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2013深圳二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后务必用 0.5 毫米 黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘 贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,请注意每 题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 2013.4

1 参考公式:① 体积公式: V柱体 ? S ? h,V锥体 ? S ? h ,其中 V , S , h 分别是体积、底面积和高; 3 n (ad ? bc)2 ② 独立性检验中的随机变量: K 2 ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只一项是符合题目要求的.
1.为虚数单位,则 i ? ? ( A.0

1 i B. 2i

) C. 1 ? i D. ?1 ? i

2.已知集合 A ? ?0,1? ,满足条件 A ? B ? ?2, 0,1,3? 的集合 B 共有( ) A.2个 B.2个 C.3个 D.4个

3.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间 (0,1) 内单调递增的是( ) A. y ?

x

B. y ? e ? e
x

?x

C. y ? x sin x

D. y ? lg

1? x 1? x

4.一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本, 则样本中女运动员的人数为( ) A.9 B.10 C.11 D.12

x2 y 2 5. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 渐近线方程为 y ? ? 3 x ,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆离心率等于( ) a b
A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

6.已知 x ? R ,则 x ? 1 是 | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 | x | 的( ) A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

7.由曲线 y ? sin x, y ? cos x 与直线 x ? 0, x ?

?
2

所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是( ) D. 2 2 ? 2
1 / 10

A.1

B.

?
4

C.

2 2 3

8.在 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x)3 ? (1 ? x) 4 ? (1 ? x)5 的展开式中,含 x 2 的系数是( ) A.10 B.15 C.20 D.25 二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分) (一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题。 9.某组合体的三视图如图2,其中正视图与侧视图相同,则体积是 10.若直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 相切,则 k ? 11.执行图3中程序框图表示的算法,其输出的结果 s 为 。 。

cm3

? x ? 0, y ? 0 ? 12.已知向量 a ? (1, ?2) , M 是平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0 内的动点, O 是坐标原点,则 a ? OM 的最小值是 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
13.在 n ? n 的方格中进行跳棋游戏。规定每跳一步只能向左,或向右,或向上, 不能向下,且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格。设 f (n) 表示 从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数。 如图4,给出了 n ? 3 时的一条路径。则 f (3) ? ; f ( n) ? 。



(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题。 14.在极坐标系中,圆 ? ? 3cos ? 上的点到直线 ? cos(? ?

) ? 1 的距离的最大值是 3 15.如图, P 是圆 O 外一点, PT 为切线, T 为切点,割线 PAB 经过圆心 O ,
PT ? 2 3, PB ? 6 ,则 ?PTA ?
三、解答题 16.已知 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, sin(2C ? (1)求角 C 的大小; (2)求 。

?



?
2

)?

1 ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 。 2

a?b 。 c

17.一个箱中原来装有大小相同的5个球, 其中3个红球, 2个白球. 规定: 进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球, 如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白球,则该球不放回,并另补一个红球放到箱中。” (1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4的概率;
2 / 10

(2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望。 18.如图6,已知四边形 ABCD 是矩形, AB ? 2 BC ? 2 ,三角形 PAB 是正三角形,且平面 ABCD ? 平面 PCD 。 (1)若 O 是 CD 的中点,证明: BO ? PA ; (2)求二面角 B ? PA ? D 的余弦值。

19.已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足: a1 ? 0, b1 ? 2013 ,且对任意 n, an , an ?1 , bn 和 an ?1 , bn ?1 , bn 均为等差数列。 (1)求 a2 , b2 的值; (2)证明: ?an ? bn ? 和 ?an ? 2bn ? 均成等比数列; (3)是否存在唯一的正整数 c ,使得 an ? c ? bn 恒成立?证明你的结论。

20.已知动点 M 到点 F (0,1) 的距离与到直线 y ? 4 的距离之和为5。 (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程,并画出图形; (2)若直线 l : y ? x ? m 与轨迹 E 有两个不同的公共点 A, B ,求 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求弦长 | AB | 的最大值。

