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解析几何同步练习(新课)


高二数学 2-1◆

崇文中学数学组

§ 2.2.2 椭圆及其简单几何性质(1)
对称性: 椭圆关于 长轴,其长为 离心率:刻画椭圆 试试:椭圆 图形: 轴、 轴和 都对称; 顶点: ( ;短轴,其长为 ; 程度. 椭圆的焦距与长轴长的比 ) , ( ) , ( ) , ( ) ;

c c 称为离心率,记 e ? ,且 0 ? e ? 1 . a a

y 2 x2 ? ? 1 的几何性质呢? 16 9

※ 典型例题 例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部 分.过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 ,已知 BC ? F1 F2 , F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm ,试建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.

范围: x : 顶点: ( 离心率: e ? 习题: ) , (

y:
) , ( . ) , (

对称性:椭圆关于 ) ;长轴,其长为

轴、

轴和

都对称; ;

;短轴,其长为

c = a

10 x2 y 2 ,则 m 的值是( ) . ? ? 1 的离心率 e ? 5 5 m 5 15 25 A. 3 B. 3 或 C. 15 D. 15 或 3 3 2.若椭圆经过原点,且焦点分别为 F1 (1,0) , F2 (3,0) ,则其离心率为( ) . 3 2 1 1 A. B. C. D. 4 3 2 4 2 3.短轴长为 5 ,离心率 e ? 的椭圆两焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的 3 周长为( ) . A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 2 2 x y 4.已知点 P 是椭圆 ? ? 1 上的一点,且以点 P 及焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的面积等于 1 ,则点 5 4 . P 的坐标是 5.某椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18 ,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的 方程是 . x2 y 2 6.椭圆 ? . ? 1 上一点 P 到左焦点的距离是 2 ,那么它到右焦点的距离是 16 12 7.求适合下列条件的椭圆的标准方程: 1 3 ⑴焦点在 x 轴上, a ? 6 , e ? ;⑵焦点在 y 轴上, c ? 3 , e ? ; 3 5 3 ⑶经过点 P(?3,0) , Q(0, ?2) ;⑷长轴长等到于 20 ,离心率等于 . 5

1.若椭圆

变式:若图形的开口向上,则方程是什么?

小结:①先化为标准方程,找出 a , b ,求出 c ; ②注意焦点所在坐标轴. (理)例 2 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : 25 9 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 。椭圆上是否存在一点,它到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

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三、总结提升 ※ 学习小结 1 .椭圆在生活中的运用;
2 .椭圆与直线的位置关系: 相交、相切、相离(用 ? 判定) .

变式:最大距离是多少?

※ 知识拓展 直线与椭圆相交,得到弦,
弦长 l ? 1 ? k 2 x1 ? x2
2 ? (1 ? k 2 ) ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?

其中 k 为直线的斜率, ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 是两交点坐标.

※ 动手试试 练 1 已知地球运行的轨道是长半轴长 a ? 1.50 ? 108 km ,离心率 e ? 0.0192 的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,求地球到太阳的最大 和最小距离.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 1.设 P 是椭圆 . ? ? 1 , P 到两焦点的距离之差为 ,则 ?PF1 F2 是( ) 16 12 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若△F1PF2 为等腰直角 三角形,则椭圆的离心率是( ) .
2 ?1 C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 2 x2 y 2 3.已知椭圆 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直角三角形 16 9 的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( ) . 9 7 9 9 A. B. 3 C. D. 7 4 5 4.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列,则其离心率为 . x2 y 2 5.椭圆 ? ? 1 的焦点分别是 F1 和 F2 ,过原点 O 作直线与椭圆相交于 A, B 两点,若 ?ABF2 的面积 45 20 是 20 ,则直线 AB 的方程式是 .

A.

2 2

B.

练 2. 经过椭圆 的长.

x2 直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点, 求 AB ? y 2 ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 60? 的直线 l , 2

课后作业
1. 求下列直线 3x ? 10 y ? 25 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的交点坐标. 25 4

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新知 1:双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的

等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线。 .

3 x2 y 2 ? ? 1 ,一组平行直线的斜率是 2 4 9 ⑴这组直线何时与椭圆相交? ⑵当它们与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上?
2.若椭圆

两定点 F1 , F2 叫做双曲线的



两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的 反思:设常数为 2 a ,为什么 2a ? F1 F2 ?
2a ? F1 F2 时,轨迹是 2a ? F1 F2 时,轨迹

; . .

