.已知等比数列{an}中, a2=1, 则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 (
A. (??, ?1] B. (??, ?1) ? (1, ??) C. [3, ??)

D. (??, ?1] ? [3, ??)

③若 a1 ? a2 ,则对于任意 a ? D, a1 ? a ? a2 ? a ;

??

?? ?

?? ?

?? ? ?

④对于任意向量 a ? 0,0 ? ? 0,0 ?,若a1 ? a2 , 则a ? a1 ? a ? a2 .

?

? ?

??

?? ?

? ??

? ?? ?

其中真命题的序号为__________ 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 16. (本小题满分 13 分) 我国政府对 PM2.5 采用如下标准: PM2.5 日均值 m(微克/立方米) 空气质量等级 PM2.5 日均值(微克/立方米)

记动点 C 的轨迹为曲线 W. (Ⅰ)求 W 的方程; 2且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q,求 k 的取值范围; ??? ? ???? (Ⅲ)已知点 M( 2,0) ,N(0, 1) ,在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 ???? ? MN 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. (Ⅱ)经过点(0,

2 8 2 3 8 2 1 4 4 5 二级 35 ? m ? 75 6 3 8 超标 m ? 75 7 7 某市环保局从 180 天的市区 PM2.5 监测数据中, 随机抽取 l0 天的数据作为样本, 监测值如茎叶 图所示(十位为茎,个位为叶). (I)求这 10 天数据的中位数.

m ? 35

一级

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1, a ? R. (Ⅰ)求 f ( x)在x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)数列 {an }中, a1 ? 2, 2an ?1 ? an ? 1 ,数列 {bn } 满足 bn ? n ln an , 记{bn } 的前 n 项和 Tn , 求证: Tn ? 4 ?

(II)从这 l0 天的数据中任取 3 天的数据,记 ? 表示空气质量达到一级的天数,求 ? 的分布列; (III) 以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计这 180 天的空气质量情况,其中大约有多少天的空气质 量达到一级.

n?2 . 2n ?1

17. ( 本小题满分 13 分) ? ? ? ? 已知 m =(1,﹣ ) , n =(sin2x,cos2x) ,定义函数 f(x)= m n . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)已知△ABC 中,三边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,f( (i)若 acosB+bcosA=csinC,求角 B 的大小 ; (ii)记 g(λ)=| + |,若| |=| |=3,试求 g(λ)的最小值.
A 2

)=0.

21. (本小题满分 14 分)本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选两题作 答,共 14 分.如果多做,则按所做的前两题计分. (1 ) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知在矩阵 M 对应的变换作用下,点 A(1,0)变为 A′(1,0),点 B(1,1)变为 B′(2,1). (Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)求 M , M ,并猜测 M (只写结果,不必证明) . (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐 标方程为
2 3 n

? s i n?

18.(本小题满分 13 分) 如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是半圆 O 上除 A 、 B 外的一个动点, DC 垂直于半圆 O 所在 的平面, DC ∥ EB , DC ? EB , AB ? 4 , tan ?EAB ? ⑴证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; ⑵当三棱锥 C ? ADE 体积最大时,求二面角 D ? AE ? B 的余弦值.

0 ?? ?? ) . (Ⅰ)写出直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标.
2

? x ? 1 ? cos α, 3 ?? ? ,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, ?? ? ? ?3 ? 2 ? y ? sin α

1 . 4

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c ? R? ,且 a ? b ? c ? 3 , a ? b ? c 的最小值为 M .
2 2

(Ⅰ)求 M 的值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 1|? M

19.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1, 0)、B(1, 0), 动点 C 满足条件:△ABC 的周长为 2+2 2. .

