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广东深圳高级中学09-10学年度高二第二学期期末考试(数学理)

广东深圳高级中学 2009—2010 学年度高二第二学期期末考试
数学试题(理科)

一、选择题:(每小题只有一项是符合题目要求的,每小题 5 分,共 40 分)

1.集合 A={4,2,a2},B={1,a},若 A∩B={1},则 a 的值为

A.0

B.1

C.-1

D.±1

2.命题“ ?x ? R, e x ? x ”的否定是

() ()

A. ?x ? R, e x ? x

B. ?x ? R, e x ? x

y

C. ?x ? R, ex ? x

D. ?x ? R, e x ? x

3.设 f '(x)是函数 f(x)的导函数,y=f '(x)的图像如右图所示,

则 y=f(x)的图像最有可能的是

()

O 12

x

y

y

y

y

O1 2 x

O 12

x

2

1

x

O1 2

x

A

B

C

D

ab

4.若规定 c

d

? ad ? bc

1

,则不等式 lg

1 ? 0 的解集是

1x

()

A.(1,2)

B.(2,+∞)

C.(-∞,2)

D.(-∞,3)

5.在以下关于向量的命题中,不正确的是

A.若向量

a?

=(x,

y),向量

? b

=(-y,x)

(xy≠0),则

a?



? b

()

B . 已 知 四 边 形 ABCD , 则 四 边 形 ABCD 是 菱 形 的 充 要 条 件 是

AB ? DC,且 | AB |?| AD|

C.点 G 是△ABC 的重心,则 GA ? GB ? GC ? 0 D.△ABC 中, AB和CA 的夹角为角 A

6.设

f

?x?

?

1? 1?

x x

,又记

f1 ?x?

?

f

?x?,

fk?1 ? x?

?

f

?

fk

?x??,

k

?1, 2,

, 则 ? ? f 2010 x =
()

?1 A. x

B. x

x ?1 C. x ?1

1? x D. 1? x

7.已知函数

f

(x)

?

ex

?

a ex

,(a ?

R) 在区间[0,1]上单调递增,则实数 a

的取值范围是(



A. a ?[0,1]

B. a ?[?1,0] C. a ?[?1,1]

8.在一次数学实验中,采集到如下一组数据:

D.a ? ?? ?,1?? ?1,???

x

?2.0 ?1.0 0

y

0.24

0.51

1

1.00 2.00 3.00 2.02 3.98 8.02

则 x, y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中 a, b 为待定系数)

()

A. y ? a ? bx

B. y ? a ? bx

C. y ? ax2 ? b
二、填空题:(每小题 5 分,满分 30 分)

D. y ? a ? b x

9.设

g(x)

?

???? ??

1 2

?x ? ?

?

(x

?

1)

,则 g(g(?1)) ?



??ln(x ?1),(x ? 1)

10.已知向量 a,b 满足| a ? b |? 2 2,| a |? 2,| b |? 3,则| a ? b |? 。

11.由曲线 y ? 1 ? 3x 2 和 y ? 2x 围成图形的面积为



12 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 即 是 奇 函 数 , 又 是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 , 则

f (1) ? f (4) ? f (7) ?



13.设平面向量 a ? (?2,1),b ? (?,?1) ,若 a与b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是 。

14.设命题 P:关于 x 的不等式 ax2?ax?2a2 ? 1,(a ? 0且a ? 1) 的解集为{x | ?a ? x ? 2a};

命题 Q: y ? lg(ax2 ? x ? a) 的定义域为 R,如果 P、Q 有且仅有一个正确,则 a 的取

值范围是



三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

? ? 15 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 集 合 A= x x2 ? 2x ? 3 ? 0, x ? R , 集 合
B=?x m ? 2 ? x ? m ? 2, x ? R,m? R?.
(1)若 A ? B ? [0,3] ,求实数 m 的值;
(2)若 A ? CR B ,求实数 m 的取值范围.

