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1.3简单的逻辑联结词(好) (2)


1 m ? 是一元二次方程 x 2 ? x ? m ? 0 4
有实数解的 A.充分不必要条件 C.必要不充分条件 要条件 B.充分必要条件 D.既不充分又不必

小测

1.3简单的逻辑联结词(一)

在数学中常常要使用逻辑联结词 “或”、“且”、“非”,它们与日 常生活中这些词语所表达的含义和用 法是不尽相同的,下面我们就分别介 绍数学中使用联结词“或”、“且”、 “非”联结命题时的含义与用法。 为了叙述简便,今后常用小写字母 p,q,r,s,…表示命题。

一、由“且”构成的复合命题
思考: 下列三个命题间有什么关系? (1)12能被3整除;

(2)12能被4整除;
(3)12能被3整除且能被4整除. 可以看到命题(3)是由命题(1)(2)使用联 结词“且”联结得到的新命题.

一、由“且”构成的复合命题
定义:一般地,用联结词“且”把命 题p和命题q联结起来,就得到一个新命题, 记作 p∧q,读作“p且q”

思考:命题 p∧q的真假如何确定?

一般地,我们规定:

当p,q都是真命题时,p∧q是真命题; 当p,q 两个命题中有一个命题是假命题时, p∧q是假命题。
p q

全真为真,有假即假.

例1:将下列命题用“且”联结成新 命题,并判断它们的真假:
(1)p:平行四边形的对角线互相平分,

q:平行四边形的对角线相等
解: (1)p∧q:平行平行四边形的对 角线互相平分且相等 由于p是真命题,q是假命题,p∧q所 以是假命题。

(2)p:菱形的对角线互相垂直,

q:菱形的对角线互相平分
解: (2)p∧q:菱形的对角线互相垂 直且平分

由于p是真命题,q是真命题,p∧q所 以是真命题。

(3)p:35是15的倍数,
q: 35是7的倍数 解: (3)p∧q: 35是15的倍数且是 7的倍数

由于p是假命题,q是真命题,p∧q所 以是假命题。

练习1:将下列命题用“且”联结成新命题, 并判断真假。 (1)p: 2 是无理数,q: 2 大于1; (2)p:N ? Z,q:{0} ? N; 2 2 p : x ? 1 ? x ? 4, q : x ? 1 ? x ? 4 (3)

例2:用逻辑联结词“且”改写下列 命题,并判断它们的真假:
(1)1既是奇数,又是素数;

解: (1)改写为:1是奇数且是素数。
因为“1是素数”是假命题,所以这 个命题是假命题。

(2)2和3都是素数;

解:
(2)改写为:2是素数且3是素数。 因为“2是素数”与“3是素数”都是 真命题,所以这个命题是真命题。

练习2:用逻辑联结词“且”改写下列命题, 并判断真假。 (1)y=cosx是周期函数,又是偶函数; (2)24是8的倍数,又是9的倍数.

二、由“或”构成的复合命题
下列三个命题间有什么关系? 思考:

(1)27是7的倍数;
(2)27是9的倍数; (3)27是7的倍数或是9的倍数.

可以看到命题(3)是由命题(1)(2)使用联 结词“或”联结得到的新命题。

二、由“或”构成的复合命题
定义:一般地,用联结词“或”把命题p 和命题q联结起来,就得到一个新命题,记 作p ∨ q,读作“p或q” 思考:命题 p ∨ q的真假如何确定?

一般地,我们规定:
当 p , q 两个命题中有一个命题是真命 题时,p∨ q是真命题;当 p, q两个命题都 是假命题时,p∨q是假命题。 p
开关p,q的闭合 对应命题的真假, 则整个电路的接 通与断开分别对 应命题 p ? q 的真与假.
q

有真即真, 全假为假.

例3 判断下列命题的真假:

(1)2≤2 (2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的 子集. (3) 周长相等的两个三角形全等或面积 相等的两个三角形全等.

练习3:用逻辑联结词“或”改写下列命题, 并判断真假。 (1)如果xy<0,则点(x,y)的位置地在第 二、三象限; (2)9是质数或是12的约数.

思考: P16 如果p∧q为真命题,那么p∨ q一定 是真命题?反之,如果p ∨ q为真命题, 那么p ∧q一定是真命题?

三、由“非”构成的复合命题
思考: 下列两个命题间有什么关系?
(1)35能被5整除; (2)35不能被5整除. 可以看到,命题(2)是命题(1)的否定.

一般地,对一个命题p全盘否定,就得 到一个新命题,记作? p,读作“非p”或“p的 否定”。

一般地,我们规定:
若p是真命题,则?p必是假命题,若p 是假命题,则?p必是真命题。

? 这里的“或”、“且”、 “非”称为逻辑联结词。

例4 写出下列命题的否定,并判断它 们的真假:

(1)p:y=sinx是周期函数 (2)p:3<2 (3)p:空集是集合A的子集.

复合命题的真假可用如下真值表来表示: p q p∧q p ∨q ?p


真 假


假 真


假 假


真 真


假 真











练习: P17 1, 2,3

习题1.3: P18 A组1, 2

B组

小测:
设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么 “x∈M或 x∈N”是“x∈(M∩N)”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

练习4(2006.天津)
设集合M={x|0<x≤3},N={x|0< x≤2}, 那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

例1、分别指出下命题的形式

? (1)8≥7; ? (2)2是偶数且2是质数; ? (3)π不是整数。

例2、写出由下列各组命题构成的 “p或q”、“p且q”及“非p”形式的 命题,并判断它们的真假:
(1)p:3是质数, (2)p:方程
2 2

q:3是偶数; 的解是
x ? ?2

x ? x?2 ? 0 x ? x?2 ? 0



q:方程

的解是

x ?1

思考:在(2)中命题“p或q”与命题

x ?1 ” x ? ?2 或 “方程x 2 ? x ? 2 ? 0 的解是 有区别吗?

例3:判断下列命题的真假: (1)4≥3(2)4≥4(3)4≥5

例4 已知p:|x2-x|≥6,q:x∈Z.p且q与非q 都是假命题,求x的值. 解:非q假 ? q真 又p且q假 ? p假

?x ? ?1,0,1,2

? |x ? x|? 6 ?? ?x ? Z ?? 2 ? x ? 3 ?? ?x ? Z
2

?? 6 ? x ? x ? 6 ? ?x ? Z
2

练习:设 p: 方程 x 2 +mx+1=0 有两个不等的 负根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或 q为真,p且q为假,求m的取值范围.
2+mx+1=0有两个不等的负根 若方程 x 解:

? Δ ? m ?4 ? 0 则? ?? m ? 0 即 p: m>2 ? ?2
2

若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根

则?=16(m-2)2-16<0,
即1<m<3

?

:1 ? m ? 3

? p或q为真,则p,q至少一个为真,又p且q为假,
则p,q至少一个为假

? p,q一真一假,p真q假或者p假q真
?m ? 2 ?m ? 2 或? ?? 1 ? m ? 3 m ? 1, 或 m ? 3 ? ?

?

m ? 3或1 ? m ? 2


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