2014—2015 学年漳州八校高三联考理科数学答题卷
(考试时间:120分钟 总分:150分)

17.(本小题满分 13 分)

题号 得分





16

17

18

19

20

21

总分

一、 选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11、 ; 12、 13、 ; 14、 15、 ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

; 。

18.(本小题满分 13 分)

三解答题: (本题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 13 分)

19.(本小题满分 13 分)

21.(本小题满分 14)

20.(本小题满分 14 分)

2014—2015 学年漳州八校高三联考理科数学答案
一、选择题:(每小题 5 分,满分 50 分). 1-5. CBABD 6-10. ADBCC 二、填空题:(每小题 4 分,满分 20 分). (11). 70 (12). 5 (13). 3 (14) 2 (15). ①②③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 解:(I)10 天的中位数为( 38+44)/2=41(微克/立方米) 所以 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 . ????8 分
P( X ? k ) ? C ? 0.4 3? k ? 0.6
k k 10 k 10?k

又由于 0 ? C ? ? ,所以 C ? 所以 B ? ? ? ( A ? C ) ? (ⅱ) AB ? ? AC ?

?
2

,??????8 分

?
6

.??????9 分

??? ?

????

? AB ? ? AC ?
?
3

??? ?

????

2

?

??? ?2 ??? ? ???? ???? 2 AB ? 2? AB ? AC cos A ? ? 2 AC ,?10 分

又 AB ? AC ? 3 , A ? 所以 AB ? ? AC ?

??? ?

????



-----------2 分
的概率

??? ?

????

?1 ? ? ? ? ? AB
2

??? ?2

(II)由 N 所以,该射击队员在 0,1,9 2, 3 ? 10, M ? 4, n ? 3 ,10 ? 的可能值为 次的射击中,击中 环以上(含 9 环)的次数为 k

1? 3 ? ? (1 ? ? ? ? 2 )32 ? 3 ? ? ? ? ? ,12 分 2? 4 ?

2

C ?C 利用 P(? ? k ) ? 4 3 6 C10 * k ?1


, k ? N 时,

?
p

22 P( X ? k ) ? 令 . ??????12 分 1 ? k ? 1) ? 11 ,解得 k 3 1 5 P( X
所以当 1 ? k ? 4 时, P( X ? k ? 1) ? P( X ? k ) ; 当 5 ? k ? 10 时, P( X ? k ? 1) ? P( X ? k ) .

0

1

k C10 ? 0.4k ? 0.610?k P( X ? k ) 2(11 ? k ) . ? k ?1 ? P( X ? k ? 1) C10 ? 0.4k ?1 ? 0.610?k ?1 3k

(k ? 0 , 1 , 2 , 3) 即得分布列:
2 3

(k ? 0,1, 2,?,10) .

??????10 分

故当 ? ? ?

??? ? ???? 1 3 3 时, g (? ) ? AB ? ? AC 的值取得最小值 .??????13 分 2 2

6

2

10

30

-----------10 分

(III)一年中每天空气质量达到一级的概率为 ,由? ~ B ??????? 180, ? , 得到 综上,可知当 k ? 4 时, P( X ? k ) 取得最大值. 13 分

2 5

? ?

2? 5?

18.(本小题满分 13 分) ??? ? ??? ? ??? ? P AC BC 另 解 : 记 AB 则? 是 过 B 且 与 AC 平 行 的 直 线 l 上 的 动 点 , AB ? ? AC ? AP , 解: (Ⅰ)证明:因为 是直径,所以 因为 CD ? 平面 ABC ,所以 CD ? BC , g ( ? ) ? | AP | ,???? 12 分 因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD 因为 CD // BE , CD ? BE ,所以 BCDE 是平行四边形, BC // DE ,所以 DE ? 平面 ACD 3 3 所以 g (? ) 的最小值即点 A 到直线 l 的距离 .????13 分 DE ? ADE ADE ? 因为 平面 ,所以平面 平面 ACD ???????5 分 2 (Ⅱ)依题意, EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ?
C ? ADE E ? ACD

1 18.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、
运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 1 1 1 G 的一个长轴端点, 解: (Ⅰ)因为 为椭圆 V A(4, 0)? V ? ?S ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE 由(Ⅰ)知

E? ? 180 ? ? 72 (天) ,一年中空气质量达到一级的天数为 72 天------13 分. 17 .本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识,考查运
算求解能力与推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等.满分

2 5

4

?1 ,

17. ( 13 分) 13本小题满分 分.
解: (Ⅰ) f ( x ) ? m ? n ? sin 2 x ? 由?

