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陕西省高中数学 第三章 推理与证明 例析反正法的应用拓展资料素材 北师大版选修1-2

例析反正法的应用 我们知道,反证法是先否定结论成立,然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理,逐步导出与定义、定 理,公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论,从而肯定原结论是正确的.反证法是间接证明的一种基本方法, 是解决某些“疑难”问题的有力工具,也是数学上非构造性证明中极为重要的方法,它对于处理存在性命题、否定 性命题、唯一性命题和至少、至多性命题具有特殊的优越性。现以例说明。 一 否定型命题 当结论为“否定性”的命题时,应用反证法。也就是说原题的结论出现“不可能??”、“不能表示为??”、 “不是??”、“不存在??”、“不等于??”、“不具有某种性质”等否定形式出现时,可考虑使用反证法进 行证明。 例 1:试证 2 不是有理数。 分析:要求证的结论是以否定的形式出现的,因此可应用反正法来进行证明。 证明:假设 2 是有理数,注意到 1 ? 1 ? 2 ? 4 ? 2, 2? 可设 p q ( p 、 q 为互质的正整数,且 q ? 1 ), 2 2 两边平方,得 2q ? p ①, 表明, p 是 2 的倍数, 2 因为 p 是正整数,故当 p 是奇数时,令 p ? 2k ? 1 ( p ? N ),则 p2 ? (2k ? 1)2 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 2(2k 2 ? 2k ) ? 1 , 即 p 是奇数,与 p 是 2 的倍数矛盾。 2 2 当 p 是偶数,又可设 p ? 2l ( p ? N * ),代入①式,整理后得 q2 ? 2l 2 ②,②式表明, q2 是 2 的倍数。这样 p 与 q 都是 2 的倍数,它们至少有公因数 2,与所作假定 p 、 q 为互质的正整数相矛盾。 因此 2 不是有理数。 点评:在应用反证法证题时,必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行,反正法的难点在于如何从假设中 推出矛盾,从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与自身相矛盾 二 存在性命题 当命题的结论是以存在性的形式出现时,宜用反证法。也就是说,解决存在性探索命题的总体策略是先假设结 论存在,并以此进行推理,若推出矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,经验证成立即可肯定假设正确。 例 2、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 C : 2 x ? y ? 1的右支交于不同的两点 A, B ,⑴求实数 k 的范围;⑵是否存在 2 2 实数 k 使得以线段 AB 为直经的圆经过双曲线 C 的右焦点 F ?若存在求出的值;若不存在,说明理由。 分析:第(1)提示求参数范围的常规题,第⑵问是一道探讨结论是否存在的开放性命题,为此先假设结论存 在并在此假设的条件下进行一系列的推导,或推出矛盾或验证成立。 解:⑴略可求得 ? 2 ? k ? ? 2 。 ⑵由 ? y ? kx ? 1 ? 2 2 ?2 x ? y ? 1 消去 y 得 (k 2 ? 2) x2 ? 2kx ? 2 ? 0 ,① 设 A, B 两点的坐标为 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 时方程①的两解 所以 x1 ? x2 ? 2k 2 , x1 x2 ? 2 2 2?k k ?2 , 假设存在实数 k 使得以线段 AB 为直经的圆经过双曲线 C 的右焦点 F (c, 0) , 则 FA ? FB ,得 ( x1 ? c)( x2 ? c) ? y1 y2 ? 0 , 即 ( x1 ? c)( x2 ? c) ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? 0 整理得 k 2 x1x2 ? (k ? c)( x1 ? x2 ) ? c2 ?1 ? 0 , 2 2 2 带入上式,得 5k ? 2 6k ? 6 ? 0 , x ? x2 , x1 x2 及 将 1 c? k ?? 解得 6? 6 6? 6 k? ? ?2, ? 2 5 或 5 ? ? (舍去) k ?? 从而存在实数 6? 6 5 使得以线段 AB 为直经的圆经过双曲线 C 的右焦点。 点评:在本题在假设的条件下推导出的结果并没有出现矛盾,而是验证了存在符合题设条件的实数,从判断结 论存在,对于探究具有某种性质的存在性问题,一般先由特例探求结果的存在性,然后进行论证。 三 “至少”、“至多” 型命题 当命题的结论是以“至多”、“至少”的形式出现时,可考虑应用反证法来解决。 例 3、设 a, b, c 均为实数,且 a ? x2 ? 2 y ? ? 2, b ? y2 ? 2z ? ? 3, c ? z2 ? 2x ? ? 6 求证: a, b, c 中至少有一个大于 0。 分析:如果直接从条件出发推证,方向不明,思路不清,不移入手,较难,说证结论是以“至少”形式出现, 因而可用反证法证明。 证明:设 a, b, c 中都不大于 0,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ? a ? b ? c ? 0 a ? b ? c ? ( x2 ? 2 y ? ) ? ( y 2 ? 2z ? ) ? ( z 2 ? 2 x ? ) 2 2 2 2 3 6 ? ( x ? 2 x) ? ( y ? 2 y) ? ( z ? 2 z) ? ? 而 ? ? ? ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? ( z ?1)2 ? ? ? 3 ? a ? b ? c ? 0 ,这与 a ? b ? c ? 0 矛盾, 故 a, b, c 中至少有一个大于 0 点评:当遇到命题的结论是以“至多”“至少”等形式给出时,一般是多用反证法;应注意 “至少有一个” “都是”的否定形式分别是“一个也没有” “不都是”,本题是一个自相矛盾的题目类型。 四 “唯一”性命题, 若命题的结论是以“唯一”、“ 有且只有一个”等形式出现时,可用反证法进行证明。 例 4、求证:两条相交直线有且只有一个交点。 分析:此题是含有“ 有且只有一个”的命题,可考虑用反证法进

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