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2013年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)


试卷类型:A

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2013.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、 错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 如果事件 A, B 相互独立,那么 P A ? B

?

?

? P ? A? ? P ? B ? .
n i ?1

? ? ? ?a ? 中系数计算公式 b 线性回归方程 ? y ? bx
其中 x, y 表示样本均值.

? ( xi ? x)( yi ? y )
i ?1

? ( xi ? x)

n

? ? y ? bx ? , ,a

2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? 1, 2,3, 4,5,6 ,集合 A ? 1,3,5 , B ? A. U ? A ? B C. U ? A ? ? UB 2. 已知

?

?

?

?

?2,4? ,则
? ? ?

?B B. U ? ? UA

?

?

?

D. U ? ? UA ? ? UB

?

?

a ? 1 ? bi ,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a ? b i ? 1?i
B. 2 ? i C. 2 ? i D. 1 ? 2 i

A. 1 ? 2 i

? x ? 2 y ? 1, ? 3.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ?
A. ? 3 B. 0
1

C. 1

D. 3

4. 直线 x ? A.

3 y ? 0 截圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 所得劣弧所对的圆心角是
2

? 6 ? 2

B.

? 3
1

2 1 正视图 侧视图

C.

D.

2? 3
2 3 1 3

5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A. 2 B. 1 C. D.
2 俯视图

2

6. 函数 y ? sin x ? cos x

?

? ?sin x ? cos x ? 是
B.奇函数且在 ?

图1

A.奇函数且在 ? 0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ? ?? ? ,? ? 上单调递增 ?2 ?

C.偶函数且在 ? 0, ? 上单调递增

? ?

??
2?

D.偶函数且在 ?
x

7.已知 e 是自然对数的底数,函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 的零点为 a ,函数 g ? x ? ? ln x ? x ? 2 的零点为 b ,则下列不等式中成立的是 A. f ? a ? ? f ?1? ? f ?b ? C. f ?1? ? f ? a ? ? f ?b ? B. f ? a ? ? f ?b? ? f ?1? D. f ?b? ? f ?1? ? f ? a ?

8.如图 2,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 600 m, 一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B . 已知 AB ? 1 km,水流速度为 2 km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为 6 分钟,则客船在静水中 的速度大小为 A. 8 km/h C. 2 34 km/h B. 6 2 km/h D. 10 km/h

B ?

?
A
图2

水流方向

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 不等式 x ? 1 ? x 的解集是 10. ?0 cos x d x ?
1

. .

2

11.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资料:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? ? 1.23x ? a ? ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 10 年时维修 根据上表可得回归方程 y
费用约 万元(结果保留两位小数) .

x ? ?a ? x ? 1? , 12.已知 a ? 0,a ? 1 ,函数 f ? x ? ? ? 若函数 f ? x ? 在 ? ? 0, 2 ? ? 上的最大 ? x ? a x ? 1 , ? ? ? ?

值比最小值大

5 ,则 a 的值为 2

.

(n ? N * ,n ? 3)个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这 n 个平 13. 已知经过同一点的 n
面将空间分成 f

? n ? 个部分,则 f ? 3?

?

,f

?n?

?

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)
? 3 ? 在极坐标系中,定点 A ? 2, ? ? ,点 B 在直线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运动,当线段 AB 最短 ? 2 ?

时,点 B 的极坐标为 15. (几何证明选讲选做题)


O

B D

C

如图 3, AB 是 ? O 的直径, BC 是 ? O 的切线, AC 与 ? O 交于点 D , 若 BC ? 3 , AD ?

16 ,则 AB 的长为 5

A



图3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 期为 8 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若函数 f ( x ) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点,求△ POQ 的 面积.