16.(本小题满分 12 分)某租赁公司有汽车 100 辆,当每辆车月租金为 3000 元时,可全租出, 当每辆车月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需维护费 150 元,未租出的车每辆每月需维护费 50 元. (1)当每辆车月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车?此时的月收益是多少? (2)每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?

17.(本小题满分

14

分)向量

a?,

? b

满足

? a

?

? b

? 1,

ka?

?

? b

?

3

a?

?

? kb

, (k

?

0)



(1)求 a?

? ?b

关于

k

的解析式

f

(k)



(2)请你分别探讨

a?



? b



a?



? b

的可能性,若不可能,请说明理由,若可能,求出

k

的值;

(3)求

a?



? b

夹角的最大值.

18.(本小题满分

14

分)已知定义域为

R

的函数

f

(x)

?

? 2x 2 x?1

?b ?a

是奇函数.

(1)求 a, b 的值,并判断 f (x) 的单调性;

(2)若对任意 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t) ? f (2t 2 ? k) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.

19 .( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ?1 处 的 切 线 方 程 为 y ? 3x ?1,
(1)若函数 y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f (x) 的表达式; (2)在(1)条件下,若函数 y ? f (x) 在[?2, m]上的值域为[ 95 ,13] ,求 m 的取值范围;
27 (3)若函数 y ? f (x) 在区间[?2,1] 上单调递增,求 b 的取值范围.
20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) ? 1 ? 1 ,(x>0). x
(1)当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求 1 ? 1 的值 ; ab
(2)是否存在实数 a,b(a<b),使得函数 y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在, 求出 a,b 的值,若不存在,请说明理由.
(3)若存在实数 a,b(a<b),使得函数 y=f(x)的定义域为 [a,b]时,值域为 [ma, mb],(m≠0),求 m 的取值范围.
参考答案

一、选择题:(40 分)

1

2

3

4

5

C

C

C

A

D

二、填空题:(30 分) 9、____0_____;

6

7

A

C

10、 2 ;

8 B
11 、 32 ; 27

12、 0 _ ;

13、 (? 1 ,2) ? (2,??) ; 2

14、 (0, 1 ] ? [1,??) . 2

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分) 15 . ( 12 分 ) 由 已 知 得 : 集 合

A= ?x ?1? x ? 3? , 集 合

? ? B= x m ? 2 ? x ? m ? 2 ……………………2 分

?m ? 2 ? 0 ?m ? 2 (1)因为 A ? B ? [0,3] ,所以 ??m ? 2 ? 3 所以 ??m ? 1 ,

所以 m=2;

……………………7 分

(2) CRB ? ?x x ? m ? 2,或x ? m ? 2?

因为 A ? CR B ,所以 m ? 2 ? 3 或 m ? 2 ? ?1,

所以 m ? 5 或 m ? ?3 。

………………12 分

3600 ? 3000 ? 12

16.(12 分))解:(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为 50



这时租出了 88 辆车.

(1)租赁公司的月收益为:88? (3600 ?150) ?12?50 ? 303000 (元).…………4 分

(2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为

f (x) ? (100 ? x ? 3000)(x ?150) ? x ? 3000 ?50 ? ? 1 (x2 ? 8100x ?1050000) (0 ? x ? 8000)

50

50

50

∴ 当 x=4050 时, f (x) 最大,最大值为. f (4050) ? 307050(元). ………12 分

17.(14 分)

解(1)由已知有

ka?

?

? b

2

?(

3

a?

?

? kb

)

2

,

又∵ a?

? ?b

? 1,则可得

a?

? ?b

?

k2

? 1 , (k

?

0).

4k

即 f (k) ? k 2 ? 1 (k ? 0) . 4k

(2)∵ k

?

0,?

a?

?

? b

?

f (k)

?

0,

……………………4 分



a?



? b

不可能垂直.



a?