3 / 10

21.定义 ? ( x, y ) ?| e x ? y | ? y | x ? ln y | ,其中 x ? R, y ? R ? 。 (1)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ( x, a ) ,试判断 f ( x) 的定义域内零点的个数; (2)设 0 ? a ? b ,函数 F ( x) ? ? ( x, a ) ? ? ( x, b) ,求 F ( x) 的最小值; (3)记(2)中最小值为 T (a, b) ,若 ?an ? 是各项均为正数的单调递增数列,证明:

? T (a , a
i ?1 i

n

i ?1

) ? (an ?1 ? a1 ) ln 2 。

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)参考答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题:9. 1 ? 三、解答题: 16. 解: ( 1) (法一) 1 A 10. 2 D 3 B 4 D 12. ?3 5 A 6 A
n ?1

7 D 14.

8 C

? 3

1 e

11. 341

13. 9; n

7 4

15. 30 (或

? ) 6

a 2 ? b2 ? c 2 ,? cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 ?? 1 ? ? 0 , C 为钝角(2 分) , sin ? 2C ? ? ? ,又 2ab 2? 2 ?

?
2

? 2C ?

?
2

?

3? ? 5? 2? ,? 2C ? ? ,? C ? (5 分) 2 2 6 3

(法二)

a 2 ? b2 ? c 2 ,? cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 0 , C 为钝角(2 分) ,?? ? 2C ? 2? , 2ab

又 cos 2C ? ? sin ? 2C ?

? ?

??

4? 2? 1 ? ? ? ,? 2C ? 3 ,? C ? 3 (5 分) 2? 2

(2) (法一)由(1)得 B ?

?
3

? A,0 ? A ?

?
3

,由正弦定理得:

?? ? sin A ? sin ? ? A ? a ? b sin A ? sin B ?3 ? ? 2 3 ?sin A ? ? 3 cos A ? 1 sin A ? ? ? 2 3 sin ? A ? ? ? (10 分) , ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 2? c sin C 3 2 3 3 ? ? ? ? ? ?? ? sin 3


?
3

? A?

?
3

?

? 2 3? 2? a?b 3 ?? ? ,? 的取值范围为 ? 1, ? sin ? A ? ? ? 1 ,? ? (12 分) ? 3 c 3 ? 2 3? ? ?
2? ,由余弦定理得 3
2

(法二)由(1)得 C ?

2? 2 2 2 ? a?b ? 3 , c ? a ? b ? 2ab cos ? a2 ? b2 ? ab ? ? a ? b ? ? ab ? ? a ? b ? ? ? ? ? ? a ? b ? (9 分) 3 ? 2 ? 4
2 2 2

4 / 10

2 ? 2 3? a?b a?b ? a?b ? 4 a ?b 2 3 ? 1 ,? ,又 a ? b ? c , 的取值范围为 ? 1, ?? ? (12 分) ? ? , c ? 3 (10 分) ? c c 3 ? ? c ? 3 ?

17. 解: (1)设 A , B1 表示事件“第 1 次操作从箱中取出的是白球” , 1 表示事件“第 1 次操作从箱中取出的是红球” , B2 表示事件“第 2 次操作从箱中取出的是白球” , A2 表示事件“第 2 次操作从箱中取出的是红球” 则 A1B2 表示事件“第 1 次操作从箱中取出的是红球,且第 2 次操作从箱中取出的是白球” ,有条件概率的计算公式, 得 P ? A1 B2 ? ? P ? A1 ? P B2 A1 ?

?

?

3 2 6 ? ? (2 分) , 5 5 25

,有条件概率的计算公式, B1 A2 表示事件“第 1 次操作从箱中取出的是白球,且第 2 次操作从箱中取出的是红球” 得 P ? B1 A2 ? ? P ? B1 ? P A2 B1 ?

?

?