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小正周

3

17. (本小题满分 12 分) 甲,乙,丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为

1 ,乙,丙做对的概率分别为 m , 2

n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其分布
列为:

?
P

0

1

2

3

1 4

a

b

1 24

(1) 求至少有一位学生做对该题的概率; (2) 求 m , n 的值; (3) 求 ? 的数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱柱 ABC ? A B C 中,△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, 1 1 1
A1 B1 D C1

AA1 ? 平面 ABC , D , E 分别是 CC1 , AB 的中点.
(1)求证: CE ∥平面 A BD ; 1

15 (2)若 H 为 A 时, B 上的动点,当 CH 与平面 A1 AB 所成最大角的正切值为 1 2
求平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值. 1

A

E 图4

C B

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)若 p, q, r 是三个互不相等的正整数,且 p, q, r 成等差数列,试判断

a1 ? 2a2 ? 3a3 ????? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n (n ? N * ).

a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 是否成等比数列?并说明理由.

4

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点, 两个焦点分别为 F1 (?2,0) ,F2 2,0 , 点 A(2, 3) 在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分 别为 l1,l2 ,且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程;

?

?

P ? 若存在,指出这样的点 P 有几个(不必 (2) 是否存在满足 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知二次函数 f

? x?

? x 2 ? ax ? m ? 1 ,关于 x 的不等式 f ? x ? ? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2

的解集为 m,m ? 1 ,其中 m 为非零常数.设 g x (1)求 a 的值;

?

?

? ?

?

f ? x? x ?1

.

(2)k(k ? R )如何取值时, 函数 ? x ? g x ? k ln x ? 1 存在极值点, 并求出极值点; (3)若 m ? 1 ,且 x ? 0 ,求证: ? g x ? 1 ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2 (n ?N * ). ? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

n

?

?

5

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解 法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对 照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该 部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

10. sin 1

11. 12.38

12.

1 2

13.8, n ? n ? 2
2

14. ?1,

? 11? ? ? 6 ? ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ?1,

? 11? ? ? 2k ? ? (k ? Z ). 6 ? ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式 等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x ) 的最大值为2,且 A ? 0 , ∵ f ( x ) 的最小正周期为 8 , ∴ f ( x) ? 2sin( ∴T ? ∴A?2. ?????1分

2?

?

x? ). 4 4

?

?

? 8 ,得 ? ?

?
4

.

?????2 分 ?????3 分

(2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?
6

?????4 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? 6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .

?????5 分

?????8 分
2 2 2

∴ cos ?POQ ?

OP ? OQ ? PQ 2 OP OQ

2

2

2

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 6 ?3 2

?

3 . ???10 分 3
?????11 分

∴ sin ?POQ ?

1 ? cos2 ?POQ ?

6 . 3

∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 OP OQ sin ?POQ ? ? 2 2

6?3 2?

6 ? 3 2. 3

?????12 分 解法 2:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????4 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) .

?????5 分

??? ?

??? ?

?????8 分 ?????10 分

??? ? ???? ??? ? ???? OP ? OQ 6 3 ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? . ? ? ???? ? 3 6 ?3 2 OP OQ
∴ sin ?POQ ?

1 ? cos2 ?POQ ?

6 . 3

?????11 分

∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 OP OQ sin ?POQ ? ? 2 2

6?3 2?

6 ? 3 2. 3

?????12 分 解法 3:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?????4 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) .
7

?????5 分

∴直线 OP 的方程为 y ?

2 x ,即 x ? 2
4? 2 3

2 y ? 0.
? 2 3.

?????7 分

∴点 Q 到直线 OP 的距离为 d ? ∵ OP ?

?????9 分

6,

?????11 分

∴△ POQ 的面积为 S ?

1 1 OP ? d ? ? 2 2

6 ? 2 3 ? 3 2.

?????12 分

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识,考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) 解:设“甲做对”为事件 A , “乙做对”为事件 B , “丙做对”为事件 C ,由题意知,

P ? A? ?

1 , P ? B ? ? m, P ? C ? ? n . 2

?????1 分

(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的, 所以至少有一位学生做对该题的概率是 1 ? P

??

? 0? ? 1 ?

1 3 ? . 4 4

????3 分

( 2 )由题意知 P

??

? 0 ? ? P ABC ?

?

?

1 1 1 ? m ? ?1 ? n ? ? , ? 2 4

????? 4 分

P ?? ? 3? ? P ? ABC ? ?
mn ?

1 1 mn ? , 2 24

?????5 分

整理得

7 1 ,m ? n ? . 12 12 1 1 ,n ? . 3 4
?????7 分

由m

? n ,解得 m ?