试试:点 A(1,0) , B (?1, 0) ,若 AC ? BC ? 1 ,则点 C 的轨迹是 新知 2:双曲线的标准方程:

§ 2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1.掌握双曲线的定义; 2.掌握双曲线的标准方程.

x2 y 2 ? 2 ? 1,(a ? 0, b ? 0, c2 ? a2 ? b2 ) (焦点在 x 轴) 2 a b 其焦点坐标为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) .
思考:若焦点在 y 轴,标准方程又如何?

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P52~ P55,文 P45~ P48 找出疑惑之处) 复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么?

※ 典型例题 例 1 已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) ,F2 (5,0) , 双曲线上任意点到 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于 6 , 求双曲线的标准方程.

复习 2:在椭圆的标准方程 椭圆方程.

x2 y 2 ? ? 1 中, a , b, c 有何关系?若 a ? 5, b ? 3 ,则 c ? ? 写出符合条件的 a 2 b2

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?
如图 2-23,定点 F1 , F2 是两个按钉, MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管, 点 M 移动时, MF1 ? MF2 是常数,这样就画出一条曲线; 由 MF2 ? MF1 是同一常数,可以画出另一支.

变式: 已知双曲线

x2 y 2 则点 P 到右焦点的距离为 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10, 16 9



例 2 已知 A, B 两地相距 800 m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,且声速为 340m / s ,求炮弹爆 炸点的轨迹方程.

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三、总结提升 ※ 学习小结 1 .双曲线的定义; 2 .双曲线的标准方程. ※ 知识拓展 GPS(全球定位系统): 双曲线的一个重要应用. 在例 2 中,再增设一个观察点 C ,利用 B , C 两处测得的点 P 发出的信号的时间差,就可以求出 另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定点 P 的准确位置.

学习评价
变式:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

小结:采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置.

※ 动手试试 练 1:求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6),(0,6) ,且经过点 (2, ?5) .

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.动点 P 到点 M (1, 0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( ) . A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 2.双曲线 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为( ) . A. ? 25 B. 25 C. ?1 D. 1 3.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 a ? 2 ,则 b ? ( ) .
B. 13 C. 5 D. 13 4.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 . 则动点 P 的轨迹方程 为 . 2 2 x y 5.已知方程 . ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围 2 ? m m ?1 A. 5

课后作业
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 2 5 ,经过点 A(?5, 2) ; (2)经过两点 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) . 练 2.点 A, B 的坐标分别是 (?5,0) , (5, 0) ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们斜率之积是 求点 M 的轨迹方程式,并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状.

4 ,试 9

2.相距 1400m A, B 两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ,已知声速是 340m / s ,问炮弹爆炸点

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在怎样的曲线上,为什么? 范围: x : 对称性:双曲线关于

y:
轴、 轴及 都对称.

§ 2.3.2 双曲线的简单几何性质(1)
学习目标
1.理解并掌握双曲线的几何性质.

顶点: ( ) , ( ) . 实轴,其长为 ;虚轴,其长为 . c 离心率: e ? ? 1 . a 渐近线: x y x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为: ? ? 0 . a b a b 问题 2:双曲线 图形: 范围: x : 对称性:双曲线关于 顶点: ( ) , ( 实轴,其长为 离心率: e ? 渐近线:

学习过程
一、课前准备: (预习教材理 P56~ P58,文 P49~ P51 找出疑惑之处) 复习 1:写出满足下列条件的双曲线的标准方程: ① a ? 3, b ? 4 ,焦点在 x 轴上; ②焦点在 y 轴上,焦距为 8, a ? 2 .

y 2 x2 ? ? 1 的几何性质? a 2 b2

y:
轴、 轴及 都对称.

) ;虚轴,其长为



c ?1. a

复习 2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?

y 2 x2 . ? ? 1 的渐近线方程为: a 2 b2 新知:实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线.
双曲线

※ 典型例题
例 1 求双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程. 49 25

二、新课导学: ※ 学习探究
问题 1:由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的几何性质? a 2 b2

变式:求双曲线 9 y 2 ? 16x2 ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

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例 2 求双曲线的标准方程: ⑴实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; ⑵离心率 e ? 2 ,经过点 M (?5,3) ; 2 9 ⑶渐近线方程为 y ? ? x ,经过点 M ( , ?1) . 3 2

三、总结提升: ※ 学习小结 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线. ※ 知识拓展 x2 y 2 x2 y 2 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线系方程式为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a b a b

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 1. 双曲线 ? . ? 1 实轴和虚轴长分别是( ) 16 8 A. 8 、 4 2 B. 8 、 2 2 C.4、 4 2 D.4、 2 2 2.双曲线 x2 ? y 2 ? ?4 的顶点坐标是( ) . , 2 ) A. (0, ?1) B. (0, ?2) C. (?1,0) D. ( ?0
x2 y 2 . ? ? 1 的离心率为( ) 4 8 A.1 B. 2 C. 3 D .2 2 2 4.双曲线 x ? 4 y ? 1 的渐近线方程是 . 5.经过点 A(3, ?1) ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是
3. 双曲线

※ 动手试试
练 1.求以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程. 8 5



课后作业
1.求焦点在 y 轴上,焦距是 16, e ?