2 4 8 ? ? (4 分) , 5 5 25

,又 A1B2 与 B1 A2 是互斥事件, A1B2 ? B1 A2 表示事件“进行第 2 次操作后,箱中红球个数为 4”

? P ? A1 B2 ? B1 A2 ? ? P ? A1B2 ? ? P ? B1 A2 ? ?

6 8 14 ? ? (6 分) 25 25 25

(2)设进行第 2 次操作后,箱中红球个数为 X ,则 X ? 3, 4,5 (8 分) ,

3 3 9 14 2 1 2 P ? X ? 3? ? ? ? , P ? X ? 4? ? , P ? X ? 5? ? ? ? ,分布列为: 5 5 25 25 5 5 25 3 4 5 X 9 14 2 P 25 25 25 9 14 2 93 (12 分) ? 数学期望为 E ? X ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 25 25 25 25
18. 解:

(法一) (1)连结 OA, OP , 又

ABCD 是矩形,且 AB ? 2 BC , O 是 CD 的中点,? BO ? AO ①(1 分)

面PCD ? 面ABCD , 面PCD 面ABCD ? CD , AD ? 面ABCD , AD ? CD , AD ? 面PCD , 又
? PC ? PD 和 Rt ?BCP 中,AD ? BC ,PA ? PB ,

? AD ? PD , t? A D P P D? 面 P C D , 同理 BC ? PC , 在R

(3 分) ,? PO ? CD ,又 PO ? 面PCD ,? PO ? 面ABCD ,又 BO ? 面ABCD ,? BO ? PO ②(5 分) ,由
5 / 10

①②及 AO

PO ? O , AO, PO ? 面PAO , 得BO ? 面PAO ,又 PA ? 面PAO ,? BO ? PA (7 分)
OD / / AB , 且OD ?

(2)延长 BO, AD 相较于点 E , 点 F ,连结 BF, EF ,

1 AB ,? O, D 分别为 EB, EA 的中点(8 分) ,取 PA 中 2
BO? B,

?PAB 是正三角形, ? PA ? BF ③,又由( 1 )得 PA ? BO ,又 BF

BEF ,? PA ? EF ④(10 分) BF , BO ? 面BEF ,? PA ? 面BEF ,又 EF ? 面 ,又 EF ? 面DPA ,? ?BFE
是二面角 B ? PA ? D 的一个平面角,

AB ? 2 BC ? 2 , ? ?PAB 是正三角形, ? BE ? 2 2 , BF ? 3 ,
2 2 2

EF ?

? 3? ? ? 3? ? ?2 2 ? 3 ,在 ?BEF 中,由余弦定理得 cos ?BFE ?
2? 3 ? 3
1 (14 分). 3

1 ? ? ,即二面角 B ? PA ? D 的余 3

弦值为 ? (法二)

(1)

面PCD ? 面ABCD , 面PCD 面ABCD ? CD , AD ? 面ABCD ,又 ABCD 是矩形, AD ? CD ,

? AD ? 面PCD ,又 PD ? 面PCD ,? AD ? PD ,同理 BC ? PC ,在 Rt ?ADP 和 Rt ?BCP 中, AD ? BC ,
PA ? PB ,? PC ? PD ,取 AB 中点 Q ,连结 OP, OQ ,则 OC , OP, OQ 两两垂直(2 分) ,以 O 为原点,分别以

OC , OP, OQ 为 x, y, z 轴,如图建立空间直角坐标系,
正三角形, ?PCD 是等腰三角形(3 分) ,?OP ?

AB ? 2 BC ? 2 ,? A? ?1,0,1?,B ?1,0,1? ,又 ?PAB 是

PD2 ? OD2 ? PA2 ? AD2 ? OD2 ? 2 ,? P 0, 2, 0 ,

?

?

O ? P A ? BO ? ? ?1, 0, ?1? , PA ? ?1, ? 2,1(5 分) ? BO PA ? ? ?1, 0, ?1? ?1, ? 2,1 ? 0 , ? BO ? PA , , 即B
(7 分)

?