(3)由题意知 a ? P

??

? 1? ? P ABC ? P ABC ? P ABC

?

?

?

?

?

?

?

1 1 1 11 1 ? m ? ?1 ? n ? ? m ?1 ? n ? ? ?1 ? m ? n ? , ???9 分 ? 2 2 2 24 1 , 4
?????10 分

b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) =

8

∴ ? 的数学期望为 E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) =

13 . 12

????12分 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想 象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长 A D 交 AC 的延长线于点 F ,连接 BF . 1 ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? ∴ C 为 AF 的中点. ∵ E 为 AB 的中点, ∴ CE ∥ BF .

1 AA1 , 2
?????2 分 ?????3 分

A1 B1

C1

D

H A E B C F

∵ BF ? 平面 A BD , CE ? 平面 A1BD , 1 ∴ CE ∥平面 A BD . 1 (2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ?

?????4 分

?????5 分

3 AB ? 2

3.

∵ AB ? 平面 A AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , 1 ∴ CE ? 平面 A AB . 1 ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A AB 所成的角. 1 ∵ CE ? ?????6 分 ?????7 分

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 ? , EH EH
?????8 分

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ∴当 EH ? A1B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 ? ? . 2 EH EH

9

∴ EH ?

2 5 . 5

?????9 分

∵ CE ∥ BF , CE ? 平面 A AB , 1 ∴ BF ? 平面 A AB . 1 ∵ AB ? 平面 A AB , A1B ? 平面 A1 AB , 1 ∴ BF ? AB , BF ? A B. 1 ∴ ?ABA1 为平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角). 1 在 Rt△ EHB 中, BH ? ?????11 分 ?????12 分 ?????10 分

EB2 ? EH 2 ?

BH 5 , cos ?ABA1 ? ? 5 EB

5 .?13 分 5

∴平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 1 解法二: (1)证明:取 A B 的中点 F ,连接 DF 、 EF . 1 ∵ E 为 AB 的中点, ∴ EF ∥ AA1 ,且 EF ?

5 . 5

?????14 分

z A1 C1 B1 D H A E x B C y

1 AA1 . 2

?????1 分

1 ∵ CD ∥ AA1 ,且 CD ? AA1 , 2
∴ EF ∥ CD , EF ? CD . ∴四边形 EFDC 是平行四边形. ∴ CE ∥ DF . ?????2 分 ?????3 分

F

∵ DF ? 平面 A BD , CE ? 平面 A1BD , 1 ∴ CE ∥平面 A BD . 1 ?????4 分

(2)解:∵ AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? CE . ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点, ∴ CE ? AB , CE ? ?????5 分

3 AB ? 2

3.

10

∵ AB ? 平面 A AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , 1 ∴ CE ? 平面 A AB . 1 ∴ ?EHC 为 CH 与平面 A AB 所成的角. 1 ∵ CE ? ?????6 分 ?????7 分

3,

在 Rt△ CEH 中, tan ?EHC ?

CE 3 , ? EH EH
?????8 分

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. ∴当 EH ? A1B 时, ?EHC 最大. 此时, tan ?EHC ?

CE 3 15 . ? ? 2 EH EH
?????9 分

∴ EH ?

2 5 . 5 EB 2 ? EH 2 ? 5 . 5

在 Rt△ EHB 中, BH ?

∵Rt△ EHB ~Rt△ A AB , 1

2 5 EH BH ? ∴ ,即 5 ? AA1 AB AA1
∴ AA ? 4. 1

5 5 . 2
?????10 分

以 A 为原点,与 AC 垂直的直线为 x 轴, AC 所在的直线为 y 轴, AA1 所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A (0, 0, 0) , A1 (0, 0, 4) , B ∴ AA1 ? (0, 0, 4) , A1 B ? 设平面 A1BD 的法向量为 n = 由 n ?A1B 得? í

(

3, 1, 0 , D (0, 2, 2) .

)

????

????

(

???? ? 3, 1, - 4 , A1D ? (0, 2, - 2) .

)

? x, y , z ? ,
0,

????