? ∥b

,又

a?

? ?b

?

0 ,则

a?

? 与b

同向,

故有

a?

?

? b

?

k2

?1

?1.

4k

……………………6 分

即 k 2 ? 4k ?1 ? 0 ,又 k ? 0 ,故 k ? 2 ? 3

∴当 k ? 2 ?

3 时,

a?



? b



……………………9 分

(3)设

a?

,

? b

的夹角为?

,则

cos?

?

a?a??bb??

?

a?

?

? b

?

k2 ?1 4k

?

1 (k 4

?

1) k

?

1 4

????????

k?

1 k

?2 ?? ?

?

? 2?
??



k?

1 k

,即 k

? 1 时, ?cos? ?min

?

1
,
2

又 0 ? ? ? ? ,则? 的最大值为 ? .
3
注:此处也可用均值不等式或导数等知识求解.

……………………14 分

18.(14 分)解:(1) 因为 f (x) 是 R 上的奇函数,所以

f (0) ? 0,即 ?1 ? b ? 0,解得b ? 1 ……………2 分 2?a

从而有 f (x) ?

? 2x ?1. 2 x?1 ? a

又由

f

(1)

?

?

f

(?1)知

?

2

?1

?

?

?

1 2

?1



4? a 1? a

解得 a ? 2 . ………5 分

f (x) ?

? 2x ?1 ? ? 1 ? 2 x?1 ? 2 2

2

1 x?

1

,

由上式易知

f (x) 在

R

上为减函数,………………7



(2)解法一:因 f (x) 是奇函数,又由(1)知 f (x) 为减函数,从而不等式

f (t 2 ? 2t) ? f (2t 2 ? k) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t) ? ? f (2t 2 ? k) ? f (?2t 2 ? k).

因 f (x) 是 R 上的减函数,由上式推得 t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k.

即对一切 t ? R有3t 2 ? 2t ? k ? 0, 从而 ? ? 4 ?12k ? 0,解得k ? ? 1 3.

解法二:由(1)知

f

(x)

?

?2 x ?1 2 x?1 ? 2

,

又由题设条件得

?2t2 ?2t ?1

? 22t2 ?k ?

?1 ? 0

2t2 ?2t?1 ? 2 22t2 ?k?1 ? 2

即 (22t2?k?1 ? 2)(?2t2?2t ?1) ? (2t2?2t?1 ? 2)(?22t2?k ?1) ? 0

整理得 23t2 ?2t?k ? 1,因底数 2>1,故 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,该式对一切 t ? R 均成立,

从而判别式 ? ? 4 ?12k ? 0,解得k ? ? 1 . 3

………………………14 分

19.(14 分)解:(1)由 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 求导得 f ?(x) ? 3x2 ? 2ax ? b ,

由已知切线方程为 y ? 3x ?1 ,故 f′(1)=3,,f(1)=4,

所以

?2a ? b ? 0 ??a ? b ? c ? 3

(1) (2)

y ? f (x)在x ? ?2时有极值,故f ?(?2) ? 0

??4a ? b ? ?12 (3)

由(1)(2)(3)相联立解得a ? 2,b ? ?4, c ? 5 f (x) ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 5 …………5 分

(2) f ?(x) ? 3x2 ? 2ax ? b ? 3x2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)( x ? 2)

x

-2

f ?(x) 0

(?2, 2)

2

3

3

-

0

f (x) 13

极小

f (?2) ? (?2)3 ? 2(?2)2 ? 4(?2) ? 5 ? 13, f ( 2 ? 95) 3 27
当 x ? ( 2 ,??) ,令 f (x) ? 13得x ? 2 , 3
由题意得 m 的取值范围为[ 2 ,2] …………9 分 3
(3) y ? f (x) 在区间[-2,1]上单调递增

( 2 ,??) 3
+

又 f ?(x) ? 3x2 ? 2ax ? b ,

由(1)知 2a ? b ? 0,? f ?(x) ? 3x2 ? bx ? b

依题意 f ?(x) 在[-2,1]上恒有 f ?(x) ? 0 ,

即 3x2 ? 2bx ? b ? 0 在[-2,1]上恒成立

①在 x ?

b 6

? 1时,

f ?(x)小

?

f ?(1) ? 3 ? b ? b

? 0,?b ? 6

②在 x

?

b 6

?