?

?

?

? ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 P A

1, ??

? 2 , 1A ,B ??

?

, 0 ,面 0 设 ?2 ,

BPA 的 法 向 量 为 n ? ? x, y, z ? , 由

? ?? x ? 2 y ? z ? 0 ? PA n ? 0 ? ?? ,令 y ? 1 ,则 n ? 0,1, 2 (9 分) , ? ?2 x ? 0 ? PB n ? 0 ? ?

?

?

6 / 10

又 PA ? ?1, ? 2,1 , DA ? ? 0, 0,1? ,设面 DPA 的法向量为 m ? ? a, b, c ? ,由 ?

?

?

? PA m ? 0 ?

? ??a ? 2b ? c ? 0 , ?? c ? 0 ? DA m ? 0 ? ? ?

令 b ? 1 ,则 m ? ? 2,1, 0 (11 分) ,? cos ? n, m ??

?

?

nm n m

?

1 1 , ? (13 分) 3? 3 3

又法向量 n, m 均指向二面角 B ? PA ? D 外,所以二面角 B ? PA ? D 的平面角与角 ? n, m ? 互补,

1 (14 分). 3 a ? b 2013 a ? b 6039 , b2 ? 2 1 ? 19. 解: (1) a2 ? 1 1 ? (2 分) 2 2 2 4
故二面角 B ? PA ? D 的余弦值为 ?

a ?b 1 1 ? ? an ?1 ? n n an ?1 ? an ? bn ? ? ? ? 2 2 2 ?? (2)依题意,对任意的正整数 n ,有 ? (4 分) , ?b ? an ?1 ? bn ?b ? 1 a ? 3 b ? n ?1 4 n 4 n ? n ?1 ? ? 2

an ?1 ? bn ?1 an ? bn

1 ? ?1 3 ? ?1 ? an ? bn ? ? ? an ? bn ? 1 1 2 2 ? ?4 4 ? ?? ? ,a1 ? b1 ? ?2013 ,??an ? bn ? 是以首项为 ?2013 ,公比为 的 4 an ? bn 4 an ?1 ? 2bn ?1 an ? 2bn 1 ? ?1 3 ? ?1 ? an ? bn ? ? 2 ? an ? bn ? 2 2 ? ?4 4 ? ?? ? 1, a1 ? 2b1 ? 4026 ,??an ? 2bn ? 是以首项 an ? 2bn

等比数列(6 分) ,

为 4026 ,公比为 1 的等比数列(8 分)

1342 ? an ? 1342 ? n ?1 ?an ? 2bn ? 4026 ? ? ? 4 ? (3)由(2)得 ? ,解得 ? , n ? N (10 分) ,显然, ?an ? 是单调递增 2013 (9 分) 671 a ? b ? ? n n ?b ? 1342 ? ? ? 4n ?1 n ? ? 4n ?1
? ? 数列, ?bn ? 是单调递减数列,且 an ? 1342 ? bn , n ? N ,即存在正整数 k ? 1342 ,使得对任意的 n ? N ,有

?1342 ?1 ? ? 4n ?1 2 n?2 ? 1342 ,而 210 ? 1024, 212 ? 4096 ,? 2n ? 2 ? 12, n ? 7 , ,又令 ? ,解得 2 an ? 1342 ? bn (12 分) ? 671 ? 1 ? ? 4n ?1
? 即对任意的 n ? N 且 n ? 7 时, 1341 ? an ? 1342 ? bn ? 1343 ,所以正整数 k ? 1342 也是唯一的, ? 综上所述,存在唯一的正整数 k ? 1342 ,使得对任意的 n ? N ,有 an ? k ? bn (14 分).

20. 解: (1)

7 / 10

设动点 M ? x, y ? ,依题意: x ? ? y ? 1? ? y ? 4 ? 5 (2 分) ,化简得 x ? 4 y ? y ? 4? ,或 x2 ?? 16 ? y ? 5 ??y ? 4
2 2

2

?,

2 故点 M 的轨迹方程为 x ? 4 y ? y ? 4? ,或 x ?? 16 ? y ? 5 ??y ? 4 ? (4 分) ,其图形是抛物线 y ?