4 的双曲线的标准方程. 3

练 2.对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是 F1 (?6,0) ,求它的标准方程和渐近线方程.

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2.求与椭圆

x2 y 2 5 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 e ? 的双曲线的方程. 4 49 24
问题:若双曲线与 x2 ? 4 y 2 ? 64 有相同的焦点,它的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的方程 是?

§ 2.3.2 双曲线的简单几何性质(2)
学习目标
1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程.

※ 典型例题 例 1 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为 12m ,上 口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高为 55m ,试选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P58~ P60,文 P51~ P53 找出疑惑之处) 复习 1:说出双曲线的几何性质?

复习 2:双曲线的方程为 其顶点坐标是( 渐近线方程

x2 y 2 ? ? 1, 9 14 ),( );


二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 64 的焦点是?

例 2 点 M ( x, y ) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线 l : x ?

16 5 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹. 4 5

探究 2:双曲线的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,则可设双曲线方程为?

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(理)例 3 过双曲线 坐标.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,倾斜角为 30? 的直线交双曲线于 A, B 两点,求 A, B 两点的 3 6

三、总结提升 ※ 学习小结 1.双曲线的综合应用:与椭圆知识对比,结合;
2.双曲线的另一定义; 3. (理)直线与双曲线的位置关系.

※ 知识拓展
双曲线的第二定义: 到定点的距离与到定直线的距离之比大于 1 的点的轨迹是双曲线. 变式:求 AB ? 思考: ?AF1 B 的周长?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 x2 y 2 1. 若椭圆 ? F2, P 是两曲线的一个交点, 则 PF1 ? PF2 ? 1 和双曲线 ? ? 1 的共同焦点为 F1, 25 16 4 5 的值为( ) . 21 A. B. 84 C. 3 D. 21 2 x2 y 2 2.以椭圆 ? ) . ? 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16 x2 y 2 x2 y 2 A. B. ? ?1 ? ?1 16 48 9 27 x2 y 2 x2 y 2 C. ? ? 1或 ? ? 1 D. 以上都不对 16 48 9 27 ? 3. 过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线, 交双曲线于 P 、Q ,F1 是另一焦点, 若∠ PF1Q ? , 2 则双曲线的离心率 e 等于( ) . A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 4.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________.
5.方程

※ 动手试试
练 1.若椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 的焦点相同,则 a =____. 4 a a 2

练 2 .若双曲线

3 x2 y 2 x ,求双曲线的焦点坐标. ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2 4 m

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围 4 ? k 1? k



课后作业
1.已知双曲线的焦点在 x 轴上,方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,两顶点的距离为 8 ,一渐近线上有点 A(8,6) , a 2 b2

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试求此双曲线的方程. 新知 2:抛物线的标准方程 定点 F 到定直线 l 的距离为 p ( p ? 0 ) . 建立适当的坐标系,得到抛物线的四种标准形式: 图形 标准方程
y 2 ? 2 px

焦点坐标 ?p ? ? ,0? ?2 ?

准线方程 p x?? 2

§ 2.4.1 抛物线及其标准方程
学习目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P64~ P67,文 P56~ P59 找出疑惑之处) 复习 1:函数 y ? 2 x2 ? 6 x ? 1 的图象是 ,它的顶点坐标是(

试试: 抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点坐标是( 准线方程是 1 抛物线 x 2 ? ? y 的焦点坐标是( 2 准线方程是

) , ; ) , .

) ,对称轴是



※ 典型例题 例 1 (1)已知抛物线的标准方程是 y 2 ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点是 F (0, ?2) ,求它的标准方程.

复习 2: 点 M 与定点 F (2,0) 的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1 : 2 , 则点 M 的轨迹是什么图形?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:若一个动点 p( x, y ) 到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等,这个点的运动轨迹是怎么样的 呢?
新知 1:抛物线 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的 距离 的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的 直线 l 叫做抛物线的 ; .

变式:根据下列条件写出抛物线的标准方程: ⑴焦点坐标是(0,4); 1 ⑵准线方程是 x ? ? ; 4 ⑶焦点到准线的距离是 2 .