???? ? 0 , n ?A1D

ì ? 3x + y - 4 z = 0 ? ? ? 2 y - 2 z = 0.
11

令 y = 1,则 z = 1, x =

3.

∴平面 A1BD 的一个法向量为 n =

(

3, 1, 1 .

)

?????12 分

∵ AA1 ? 平面 ABC , ∴ AA1 =

????

(0, 0, 4) 是平面 ABC 的一个法向量.
?????13 分

???? ? ???? ? n ? AA1 5 ∴ cos n, AA1 ? . ???? ? ? 5 n AA1

∴平面 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 1

5 . 5

?????14 分

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归与 转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n , ∴ 当 n ? 1 时,有 a1 ? (1 ?1)S1 ? 2, 解得 a1 ? 2 . 由 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)Sn ? 2n , ① ?????2 分 ????? 3 ?????1 分

得 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? 2(n ? 1) , ② ② - ①得: (n ? 1)an?1 ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 . 分 以下提供两种方法: 法 1:由③式得: (n ? 1)(Sn?1 ? Sn ) ? nSn?1 ? (n ?1)Sn ? 2 , 即 Sn?1 ? 2Sn ? 2 ; ③

?????4 分 ?????5 分

? Sn?1 ? 2 ? 2(Sn ? 2) ,
∵ S1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , ∴数列 {Sn ? 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ Sn ? 2 ? 4 ? 2n ?1 ,即 Sn ? 4 ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n?1 ? 2) ? (2n ? 2) ? 2n , 又 a1 ? 2 也满足上式,

?????6 分 ?????7 分

12

∴ an ? 2n .

?????8 分

法 2:由③式得: (n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? (n ? 1)Sn ? 2 ? n ? Sn ?1 ? Sn ? ? Sn ? 2 , 得 an ?1 ? Sn ? 2 . 当 n ? 2 时, an ? Sn ?1 ? 2 , ⑤-④得: an ?1 ? 2an . 由 a1 ? 2a2 ? S2 ? 4 ,得 a2 ? 4 , ∴ a2 ? 2a1 . ∴数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)解:∵ p, q, r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q . 假设 a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 成等比数列, 则 ap ? 1 ?????9 分 ∴ an ? 2n . ?????7 分 ?????8 分 ④ ⑤ ?????4 分 ?????5 分 ?????6 分

?

? ?a

r r

? 1? ? aq ? 1 ,
2

?

?

?????10 分

即 2p ? 1

?

? ?2

? 1 ? 2q ? 1 ,
(*) ?????11 分

? ?

?

2

p r q 化简得: 2 ? 2 ? 2 ? 2 .

∵ p ? r, ∴ 2 p ? 2r ? 2 2 p ? 2r ? 2 ? 2q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.??13 分 ∴ a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1 不是等比数列. ?????14 分

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归 与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
2 ? ?a ? 16, 2 ? ?b ? 12.

? 22 32 ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b2 ?a 2 ? b2 ? 4. ?
∴ 椭圆 C1 的方程为

解得: ?

?????2 分

x2 y 2 ? ?1. 16 12
13

?????3

分 解法 2:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
?????1 分 ?????2 分

a ? 4, 根据椭圆的定义得 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 8 ,即
∵ c ? 2 , ∴ b2 ? a 2 ? c2 ? 12 .

x2 y 2 ? ?1. ∴ 椭圆 C1 的方程为 16 12
分 (2)解法 1:设点 B ( x1 ,

?????3

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4 1 BA ? (2 ? x1 ,3 ? x12 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, ∴ BC // BA . ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

??? ?

??? ?

?????4 分

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x2 ? x12 4 ? 4

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得: 2 (x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . 由 x2 ? 4 y ,即 y ?



?????5 分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

?????6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x 1 2 x1 1 x1 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? x12 . ② 4 2 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
③ ?????8 分

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

设点 P( x, y) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ? 代入②得 y ?

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 , 2 4 2 4
?????9 分 ?????10 分

1 ( x1 ? x 2 ) . 2

1 x1 x 2 , 4

则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . ?????11 分

14

P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, 若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
?????12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ?????13 分 ?????14 分

P 有两个. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

?????4 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

?????5 分

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



?????6 分

同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

?????7 分

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . ?????8 分 2

x x0 ? y , 2
∴ y0 ? x0 ? 3 .