3 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

?
3

) , ??????2 分 5? ? k? ,k ? Z .??3 分 12

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
12

? k? ? x ?

3 2 y ? ? ,?????? 1 所以可设椭圆 1G 的方程为 1 4 1分 ? ? AC ? BC ? ? ( AC 2 ? 16 BC 2 b ) 2? ? AB 2 ? , 6 因为当直线 l12 垂直 x 轴时, BC ? 6 12 ,所以椭圆 G3过点 (2,3) ,??2 分 当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时等号成立 ????8 分 4 9 ? ? 1 ,解得 b 2 ? 12 所以 . 0,1) ?????? 分 , D (0, 如图所示,建立空间直角坐标系,则 , E(0, 2 3 2,1) 16 b 2

3 x2

?ACD 2

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? (Ⅱ)由 f (

5? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z .??????4 分 12 ? 12 ?

A ? ) ? 0 ,得 2 sin( A ? ) ? 0 , 2 3

3 (ⅰ)由正弦定理,知 a cos B ? b cos A ? c sin C
2

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?

.????5 分

可化为 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C ,??6 分 故 sin( A ? B) ? sin 2 C ,??????7 分
2 又因为 A ? B ? ? ? C ,所以 sin(? ? C ) ? sin 2 C 即 sin C ? sin C ,

因为 sin C ? 0 ,所以 sin C ? 1 ,

z A(2 2,0,0) B(0, 2 2,0) , x 2 y 2 故所求椭圆的方程为 ??? ? ??? ? ? ? 1 .??????4 分 12 , D 则 AB ? (?2 2, 2 2,0) , BE16 ? (0,0,1) ??? ? (Ⅱ)方法 1:设直线 ??? ? l 的方程为 x ? my ? 2 , DE ? (0, 2 2,0) , DA ? (2 2,0, ?1,) ? x ? my ? 2 ?? ???? 联立方程组 ? ,消去 (3m2 ? 4) y 2 ? 12C my ? 36 ? 0 ,?? x ,得 ? 2 ? n ? DE ? 0 2 E5 分 ? 1 3 x ? 4 y ? 48 o 设面 DAE 的法向量为? , , n ? ( x , y , z ) 1 ? ? ? ??? n1 ? DA ?12 0m ? ? , ??① 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? 2 A B ? 3 m ? 4 ? ? O ?2 2 y ? 0 36 即? ? n1 ? (1,0, 2 2) , y1 ? y2 ? ? 2 y ????6 分 2 2 x ? z ? 0 ? x ? 3m ? 4 .??② ??? ? ??? ? ? ??? ? ?4, y2 ), FB ? ( x1 ? 又 AC ? ( x2 ?? ? ?n 2, yBE ? 0AC ? BF ,??????7 分 2? ? 1 ) ,且 设面 ABE 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , ? ? ??? , ? 故 ( x2 ? 4) y1 ? ( x1 ? 2) y2 ? 0 ,即 ( my ? 2) y ? (my1 ? 4) y2 ? 0 , 2 1 n ? AB ? 0 2 ? ?

? ?z ? 0 ? ? ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ? ? ? ? ? n1 ?n2 1 2 ? cos n1 , n2 ? ? ? ? ? 6 2? 9 n1 n 2 ? ? 可以判断 n1 , n 2 与二面角 D ? AE ? B 的平面角互补


? n2 ? (1,1,0)



??? ? ???? ???? ? 所以不存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 MN 共线. ????????13 分
20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) ? x ? 0,

f '( x) ?

1 ? a ,? f '(1) ? a ? 1 ,切点是 (1, a ? 1) , x
-------------3 分

所以切线方程为 y ? (a ? 1) ? (a ? 1)( x ? 1) ,即 y ? (a ? 1) x . (Ⅱ) (法一)? x ? 0,

? 二面角 D ? AE ? B 的余弦值为 ?
19.(本小题满分 13 分) 1 解(Ⅰ) 设 C(x, y),

2 .???????13 分 6

f '( x) ?

