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2015高考数学(理)一轮题组训练:8-4直线、平面垂直的判定与性质


第4讲

直线、平面垂直的判定与性质

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内, 且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件. 解析 若 α⊥β,因为 α∩β=m,b?β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质

定理可得 b⊥α,又 a?α,所以 a⊥b;反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,且 a,m 共面,一定有 b⊥a,但不能保证 b⊥α,所以不能推出 α⊥β. 答案 充分不必要

2.(2014· 绍兴调研)设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列正 确命题的序号是________. ①若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α;②若 m?α,n?β,m⊥n,则 n⊥α; ③若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α;④若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β 解析 与 α, β 两垂直平面的交线垂直的直线 m, 可与 α 平行或相交, 故①错;

对②,存在 n∥α 情况,故②错;对④,存在 α∥β 情况,故④错;由 n⊥α, n⊥β,可知 α∥β,又 m⊥β,所以 m⊥α,故③正确. 答案 ③

3.如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A, B 的任一点,则图形中有________对线面垂直.

解析

由题可知 PA⊥平面 ABC,又因为 BC⊥AC,PA⊥BC,所以 BC⊥平面

PAC,故有 2 对线面垂直. 答案 2

4.若 M 是线段 AB 的中点,A,B 到平面 α 的距离分别是 4 cm,6 cm,则 M 到
1

平面 α 的距离为________. 解析 1 当 A,B 在平面 α 同一侧,点 M 到 α 距离为2(4+6)=5(cm);当 A,B

1 在平面 α 两侧,点 M 到 α 距离为2(6-4)=1(cm). 答案 5 cm 或 1 cm

5. (2014· 郑州模拟)已知平面 α, β, γ 和直线 l, m, 且 l⊥m, α⊥γ,α∩γ=m, β∩γ =l,给出下列四个结论: ①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β. 其中正确的是________. 解析 如图,由题意,β∩γ=l,∴l?γ,由 α⊥γ,α∩γ=m,且 l⊥m,∴l⊥

α,即②正确;由 β∩γ=l,∴l?β,由 l⊥α,得 α⊥β,即④正确;而①③条 件不充分,不能判断.

答案

②④

6.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点, 当点 M 满足________时, 平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个 你认为正确的条件即可)

解析

∵PC 在底面 ABCD 上的射影为 AC, 且 AC⊥BD, ∴BD⊥PC.∴当 DM

⊥PC(或 BM⊥PC)时, 即有 PC⊥平面 MBD, 而 PC?平面 PCD, ∴平面 MBD ⊥平面 PCD. 答案 DM⊥PC(或 BM⊥PC)

7.设 α,β 是空间两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线.从 “①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为 结论,写出你认为正确的一个命题:________(用代号表示).
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解析

逐一判断.若①②③成立,则 m 与 α 的位置关系不确定,故①②③?

④错误;同理①②④?③也错误;①③④?②与②③④?①均正确. 答案 ①③④?②(或②③④?①)

8.如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E,F 分别是点 A 在 PB,PC 上的正投影,给出下列结论:

①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC. 其中正确结论的序号是________. 解析 由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC.

又 AC⊥BC,且 PA∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC,且 BC∩PC=C,∴AF⊥平面 PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.又 AE ⊥PB,AE∩AF=A, ∴PB⊥平面 AEF,∴PB⊥EF.故①②③正确. 答案 ①②③

二、解答题 9.(2013· 北京卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB, 平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证:

(1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
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证明

(1)因为平面 PAD∩平面 ABCD=AD.

又平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA⊥AD. 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 又 E,F 分别是 CD 和 CP 的中点, 所以 EF∥PD,故 CD⊥EF. 由 EF,BE 在平面 BEF 内,且 EF∩BE=E, ∴CD⊥平面 BEF.又 CD?平面 PCD 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 10.(2013· 泉州模拟)如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DB=BC,DB ⊥AC,点 M 是棱 BB1 上一点.