?????9 分 ?????10 分 ?????11 分

∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .

P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,??12 分 若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点.
15

?????13 分

P 有两个. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

?????14分

?

?

由?

? ? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y,
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

?????4分

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 . 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?

?

?

?

?

?????5分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

?????6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 .?7 分 2 2 2

∵ y1 ?

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
?????8 分

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

? x y ? 1 x? ? ? 2 由? ? y ? x2 x ? ? ? 2

? x ? x2 1 2 x1 , x ? 1 ? 2k , ? ? 2 4 解得 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? ? 4 4

∴ P 2k , 2k ? 3 . ∵ PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 , ∴点 P 在椭圆 C1 :

?

?

?????10 分

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12
2

?????11 分

? 2k ? ∴
16

2

?
2

? 2k

? 3? 12

? 1.
?????12 分 ?????13 分

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*)
2 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,

? ?

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ?????14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础 知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括

16

能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于 x 的不等式 f

? x? ?

? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2 的解集为 ? m,m ? 1? ,

2 2 即不等式 x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? 0 的解集为 m,m ? 1 ,

?

?

?

2 2 ∴ x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? x ? m

? ?

? ?

?

? ? x ? m ? 1? . ? ? ?

2 2 2 ∴ x ? a ? 1 ? 2m x ? m ? m ? x ? 2m ? 1 x ? m m ? 1 .

?

∴ a ? 1 ? 2m ? ? 2m ? 1 . ∴ a ? ?2 . ?????2 分

?

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? ? x ? 1? ? (2)解法 1:由(1)得 g ? x ? ? . x ?1 x ?1 x ?1
∴? x

f ? x?

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ? k ln ? x ? 1? 的定义域为 ?1,?? ? . x ?1
?????3 分

∴ ? ?( x) ? 1 ?

m

? x ? 1?
?
2

2

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?

2 方程 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式

?

Δ ? ? 2 ? k ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m .
①当 m ? 0 时, Δ ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?

?????4 分

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

?????5 分

则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 , ?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 . ②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ?2 ?m 或 k ? 2 ?m , 若 k ? ?2 ?m ,则 x1 ?

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?????6 分

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

故 x ? 1,?? 时, ? ?( x) ? 0 ,

?

?

17

∴函数 ? x 在 1,?? 上单调递增. ∴函数 ? x 没有极值点.

? ? ? ? ?

?

?????7 分

若 k ? 2 ?m 时, x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

则 x ? 1, x1 时,? ?( x) ? 0 ;x ? x1 , x2 时,? ?( x) ? 0 ;x ? x2 ,?? 时,? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1, x2 上单调递减,在 x2 , ?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 , 有极大值点 x1 . 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .???9 分 (其中 x1 ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?????8 分

? ?

? ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

解法 2:由(1)得 g x

? ?

?

f ? x? x ?1

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ? 1? ? . x ?1 x ?1

∴? x

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?

m ? k ln ? x ? 1? 的定义域为 ?1,?? ? . x ?1
?????3 分

∴ ? ?( x) ? 1 ? 若函数 ? x

m

? x ? 1?
?

2

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k . ? ? 2 x ?1 x ? 1 ? ?

? ?

? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? 存在极值点等价于函数 ? ?( x ) 有两个不等的零点,且

至少有一个零点在 1,?? 上. 令 ? ?( x ) ?

?

?????4 分

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?
?

2

? 0,

2 得 x ? 2 ? k x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*)

?

则Δ ? 2 ? k

?

?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m ? 0 ,(**)

?????5 分

方程(*)的两个实根为 x1 ? 设h x

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

.

? ?

? x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ,
18

①若 x1 ? 1, x2 ? 1,则 h 1 ? ? m ? 0 ,得 m ? 0 ,此时, k 取任意实数, (**)成立. 则 x ? 1, x2 时, ? ?( x) ? 0 ; x ? x2 , ?? 时, ? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x2 上单调递减,在 x2 , ?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 .

??

