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江苏省淮安市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题


淮安市 2014-2015 学年度第二学期期末高二调研测试

数 学 试 卷(文)
本试卷满分共 160 分;考试时间 120 分钟。
....... 答案写在答题卡相应位置上.

2015.6

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.只要求写出结果,不必写出计算和推理过程.请把

1.已知集合 A ? {0,1,2},B ? {x | y ? 1 ? x} ,则 A ? B ? 2.已知命题 p : ?x ? R,sin x ≤1 ,则 ? p 为 3.已知 .



2 ? 3i 为实数,其中 i 是虚数单位,则实数 m 的值为 m ? 3i

. .

4.已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 2 ? 0 .若 l1 ? l2 ,则实数 a 的值是 5.已知 cos(? ?

?

1 ? ) ? ? ,则 sin(? ? ) 的值为_____. 3 3 6

?sin ? x, x ≤ 1 ?4? 6.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ? ? 的值为 ? f ( x ? 1), x ? 1 ?3?



7.已知函数 f ( x ) ? a ?

1 的图象关于原点对称,则实数 a 的值是 4 ?1
x



8. 用火柴棒摆“金鱼” ,如图所示:

按照上面的规律,第○ n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数是 9.已知抛物线 y ? 4 x 与双曲线
2



x2 ? y 2 ? 1 的一个交点为 M , F 为抛物线的焦点,若 2 a


MF ? 3 ,则该双曲线的离心率为

10.已知过点 P ?2 3, ?2 的直线 l 与圆 O : x2 ? y 2 ? 4 有公共点,则直线 l 斜率的取值范围 是 .

?

?

11.将函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? 图象,若 y ? g ( x) 在 [0,

?
3

)(? ? 0) 的图象向右平移

?
4

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的 3?


] 上为增函数,则 ? 的最大值为

? x 2 ? 4 x ? 3, x ≤ 0 ? 12.已知 f ? x ? ? ? 2 ,若关于 x 的不等式 f ? x ? a ? ≥ f ? 2a ? x ? 在 ?a, a ? 1? 上 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0
恒成立,则实数 a 的最大值是 .

13.对于数列{ an },定义数列{ an?1 ? an }为数列{ an }的“差数列” ,若 a1 ? 2 ,{ an }的“差 数列”的通项为 2 ,则数列{ an }的前 n 项和 S n =
n

.

? ? f ? x? , x ? 0 14.已知函数 f ? x ? ? a log2 x ? 1 ( a ? 0 ) ,定义函数 F ? x ? ? ? ,给出下列命题: f ? x , x ? 0 ? ? ? ?
① F ? x? ? f ? x? ; ②函数 F ? x ? 是偶函数; ③当 a ? 0 时, 若0 ? m ? n ?1 , 则有 F ? m? ? F ? n ? ? 0 成立;④当 a ? 0 时,函数 y ? F ? x ? ? 2 有 4 个零点.其中正确命题的个数为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.

15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作角 ? 和 ? ,
? ?? ?? ? ? ? ? 0, ? , ? ? ? , ? ? ,其终边分别交单位圆于 A,B 两点. 2 2 ? ? ? ?

y A x O

B

若 A,B 两点的横坐标分别是 (1) tan ? , t an ? 的值; (2) ?AOB 的值.

3 2 ,? . 试求 5 10

第 15 题图

16.如图,已知多面体 ABCDFEF 中,平面 ADEF ⊥平面 ABCD ,若四边形 ADEF 为矩形,

1 AB ∥ CD , AB ? CD , BC ⊥ BD , M 为 EC 中点. 2
(1)求证: BC ⊥平面 BDE ; (2)求证: BM //平面 ADEF .

M

第 16 题图

17.某校为调研学生的身高与运动量之间的关系,从高二男生中随机抽取 100 名学生的身高 数据,得到如下频率分布表: 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) 合计 (1)求频率分布表中①、②位置相应的数据; (2)为了对比研究学生运动量与身高的关系,学校计划采用分层抽样的方法从第 2、5 组 中随机抽取 7 名学生进行跟踪调研,求第 2、5 组每组抽取的学生数? (3)在(2)的前提下,学校决定从这 7 名学生中随机抽取 2 名学生接受调研访谈,求至 少有 1 名学生来自第 5 组的概率? 频数 10 ① 30 25 20 100 频率 0.100 0.150 ② 0.250 0.200 1.00

18.已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x), a ? 0 ,且 a ? 1 . (1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并予以证明; (3)若 a ? 1 时,求使 f ( x) > 0 的 x 的集合.

19.已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,点 F1 (?1,0) 、C (?2,0) 分别是椭圆 M 的左焦点、 a 2 b2

左顶点,过点 F1 的直线 l (不与 x 轴重合)交 M 于 A, B 两点. (1)求椭圆 M 的标准方程;

(2)若 A(0, 3) ,求△ AOB 的面积; (3)是否存在直线 l ,使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上,若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,说明理由.