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练2 . 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M 到焦点距离是 a (a ? 的横坐标是 .

p 则点 M 到准线的距离是 ), 2

, 点M

三、总结提升 ※ 学习小结 1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程、几何图形. ※ 知识拓展 焦半径公式: 设 M 是抛物线上一点,焦点为 F ,则线段 MF 叫做抛物线的焦半径. p 若 M ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上,则 MF ? x0 ? 2
例 2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收 天线,经反射聚集到焦点处,已知接收天线的口径为 4.8m ,深度为 0.5m ,试建立适当的坐标系,求 抛物线的标准方程和焦点坐标.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.对抛物线 y ? 4 x 2 ,下列描述正确的是( ) . A.开口向上,焦点为 (0,1) 1 B.开口向上,焦点为 (0, ) 16 C.开口向右,焦点为 (1,0) 1 D.开口向右,焦点为 (0, ) 16 2.抛物线 x2 ? 8 y ? 0 的准线方程式是( ) . A. x ? 2 B . x ? ?2 C. y ? 2 D. y ? ?2
3.抛物线 y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是( ) . 5 15 A. B. 5 C. D. 10 2 2 4.抛物线 y 2 ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是
2

※ 动手试试 练 1.求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是 F (?5,0 ) ; (2) 焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上.

. .

5.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为

课后作业
1.点 M 到 F (0,8) 的距离比它到直线 y ? ?7 的距离大 1,求 M 点的轨迹方程.

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图形 标准方 程 焦点 2.抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M 到焦点 F 的距离 MF ? 2 p ,求点 M 的坐标. 准线

p (0, ? ) 2
p 2

y??
(0, 0) (0, 0)

顶点 对称轴 x轴 离心率

§ 2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)
学习目标
1.掌握抛物线的几何性质; 2.根据几何性质确定抛物线的标准方程. 试试:画出抛物线 y ? 8x 2 的图形, 顶点坐标( ) 、焦点坐标( ) 、 准线方程 、对称轴 、 离心率 .

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P68~ P70,文 P60~ P61 找出疑惑之处) 复习 1: 准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是 .

※ 典型例题 例 1 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2, ?2 2) ,求它的标准方程.

复习 2:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有哪些几何性质? 16 9

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:类比椭圆、双曲线的几何性质,抛物线又会有怎样的几何性质?
新知:抛物线的几何性质

变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M (2, ?2 2) 的抛物线有几条?求出它们的标 准方程.

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小结:一般,过一点的抛物线会有两条,根据其开口方向,用待定系数法求解. 例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A ,B 两点, 求线段 AB 的长 .

三、总结提升 ※ 学习小结 1.抛物线的几何性质 ; 2.求过一点的抛物线方程; 3.求抛物线的弦长. ※ 知识拓展 抛物线的通径:过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线,与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径. 其长为 2 p .
变式:过点 M (2, 0) 作斜率为 1 的直线 l ,交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A , B 两点,求 AB .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列抛物线中,开口最大的是( ) . 1 A. y 2 ? x B. y 2 ? x 2 C. y 2 ? 2 x D. y 2 ? 4 x 2.顶点在原点,焦点是 F (0,5) 的抛物线方程( ) .
A. y 2 ? 20 x B. x2 ? 20 y 1 1 C. y 2 ? D. x 2 ? x y 20 20 3.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l ,交抛物线于 A , B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3 ,则 AB 小结:求过抛物线焦点的弦长:可用弦长公式,也可利用抛物线的定义求解. 等于( ) . A. 10 B. 8 C. 6 2 4.抛物线 y ? ax (a ? 0) 的准线方程是 D. 4 .

※ 动手试试 练 1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: ⑴顶点在原点,关于 x 轴对称,并且经过点 M (5 , ?4) ; ⑵顶点在原点,焦点是 F (0,5) ; ⑶焦点是 F (0, ?8) ,准线是 y ? 8 .

5.过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,则

AB =



课后作业
1. 根据下列条件,求抛物线的标准方程,并画出 图形: ⑴顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点与焦点的距离等到于 6 ;

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⑵顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 P(?6, ?3) .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点的横坐标为 6,这点到焦点距离为 10,则:
① 这点到准线的距离为 2 M 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, F 是抛物线的焦点, ?xFM ? 60? ,求 FA . ② 焦点到准线的距离为 ③ 抛物线方程 ④ 这点的坐标是 ; ; ; ; .

⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为

§ 2.4.2 抛物线的简单几何性质(2)
学习目标
1.掌握抛物线的几何性质; 2.抛物线与直线的关系.