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?????6 分

? h ?1? ? ? m ? 0, ?m ? 0, ? ②若 x1 ? 1,x2 ? 1 ,则 ? 2 ? k 得? ? 1. ? k ? 0. ? ? 2
又由(**)解得 k ? 2 ?m 或 k ? ?2 ?m , 故 k ? 2 ?m . ?????7 分

则 x ? 1, x1 时,? ?( x) ? 0 ;x ? x1 , x2 时,? ?( x) ? 0 ;x ? x2 ,?? 时,? ?( x) ? 0 . ∴函数 ? x 在 1, x1 上单调递增,在 x1, x2 上单调递减,在 x2 , ?? 上单调递增. ∴函数 ? x 有极小值点 x2 , 有极大值点 x1 . 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任何实数, 函数 ? x 有极小值点 x2 ; 当 m ? 0 时, k ? 2 ?m ,函数 ? x 有极小值点 x2 ,有极大值点 x1 .???9 分 (其中 x1 ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?????8 分

? ?

? ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

)

(2)证法 1:∵ m ? 1 , ∴ g x

? ? ? ? x ? 1? ?
n

1 . x ?1
n

? ? n 1? 1 ? ? ∴? ? g ? x ? 1? ? ? g x ? 1 ? ? x ? x ? ? ? x ? x n ? ? ? ? ?
n

?

?

1 n ?1 ? xn ? Cn x ?

? 1 1 1 1? 2 n?2 n ?1 n 1 ? Cn x ? 2 ? ? ? Cn x ? n ?1 ? Cn ? ? xn ? n ? n x x x x x ? ?

1 n?2 2 n?4 n ?1 2 ? n ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x .

?????10 分

令 T ? Cn x

1 n?2

2 n?4 n ?1 2 ? n ? Cn x ? ? ? Cn x ,

19

则 T ? Cn x

n ?1 2 ? n

n?2 4?n 1 n?2 ? Cn x ? ? ? Cn x

1 2?n 2 4?n n ?1 n ? 2 ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x .

∵x ? 0, ∴ 2T ? Cn x
1

?

n?2

2 n ?1 ? x 2 ? n ? Cn x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cn x2 ? n ? xn ? 2

?

?

?

?

?

??11 分

1 2 n ?1 ? 2 x n ? 2 ? x 2 ? n ? Cn ? 2 x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? Cn ? 2 x 2 ? n ? x n ? 2 ?12 分 ? Cn

1 2 n ?1 ? 2 Cn ? Cn ? ? ? Cn

?

? ?
?????13 分 ?????14 分

0 1 2 n ?1 n 0 n ? 2 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn

?

? 2 2n ? 2 .
∴ T ? 2n ? 2 ,即 ? g x ? 1 ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2 . ? ?

?

?

?

?

n

?

?

? ? n 1? 1 ? 证法 2:下面用数学归纳法证明不等式 ? x ? ? ? ? x ? n ? ? 2n ? 2 . x? x ? ? ?
① 当 n ? 1 时,左边 ? ? x ?

n

? ?

1? ? 1? 1 ? ? ? x ? ? ? 0 ,右边 ? 2 ? 2 ? 0 ,不等式成立; x? ? x?
?????10 分
k

? ? k 1? 1 ? ② 假设当 n ? k (k ? N )时,不等式成立,即 ? x ? ? ? ? x ? k ? ? 2k ? 2 , x? x ? ? ?
*

? 1? 则 ?x ? ? x? ?

k ?1

? 1 ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?

k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k x ? ?? x? x ? ? ?

?? ? 1? ? k 1 ? ? k ?1 1 ? ? ? ? ? x ? ? ? x ? k ? ? ? x ? k ?1 ? x? ? x ? ? x ? ?? ? ?
?????11 分

k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ?? ? 1 ? ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k ? ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?? x? x ?? ? x ? ? ? ? ?

? 2 x?

1 1 ? 2k ? 2 ? 2 xk ?1 ? k ?1 x x

?

?

?????12 分

? 2k ? 1 ? 2 .
也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②可得,对 ?
n

?????13 分

n n ? n ?N * , ? ? g ? x ? 1?? ? g x ? 1 ? 2 ? 2 都成立. ???14 分

?

?

20

21


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