2

x2 x2 ?5 或y?? 4 16

位于 ?4 ? x ? 4 的部分(如图所示) (5 分)

x2 x2 ( 2 )记抛物线段 y ? ? ?4 ? x ? 4? 为 E1 ,抛物线段 y ? ? ? 5 ? ?4 ? x ? 4? 为 E2 , E1 与 E2 的公共点为 4 16

?y ? x ?8 ? x ? ?4 ? x ? ?12 ? m?8, 当直线 l : y ? x ? m 经过点 C ? ?4, 4 ? 时, 由? 解得 ? 或? , C ? ?4, 4? 和 D ? 4,4? , x2 ?y ? 4 ? y ? ?4 ?y ? ? ? 5 16 ?
点 ? ?12, ?4? 不在抛物线段 E2 上,? 要使直线 l : y ? x ? m 与轨迹 E 有两个不同的公共点,则 m ? 8 ①(7 分) ;

x x2 当直线 l : y ? x ? m 与抛物线 y ? 相切时, 由 y? ? ? 1 , 得切点 ? 2,1? ,m ? ?1 , 切点 ? 2,1? 在抛物线段 E1 上, 2 4
; ? 要使直线 l : y ? x ? m 与轨迹 E 有两个不同的公共点,则 m ? ?1 ②(9 分) 综上所述, m 的取值范围为 ? ?1,8? (10 分) (3)当 ?1 ? m ? 0 时,直线 l 与轨迹 E 的两个不同公共点 A, B 均在抛物线段 E1 上,且 0 ? AB ? OD ? 4 2 ; 当 0 ? m ? 8 ,直线 l 与轨迹 E 的两个不同公共点 A, B 分别在抛物线段 E1 和抛物线段 E2 上,且 A 点是直线 l 与抛物

?y ? x ? m x2 x2 ? ? 5 两交点中右下方的点 线y? 两交点中左下方的点,B 点是直线 l 与抛物线 y ? ? (如图) , 由? x2 解 4 16 y ? ? ? 4 ?y ? x ? m ? 得 x ? 2 ? 2 1 ? m ,点 A 的横坐标 xA ? 2 ? 2 1 ? m ,由 ? 解得 x ? ?8 ? 4 9 ? m ,点 B 的横坐标 x2 y ? ? ?5 ? 16 ?
8 / 10

xB ? ?8 ? 4 9 ? m ,? AB ? 2 ? xB ? xA ? ? 2 2
令 f ? m ? ? 1 ? m ? 2 9 ? m ? 0 ? m ? 8? ,

?

1 ? m ? 2 9 ? m ? 5 (12 分) ,

?

? f ? ? m? ?

1 1 9 ? m ? 2 1? m ? ? ? 2 1? m 9 ? m 2 ?1 ? m ?? 9 ? m ? 2

?

5 ?1 ? m ? 9 ? m ? 2 1? m

?

?1 ? m ?? 9 ? m ?



当 0 ? m ? 1 时, f ? ? m? ? 0 , f ? m? 单调递增;当 1 ? m ? 8 , f ? ? m? ? 0 , f ? m? 单调递减,

? f ? m?max ? f ?1? ? 5 2 ,故 m ? 1 时, AB max ? 20 ? 10 2 (14 分).
x 21. 解: (1) f ? x ? ? e ? a ? a x ? ln a ? a ? 0 ? ,函数 f ? x ? 的定义域为 R ,

当 x ? ln a 时, e ? a , f ? x ? ? e ? ax ? a ln a ? a ,
x

x

, f ? ? x? ? ex ? a ? 0 ,? f ? x ? 在 ?ln a, ??? 上为增函数(2 分) , f ? ? x? ? a ? ex ? 0 ,? f ? x ? 在 ? ??,ln a? 上为增函数(4 分)