※ 典型例题 例 1 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点,通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线 于点 D ,求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P70~ P72,文 P61~ P63 找出疑惑之处) 复习 1:以原点为顶点,坐标轴为对称轴,且过点 P (?2,3) 的抛物线的方程为( 9 9 4 A. y 2 ? x B. y 2 ? ? x 或 x 2 ? ? y 4 3 4 4 9 4 C. x2 ? y D. y 2 ? ? x 或 x2 ? y 2 3 3

) .

复习 2:已知抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的焦点恰好是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,则 p = 16 12

. (理)例 2 已知抛物线的方程 y 2 ? 4 x ,直线 l 过定点 P (?2,1) ,斜率为 k k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?

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三、总结提升 ※ 学习小结 1.抛物线的几何性质 ;
2.抛物线与直线的关系. 小结: ① 直线与抛物线的位置关系:相离、相交、相切 ; ②直线与抛物线只有一个公共点时, 它们可能相切,也可能相交. ※ 动手试试 练 1. 直线 y ? x ? 2 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A , B 两点,求证: OA ? OB .

※ 知识拓展
过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 M , N 两点,则 为
2 . p

1 1 ? 为定值,其值 MF NF

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,则 AB 的最小值为( ) . p A. B. p C. 2 p D. 无法确定 2 2.抛物线 y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是( ) . 5 15 A. B. 5 C. D. 10 2 2 3.过点 (0,1) 且与抛物线 y 2 ? 4 x 只有一个公共点的直线有( ) . A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 0 条 2 4.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是______.
5.抛物线上一点 (?5, 2 5) 到焦点 F ( x,0) 的距离是 6 ,则抛物线的标准方程是 .

课后作业
1.已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y ? 2 x ? 1 交于 P , Q 两点, PQ = 15 ,求抛物 2.垂直于 x 轴的直线交抛物线 y ? 4 x 于 A , B 两点,且 AB ? 4 3 ,求直线 AB 的方程.
2

线的方程.

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离心率 (以上每类选取一种情形填写) 复习 2: ① 若椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的离心率为 2. 从抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上各点向 x 轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程,并说明它是什么曲 线.
3 ,则它的长半轴长为__________; 2

②双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,则双曲线的方程为 ③以椭圆

; .

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为焦点的抛物线方程为 25 16

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 当 ? 从 0 ? 到 180? 变化时,方程 x2 ? y 2 cos? ? 1 表示的曲线的形状怎样变化?

第二章 圆锥曲线与方程(复习)
学习目标
1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程; 2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质; 3.能解决直线与圆锥曲线的一些问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P78~ P81,文 P66~ P69 找出疑惑之处) 复习 1:完成下列表格: 椭圆 双曲线 抛物线 定义 变式:若曲线

图形

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 k 1? k



标准方程 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 小结:掌握好每类标准方程的形式. 例 2 设 F1 , F2 分别为椭圆 C:

x2 y 2 =1 ? a2 b2 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点.

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3 )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2 ⑵设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1 K 的中点的轨迹方程.
⑴若椭圆 C 上的点 A(1,

变式:双曲线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求双曲线的方程. 27 36

三、总结提升 ※ 学习小结 1.椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程; 2.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质; 3.直线与圆锥曲线. ※ 知识拓展 圆锥曲线具有统一性: ⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线; ⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线 (不经过定点) 距离的比值是一个常数的点的轨 迹,比值的取值范围不同形成了不同的曲线; ⑶它们的方程都是关于 x , y 的二次方程.

※ 动手试试 练 1.已知 ?ABC 的两个顶点 A , B 坐标分别是 (?5,0) , (5, 0) ,且 AC , BC 所在直线的斜率之积等 于 m (m ? 0) ,试探求顶点 C 的轨迹.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 x2 y2 1.曲线 ? ? 1 与曲线 ? ?1 25 9 25 ? k 9 ? k (k ? 9) 的( ) . A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 2.与圆 x2 ? y 2 ? 1 及圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切的圆的圆心在( ) . A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 3.过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点作直线 l ,交抛物线于 A , B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3 ,则 AB
等于( ) . A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 2 2 4.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 没有公共点,则 k 的取值范围 5.到直线 y ? x ? 3 的距离最短的抛物线 y ? 4 x 上的点的坐标是
2

. .

练 2.斜率为 2 的直线 l 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 交于 A , B 两点,且 AB ? 4 ,求直线 l 的方程. 3 2

课后作业
1.就 m 的不同取值,指出方程 (m ? 1) x2 ? (3 ? m) y 2 ? (m ? 1)(3 ? m) 所表示的曲线的形状.

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x2 与过点 M (0, ?1) 的直线 l 相交于 A , B 两点, O 为原点,若 OA 和 OB 的斜率之和 2 为 1 ,求直线 l 的方程.
2. 抛物线 y ? ?


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