1 ? ax , x

1 当 a ? 0 时, x ? (0, ??) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, ○ 显然当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f ( x) ? 0 不恒成立. -------------------4 分

∵ AC ? BC + AB ? 2 ? 2 2 , AB ? 2 , ∴ AC ? BC ? 2 2 ? 2 , ∴ 由定义知,动点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 2 2的椭圆除去与 x 轴的两个交点. ∴ a ? 2, c=1. ∴ b2 ? a 2 ? c2 ? 1 .
2 ∴ W: x ? y 2 ? 1 2

2 当 a ? 0 时, x ? (0, ? ) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, ○

1 a

. ????????????????? 5 分 (y ? 0 )
2

1 ------------------------6 分 x ? (? , ??) , f '( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, a 1 1 ? f ( x) max ? f ( x)极大值 ? f (? ) ? ln(? ) ? 0 ,? a ? ?1 , a a
所以不等式 f ( x) ? 0 恒成立时, a 的取值范围 (??, ?1] (法二)? x ? 0, 令 h( x ) ? -----------------8 分

(Ⅱ) 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程,得 x ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2 整理,得 ( 1 ? k 2 ) x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 . 2 ①?????????? 7 分

所以不等式 f ( x) ? 0 恒成立,等价于 ax ? ? ln x ? 1,

即a ?

因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于
2或 2. 1 ? ? 8k 2 ? 4( ? k 2 ) ? 4k 2 ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? k? 2 2 2

? ln x ? 1 1 ? ln x 1 ln x ,则 h '( x) ? ? ? 2 ? 2 , x x2 x x

? ln x ? 1 , x

当 x ? (0,1) 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减, 当 x ? (1, ??) 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增. ----------------------6 分

∴ 满足条件的 k 的取值范围为 k ? (? ?, ?

2 2 )?( , ??) ???? 10 分 2 2

??? ? ???? (Ⅲ)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 OP ? OQ =(x1+x2,y1+y2),

? h( x) min ? h( x)极小值 ? h(1) ? ?1 ,? a ? ?1 .
所以不等式 f ( x) ? 0 恒成立时, a 的取值范围 (??, ?1] . ---------------8 分

由①得 x1 ? x2 ? ? 4 2k2 . 1 ? 2k 又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2

② ③

(Ⅲ) ? 2an ?1 ? an ? 1 ,? an ?1 ? 1 ?

???? ? 因为 M ( 2, 0) , N (0, 1) , 所以 MN ? (? 2, 1) .????????? 12 分

? a1 ? 2,

1 ? an ? 1 ? ( ) n ?1 , 2
n ?1

1 (an ? 1) , 2 1 ? an ? ( ) n ?1 ? 1 , 2

? ??? ? ???? ???? 所以 OP ? OQ 与 MN 共线等价于 x1 ? x2 =- 2( y1 ? y2 ) .

?1? ? bn ? n ? ln[? ? ?2?

? 1] , ---------------------10 分

将②③代入上式,解得 k ? 2 . 2

由(2)知,当 a ? ?1 时, ln x ? x ? 1 ? 0 恒成立,即 ln x ? x ? 1 ,当且仅当 x ? 1 取等号.

?? 1 ?1?1 ? ?? 1 ?1?1 ? ? b1 ? 1? ln ?? ? ? 1? ? 1? ?? ? ? 1 ? 1? ? ? ? ? ?? 2 ? ? ?? 2 ? ? ?? 1 ? 2?1 ? ?? 1 ? 2?1 ? b2 ? 2 ? ln ?? ? ? 1? ? 2 ? ?? ? ? 1 ? 1? , ?? 2 ? ? ?? 2 ? ? ? ? ? ?
??



? 1 1?? 1 2 ? ? 1 3 ? M3 ? M ?M2 ? ? ?? ??? ?, ? 0 1?? 0 1 ? ? 0 1 ? ?1 n? 猜测 M n ? ? ?. ?0 1?
(2)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)∵ ? sin ?

-----------------6 分 ----------------7 分

?? 1 ? bn ? n ? ln ?? ? ?? 2 ? ?

n ?1

? ?? 1 ? ? 1? ? n ? ?? ? ? ?? 2 ? ? ?

n ?1

? ? 1 ? 1? , ? ?