当 x ? ln a 时, e ? a , f ? x ? ? ax ? e ? a ln a ? a ,
x

x

综上所述,函数 f ? x ? 在定义域内为增函数,又 f ? ln a ? ? a ? a ? a ln a ? ln a ? 0 ,? f ? x ? 在定义域内有且只有 一个零点(5 分) (2)易知 F ? x ? 的定义域为 R , F ? ? x ? ? ? ? ? x, a ? ? ? ? ? x, b ? ,而 0 ? a ? b ,? ln a ? ln b ,由(1)容易得到以 下结论:
x x ① 当 x ? l n a ? l nb时 , F ? ? x ? ? a ? e ? b ? e ? a ? b ? 0 , ? F ? x ? 在 在 ? ??, l na? 上 为 减 函 数 , 从 而

?

? ?

?

; F ? x ? ? F ? ln a ? (6 分) ② 当 l na ? x? l nb时 , F ? ? x ??

?

x

e ? ?a ? ?

b? x? e 2?

x

e ??

a ? ?,b令 F ? ? x ? ? 0 , 得 x ? ln

a?b a?b l na ? x ? l n ? x ? ln b 时, F ? ? x ? ? 0 , F ? x ? 单调递增;? 当 时, F ? ? x ? ? 0 , F ? x ? 单调递减;当 ln 2 2 x ? ln a?b ? a?b? 时, F ? x ? 有最小值 F ? ln ? (7 分) 2 2 ? ?

a?b ,当 2

b ? x时 , F ? ? x ? ? e x ? a ? e x ? b ? b ? a ? 0 , ? F ? x ? 在 在 ?l nb ,??? 上 为 增 函 数 , 从 而 ③ 当 l na ? l n
; F ? x ? ? F ? ln b ? (8 分) 综上所述,当 x ? ln

?

? ?

?

a?b a?b ? a?b? 时, F ? x ? 有最小值 F ? ln (10 分) ? a ln a ? b ln b ? ? a ? b ? ln ? 2 2 ? 2 ? a?b , 2

(3)由(2)知 T ? a, b ? ? a ln a ? b ln b ? ? a ? b ? ln
?

先证明 T ? ai , ai ?1 ? ? ? ai ?1 ? ai ? ln 2 , i ? N ,即证明:

ai ln ai ? ai ?1 ln ai ?1 ? ? ai ? ai ?1 ? ln

ai ? ai ?1 ? ? ai ?1 ? ai ? ln 2 , i ? N ? , 2
9 / 10

将 ai 视为常数, ai ?1 视为变量,构造下列函数:

G ? t ? ? ai ln ai ? t ln t ? ? ai ? t ? ln
则 G? ? t ? ? ln t ? 1 ? ln

ai ? t ? ? t ? ai ? ln 2 ,其中 t ? ai ? 0 , 2

ai ? t t ? 1 ? ln 2 ? ln ? 0 , G ? t ? 在 ?ai , ??? 上单调递减, 2 ai ? t

而 G ? ai ? ? ai ln ai ? ai ln ai ? 2ai ln ai ? ? ai ? ai ? ln 2 ? 0 ,因为 ?an ? 是各项均为正数的单调递增数列, ai ?1 ? ai ,

i ? N ? ,所以 G ? ai ?1 ? ? 0 ,即 ai ln ai ? ai ?1 ln ai ?1 ? ? ai ? ai ?1 ? ln
所以 T ? ai , ai ?1 ? ? ? ai ?1 ? ai ? ln 2 , i ? N (12 分) ,
?

ai ? ai ?1 ? ? ai ?1 ? ai ? ln 2 , i ? N ? , 2

于是,

?T ? a , a ? ? ? ? a
i ?1 i i ?1 i ?1

n

n

i ?1

? ai ? ln 2 ? ? an?1 ? a1 ? ln 2 (14 分).

10 / 10


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