20.已知函数 f ? x ? ? 函数.

ln x ? k (其中 k ? R, e ? 2.71828? 是自然对数的底数) , f ?? x? 为 f ? x? 导 ex

(1)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 x ? ? 0,1? 时,方程 f ? ? x ? ? 0 有解,求实数 k 的取值范围; (3)若 f ? ?1? ? 0 ,试证明:对任意 x ? 0, f ? ? x ? ?

e?2 ? 1 恒成立. x2 ? x

2014-2015 学年度高二调查测试

数学试卷参考答案与评分标准(文)
本试卷满分共 160 分;考试时间 120 分钟。
一.填空题: 2. ?x ? R, sin x ? 1 9.
13 2
? 10. ? ? 0, 3 ?

1. {0,1} 8. 6n ? 2

3. ?2 11.2

4.0 或-3 12. ?2

5.

1 3

6.

3 2

7. 14. 3

1 2

13. 2n ?1 ? 2

二、解答题: 15. (1)因为 A, B 两点分别是角 ? , ? 的终边与单位圆的交点, 所以 A, B 两点的坐标为 A ? cos? ,sin ? ? , B ? cos ? ,sin ? ? ,?????????????4 分

又因为 A,B 两点的横坐标分别是

3 2 ? ?? ?? ? ,? ,且 ? ? ? 0, ? , ? ? ? , ? ? , 5 ? 2? ?2 ? 10

3 2 4 7 2 所以, cos ? ? , cos ? ? ? ,解得 sin ? ? ,sin ? ? ,???????????6 分 5 10 5 10

4 , tan ? ? ?7 ;???????????????????????8 分 3 4 ?7? tan ? ? tan? 3 ? 1 ,????12 分 (2)因为 tan?AOB ? tan(? ? ? ) ? ? 4 1 ? tan ? tan? 1 ? (?7) ? 3
所以 tan ? ? 又因为 0 ? ? ?

?

2



?

2

? ? ? ? ,所以 0 ? ? ? ? ? ? , 所以 ? ? ? ?

?

4

.???14 分

16. (1)因为四边形 ADEF 为矩形,所以 DE ? AD , ?????????????1 分 又因为平面 ADEF ⊥平面 ABCD , 平面 ADEF ∩平面 ABCD ? AD , 所以 DE ⊥平面 ABCD ,???????3 分 又因为 BC ? 平面 ABCD , 所以 DE ⊥ BC ,???????????5 分 又因为 BC ⊥ BD , DE ? BD ? D ,所以 BC ⊥平面 BDE ; ??????????7 分 (2)取 DE 中点 N ,连接 AN , MN ,因为 M , N 分别为 EC , DE 中点, N M

1 所以 MN ? CD , MN ? CD ,???????????????????????9 分 2

1 又因为 AB ? CD , AB ? CD ,所以 MN ? AB, MN ? AB , 2
所以四边形 ABMN 为平行四边形, ???????????????????11 分

所以 BM ? AN ,又 AN ? 平面 ADEF , BM ? 平面 ADEF , 所以 BM ? 平面 ADEF .??????????????????????????14 分 17. (1)由频率分布表可知, 第 2 组的频数为 100? 0.15 ? 15 (人) ,??????????????????2 分 第 3 组的频率为
30 ? 0.3 ; ??????????????????????4 分 100

(2)因为第 2、5 组共有 35 名学生,所以利用分层抽样在 35 名学生中抽取 7 名学生,每组 分别为:第 3 组:
15 ? 7 ? 3 (人), ?????????????????????6 分 35 20 ? 7 ? 4 (人),?????????????????????8 分 35

第 5 组:

所以第 2、5 组分别抽取 3 人、4 人. (3)设第 2 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 5 组的 4 位同学为 B1 , B2 , B3 , B4 , 则从 7 位同学中抽 2 位同学有 21 种可能情况:
( A1 , A2 ),( A1 , A3 ),( A1 , B1 ),( A1 , B2 ),( A1 , B3 ),( A1 , B4 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , B4 ) ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , B3 ), ( A3 , B4 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B3 , B4 ),

?????????????????????????????12 分

其中第 5 组的 4 位同学 B1 , B2 , B3 , B4 中至少有一位同学入选的有 18 种, 故至少有 1 名学生来自第 5 组的概率为 .???????????????14 分 18.(1)因为 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? loga (1 ? x), a ? 0 , 所以 ?
6 7

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,所以 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ;???????4 分 ?1 ? x ? 0