? 3 ? 1 3 3 ?? ? cos ? ? sin ? ? ? , ,∴ ? ? ?? ? ? ? ? 2 ?3 ? 2 ? 2 ? 2

----------------1 分

---------------------12 分

?? 1 ?1?1 ? ?? 1 ? 2?1 ? ?? 1 ? n ?1 ? ?Tn ? 1? ?? ? ? 1 ? 1? ? 2 ? ?? ? ? 1 ? 1? ? ? ? n ? ?? ? ? 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? ?? 2 ? ? ?? 2 ? ?
?1? ? 1? ? ? ?2?
1?1

3 1 3 x? y ? , 即所求直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ? 0 . ----------3 分 2 2 2 2 2 (Ⅱ)曲线 C 的直角坐标方程为: ? x ? 1? ? y ? 1? 0 ? y ? 1? , ---------------4 分


?1? ? 2?? ? ?2?
0

2 ?1

?1? ? ... ? n ? ? ? ?2?
1

n ?1


n ?1

? x? ? ? 3 x ? y ? 3 ? 0 ? ? ∴? ,解得 ? 2 2 x ? 1 ? y ? 1 ? ? ?y ? ? ? ? ?

?1? ?1? ?1? 令 S n ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? ... ? n ? ? ? ?2? ?2? ?2?
1 2


n ?1 n

3 1 ? x? ? 2 2 ? 或? (舍去) . 3 ? 3 y?? ? 2 ? 2 ?3 3? 所以,直线 l 与曲线 C 的交点的直角坐标为 ? , ?2 2 ? ?. ? ?
(3)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)根据柯西不等式,有: a ? b ? c
2 2

-------------------6 分

-----------------7 分

1 ?1? ?1? ?1? 则 S n ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? ... ? ( n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ?2? ?2?
1 ?1? ?1? ?1? ? S n ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 2 ?2? ?2? ?2?
0 1 n ?1

?1? ? n?? ? , ?2?

?

2

??1

2

? 12 ? 12 ? ? ? a ? b ? c ? ? 9 ,------1 分
2

1 n 1 ? ( )n ?1? 2 ? n ? ( 1 ) n ? 2 ? (n ? 2) ? ( 1 ) n ? n?? ? ? 1 2 2 ?2? 1? 2
---------------------14 分

∴ a ? b ? c ? 3 ,当且仅当 a ? b ? c ? 1 时等号成立. 即 M ? 3. (Ⅱ) | x ? 4 | ? | x ?1|? 3 可化为
2 2 2

----------------2 分 -----------------3 分

1 n?2 ? S n ? 4 ? (n ? 2) ? ( ) n ?1 ,?Tn ? 4 ? n ?1 . 2 2
21. (本小题满分 14 分) (1)选修 4-2:矩阵与变换 解: (Ⅰ)设 M ? ?

x ? ?4 x ?1 ? ? ?4 ? x ? 1 ? 或? 或? , -----------5 分 ? ?? ? x ? 4 ? ? ?1 ? x ? ? 3 ? x ? 4 ? ?1 ? x ? ? 3 ? x ? 4 ? ? x ? 1? ? 3 解得, x ?? 或 0 ? x ? 1 或 x ? 1 , ----------------------6 分 所以,综上所述,原不等式的解集为 ?0, ??? . -----------------------7 分

?a b? ? a b ?? 1 ? ? 1 ? ? a b ??1? ? 2 ? ? ,则 ? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? , -------------1 分 ?c d ? ? c d ?? 0 ? ? 0 ? ? c d ??1? ? 1 ? ? a ?1 ?a ? 1 ? c?0 ?b ? 1 ? ? ∴? , 解得 ? . -------------2 分 a ? b ? 2 c ? 0 ? ? ? ? c ? d ? 1 ? ?d ? 1 ? 1 1? ∴M ?? ------------------3 分 ?. ? 0 1? ? 1 1?? 1 1? ? 1 2 ? 2 (Ⅱ) M ? ? -------------------4 分 ?? ??? ?, ? 0 1?? 0 1? ? 0 1 ?


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