?2 时,

f

?( x) 小

?

f

?(?2)

? 12

? 12b ? b ? 0,?b ??

③在 ? 2 ?

b 6

? 1时,

f ?(x)小

? 12b ? b2 12

?0

则 0 ? b ? 6. 综合上述讨论可知,所求参数 b 取值范围是: b ? 0.

…………14 分

20.(14 分)解:(1)

∵x>0,∴ f (x)

?

???1 ?

1 x

,

? ?

1

?? x

? 1,

x ? 1, 0 ? x ? 1.

∴f(x)在(0,1)上为减函数,在 (1, ??) 上是增函数.

由 0<a<b,且 f(a)=f(b),可得 0<a ? 1<b 和 1 ?1 ? 1 ? 1 .

a

b

即 1 ? 1 ? 2 .……………………3 分 ab

(2)不存在满足条件的实数 a,b.

若存在满足条件的实数 a,b,使得函数 y= f (x) ? 1 ? 1 的定义域、值域都是[a,b], x

则 a>0.而 f (x) ? ???????1x1??x11,,

x ? 1, 0 ? x ? 1.

①当 a, b ? (0,1) 时, f (x) ? 1 ?1在(0,1)上为减函数. x



?f ??f

(a) (b)

? ?

b, a.



? ?? ? ? ??

1 a 1 b

?1 ?1

? ?

b, a.

解得

a=b.

故此时不存在适合条件的实数 a,b.
②当 a, b ?[1,??) 时, f (x) ? 1? 1 在[1,??) 上是增函数. x



?f ??f

(a) (b)

? ?

a, b.



???1 ?

1 a

?

a,

? ???1 ?

1 b

?

b.

此时 a,b 是方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的根,此方程无实根.

故此时不存在适合条件的实数 a,b.

③当 a ? (0,1) , b ?[1,??) 时,由于1?[a, b],而 f (1) ? 0 ?[a, b] ,

故此时不存在适合条件的实数 a,b.

综上可知,不存在适合条件的实数 a,b.

…………………………8 分

(3)若存在实数 a,b(a<b),使得函数 y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb].

则 a>0,m>0.

当 a, b ? (0,1) 时,由于 f(x)在(0,1)上是减函数,



?1 ?? a ?? 1

?1 ?1

? ?

mb, ma.

.此时得

a=b,不符合题意,所以

a,b

不存在.

?? b

当 a ? (0,1) , b ?[1,??) 时,由(2)知 0 在值域内,值域不可能是[ma,mb],所以 a,
b 不存在.
故只有 a, b ?[1,??) .

∵ f (x) ? 1 ? 1 在[1,??) 上是增函数, x



?f ??f

(a) (b)

? ?

ma, mb.



???1 ? ???1

? ?

1 a 1 b

? ?

ma , mb

.

所以 a、b 是方程 mx2 ? x ?1 ? 0 的两个根.

即关于 x 的方程 mx2 ? x ?1 ? 0 有两个大于或等于 1 的相异实根.

设这两个根为

x1



x

2

,则

x1

+

x

2

=

1 m



x1

·x

2

=

1 m



?? ? 0, ∴ ??(x1 ?1) ? (x 2 ?1) ? 0,
??(x1 ?1)(x 2 ?1) ? 0.

?1 ? 4m ? 0,



?

?1 ?? m

?

2

?

0.

解得

0?m? 1. 4

故 m 的取值范围是 0 ? m ? 1 . ……………………………14 分 4