1? x , x ? (?1,1) 1? x 1? x 1 ? x ?1 1? x ? log a ( ) ? ? log a ? ? f ( x) 因为 f (? x) ? log a 1? x 1? x 1? x
(2) f ( x ) ? log a 所以 f ( x) 为奇函数.???????????????????????????8 分

(3)因为 f ( x ) ? log a

1? x 1? x 2 ,所以 f ? 0? ? 0 ,又 y ? 在 (?1,1) 上递增, ? ?1 ? 1 ? x 1 ? x 1? x

因为 a ? 1 ,所以 f ( x) 在 (?1,1) 上为递增函数, ??????????????12 分 由 f ( x) > f (0) 得, x ? 0 ,又因为 x ? (?1,1) , 所以使 f ( x) > f (0) 的 x 的集合为 (0,1) .??????????????????16 分 19. (1)由 F1 (?1,0) 、 C (?2, 0) 得: a ? 2, b ? 3 .?????????????2 分 所以椭圆 M 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1; 4 3

?????????????????4 分
x y ? ?1, ?1 3

(2)因为 A(0, 3) , F1 (?1,0) ,所以过 A, F1 的直线 l 的方程为: 即 3x ? y ? 3 ? 0 ,

????????????????????????6 分

? 3x ? y ? 3 ? 0 3 3 ? 解方程组 ? x 2 y 2 ,得 y1 ? 3, y2 ? ? ,?????????????8 分 5 ?1 ? ? 3 ?4
S?ABC ? 1 4 3 ? 1? | y1 ? y2 |? ;???????????????????????10 分 2 5
2 x0 y2 ? 0 ? 1 .因为 C(?2,0), F1 (?1,0) , 4 3

(2)设 B( x0 , y0 )( ?2 ? x0 ? 2) ,则

2 2 所以 BF 1 ? BC ? (?1 ? x0 , ? y0 ) ? (?2 ? x0 , ? y0 ) ? 2 ? 3x0 ? x0 ? y0

???? ??? ?

?

1 2 x0 ? 3x0 ? 5 ? 0 ,?????????????????????12 分 4

解得: x0 ? ?2 或 ?6 ,???????????????????????????14 分 又因为 ?2 ? x0 ? ?6 ,所以点 B 不在以 AC 为直径的圆上, 即不存在直线 l ,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上. ?????????????16 分 20. (1)由 f ( x) ?
ln x ? 2 1 ? 2 x ? x ln x 得 f ' ( x) ? , x ? (0, ??) , x e xe x

?????????1 分

1 所以曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线斜率为 f ? (1) ? ? , ??????????2 分 e

因为 f (1) ?

2 1 2 ,所以曲线 y ? f ( x) 切线方程为 y ? ? ? ( x ? 1) , e e e

1 3 即 y ? ? x ? ;?????????????????????????????4 分 e e
(2)由 f ?( x) ? 0 得 k ?
1 ? x ln x , ?????????????????????5 分 x

令 F ( x) ?

1 ? x ln x x ?1 , 因为 0 ? x ≤ 1 ,所以 F ?( x) ? ? 2 ? 0 ,????????????6 分 x x

所以 F ( x) 在(0,1]上单调递减,又当 x 趋向于 0 时, F ( x) 趋向于正无穷大,故 F ( x) ≥ 1 , 即 k ≥ 1 ; ?????????????????????????????8 分 (3)由 f '(1) ? 0 ,得 k ? 1 , ????????????????????????9 分 令 g ( x) ? ( x 2 ? x) f ' ( x) , 所以 g ( x) ?
x ?1 (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??) , ex

ex (e?2 ? 1) , x ?1 由 h( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0, ??) .得 h?( x) ? ? ln x ? 2 , x ? (0, ??) ,

因此,对任意 x ? 0 , g ( x) ? e ?2 ? 1 等价于 1 ? x ? x ln x ?

因此,当 x ? (0, e?2 ) 时,因为 h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 单调递增; 当 x ? (e?2 , ??) 时,因为 h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 单调递减, 所以 h( x) 的最大值为 h(e ?2 ) ? e ?2 ? 1 ,故 1 ? x ? x ln x ≤ e?2 ? 1 , ??????????12 分 设 ? ( x) ? e x ? ( x ? 1) ,因为 ? ?( x) ? e x ? 1 ,所以 x ? (0, ??) 时, ? ?( x) ? 0 , 所以 ? ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,所以 ? ( x) ? ? (0) ? 0 , 故 x ? (0, ??) 时, ? ( x) ? e x ? ( x ? 1) ? 0 ,即 所以 1 ? x ? x ln x ≤ e?2 ? 1 ?
ex ? 1 ,??????????????14 分 x ?1

ex e?2 ? 1 恒成立.??16 分 (e ?2 ? 1) .即对任意 x ? 0 , f ?( x) ? 2 x ?1 x ?x

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