(1)求证:B1D1∥平面 A1BD; (2)求证:MD⊥AC; (3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1⊥平面 CC1D1D. (1)证明 由直四棱柱,得 BB1∥DD1,
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又∵BB1=DD1,∴BB1D1D 是平行四边形,∴B1D1∥BD. 而 BD?平面 A1BD,B1D1?平面 A1BD, ∴B1D1∥平面 A1BD. (2)证明 ∵BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,

∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC,且 BD∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D. 而 MD?平面 BB1D,∴MD⊥AC. (3)解 当点 M 为棱 BB1 的中点时,

平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.证明如下, 取 DC 的中点 N,D1C1 的中点 N1,连接 NN1 交 DC1 于 O,连接 OM,如图所 示.

∵N 是 DC 的中点,BD=BC, ∴BN⊥DC.又∵DC=平面 ABCD∩平面 DCC1D1, 而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1, ∴BN⊥平面 DCC1D1.又可证得 O 是 NN1 的中点, ∴BM∥ON 且 BM=ON,即 BMON 是平行四边形. ∴BN∥OM.∴OM⊥平面 CC1D1D. ∵OM?平面 DMC1,∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、填空题 1.如图, 在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∠BAC=90° , BC1⊥AC, 则 C1 在底面 ABC
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上的射影 H 必在直线______上.

解析

由 BC1⊥AC,又 BA⊥AC,则 AC⊥平面 ABC1,因此平面 ABC⊥平面

ABC1,因此 C1 在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上. 答案 AB

2.如图,在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误 的为________.

①AC⊥BD;②AC∥截面 PQMN;③AC=BD;④异面直线 PM 与 BD 所成的 角为 45° . 解析 ∵MN∥PQ,∴MN∥面 ABC,

∴MN∥AC.同理 BD∥QM. ∵MN⊥QM,∴AC⊥BD,∴①是对的; ∵AC∥MN,∴AC∥面 PQMN,故②对; ∵BD∥QM,∴PM 与 BD 所成角即为∠PMQ, ∴PM 与 BD 成 45° 角,故④对. 答案 ③

3.(2013· 南通二模)如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平 面 ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面 ABC⊥平面 PBC; ③直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45° .

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其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 解析 由 PA⊥平面 ABC,AE?平面 ABC,得 PA⊥AE,又由正六边形的性质

得 AE⊥AB,PA∩AB=A,得 AE⊥平面 PAB,又 PB?平面 PAB,∴AE⊥PB, ①正确;又平面 PAD⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立,②错; 由正六边形的性质得 BC∥AD,又 AD?平面 PAD,∴BC∥平面 PAD,∴直 线 BC∥平面 PAE 也不成立, ③错; 在 Rt△PAD 中, PA=AD=2AB, ∴∠PDA =45° ,∴④正确. 答案 ①④

二、解答题 4.(2014· 北京西城一模)在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AC= 3,AB=2BC=2,AC⊥FB.

(1)求证:AC⊥平面 FBC; (2)求四面体 F-BCD 的体积; (3)线段 AC 上是否存在点 M,使 EA∥平面 FDM?证明你的结论. (1)证明 在△ABC 中,因为 AC= 3,AB=2,BC=1,则 AB2=AC2+BC2,

所以 AC⊥BC,又因为 AC⊥FB,且 FB∩BC=B,所以 AC⊥平面 FBC. (2)解 因为 AC⊥平面 FBC,所以 AC⊥FC.

因为 CD⊥FC,且 CD∩AC=C,所以 FC⊥平面 ABCD. 则 FC 为四面体 F-BCD 的高,

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在等腰梯形 ABCD 中可得 CB=DC=1,所以 FC=1, 3 所以△BCD 的面积为 S= 4 . 1 3 所以四面体 F-BCD 的体积为 VF-BCD=3S· FC= 12 .

(3)解

线段 AC 上存在点 M,且 M 为 AC 中点时,

有 EA∥平面 FDM,证明如下: 连接 CE,与 DF 交于点 N,连接 MN, 因为四边形 CDEF 为正方形, 所以 N 为 CE 中点,所以 EA∥MN. 因为 MN?平面 FDM,EA?平面 FDM, 所以 EA∥平面 FDM, 所以线段 AC 上存在点 M,使得 EA∥平面 FDM.

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