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第六章 解三角形

假期辅导
知识归纳: 1、三角形的元素有:

解三角形

4、如果在 ?ABC 中, a ? 3 , b ? 7 , c ? 2 ,那么 B 等于( A.

) D.
2? 3

, 的过程叫解三角形。 =2R (R 为三角形外接圆的半径) ;应用正

? 6

B.

? 4

C.

? 3

2、正弦定理: 弦定理可以解决两类问题: (1) : (2) : 3、余弦定理:

5、在△ABC 中,已知 c-a=1,bc=30,△ABC 的面积 s ?
A.150° B.60°C.30°

15 则 A 等于() 2
D.150°或 30°

6、△ABC 中,已知下列条件解三角形,其中有唯一解的个数为: ( , ,
(1) A ? 60 ? , a ? 3 , b ? 1 (3) A ? 30 ? , a ? 6, c ? 10 (2) A ? 30 ? , a ? 1, b ? 2 (4) A ? 30 ? , a ? 10, c ? 10



推论: , , 应用余弦定理及其推论可以解决两类问题: (1) 、 (2) 、 4、应用:(1)判断三角形的形状; (2)测量问题:高度问题、距离问题、角度问题、几何计算问题(包括高 和面积 S= = = ; 海伦公式: ) (3)掌握三角形内角的诱导公式:
sin( A ? B) ? sin C , cos(A ? B) ? ? cosC , tanC ? ? tan(A ? B), C A? B C A? B cos ? sin , sin ? cos 2 2 2 2

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 ) D.
) D、等腰或直角三角形

7、若 3 sin x ? cos x ? sin x ? 3 cos x ,且 x ? (0,? ) ,则 x =(
7? ? C. 12 12 sin B ? sin C 8、 ?ABC 中, sin A ? ,则 ?ABC 是( cos B ? cos C

A.

5? 12

B.

? 15

A、等腰三角形

B、等腰直角三角形

C、直角三角形

一、选择题.(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的答案中, 只有一项是正确的,请将正确的答案填在第Ⅱ卷答题表内.) 1、在 ?ABC中若a ? 2b cosC, 则 ?ABC 是(
A、等腰三角形 C、直角三角形 B、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形 )

2、在 ?ABC 中,已知 a ? 2 , c ? 2 , A ? 30? ,那么 B 等于( A. 15 ? B. 15 ? 或 105 ? C. 45 ?



D. 45 ? 或 135 ? )
5 5

3、已知 ?ABC 中, A ? 45? , b ? 4 , c ? 2 ,那么 cos B 的值是( A.
3 10 10

二、填空题.(本大题共 4 小题,每题 4 分,共 16 分) 11、已知 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3 : 4 : 5 ,那么 C 等于__________。 B ? 30? , C ? 120 ? , 12、 在 ?ABC 中, 已知 a ? 50 , 那么 BC 边上的高的长度是______。 13、已知平行四边形 ABCD 中, B ? 120 ? , AB ? 6 , BC ? 4 ,则 AC=__________, BD=__________。 14、 ?ABC 中,若 b=2a , B=A+60°,则 A= 。 三、解答题.(本大题共 4 小题,共 44 分; ) 15、 (14 分)如图所示,两条相交成 60°角的直路 MN、TR 相交于点 O,甲、乙 两人分别在 OM、OT 上,起初甲离O点 3km,乙离 O 点 1km,后来两人同时以每小时 4km 的速度,甲 沿 MN 方向,乙沿 RT 方向步行。 (1)起初两人的距离是多少? (2)用含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离。 (3)经多少时间两人的距离最短?

B. ?

3 10 10

C.

5 5

D. ?

16.已知△ABC 的外接圆半径为 1,且角 A、B、C 成等差数列,若角 A、B、C 所对的边长分别为 2 2 a,b,c,求 a +b 的取值范围.

(2) 设 H 为 ?ABC 的垂心,且 BH ? BC ? 6 ,求 ?ABC 外接圆半径 R 的最小值. ( 答: (1)

???? ??? ?

B ? 60? ;(2) 2

)

17. ?ABC 中, 内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 已知 a、b、c 成等比数列, 且 cos B ? (Ⅰ)求 cot A ? cot C 的值; (Ⅱ)设 BA ? BC ?

3 . 4

20. 已 知 二 次 函 数

f(x) 对 任 意

x ∈ R 都 有

f(1-x)=f(1+x) 成 立 , 设 向 量

??? ? ??? ?

3 ,求 a ? c 的值. 2

( 答: (Ⅰ)

4 7 ; (Ⅱ)3 ) 7

? ? 1 a ? (sin ? ,2), b ? (2 sin ? , ), 2 ? ? ? ? f (a ? b ) ? f (c ? d ) 的解集

? ? c ? (cos? ,1), d ? (1,2) 当 ? ? ?0, ? ? 时 , 求 不 等 式

18. ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C (I)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? (sin A,cos 2 A), n ? (4k ,1)(k ? 1), m ? n 的最大值为 5 ,求 k 的值.

??

?

?? ?

( 答: (I)

B?

?
3

;(Ⅱ)

k=

3 ) 2

19.已知函数 f ( x) ? ?2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? k , x ? ?0, (I)当 f ( x ) 的最大值为 3 时,求实数 k 及相应的 x 值;

? ?? . ? 2? ?

四、附加题 21、 (10 分)△ABC 中已知∠A=30°,cosB=2sinB- 3 sin C ,①求证:△ABC 是等 腰三角形。②设 D 是△ABC 外接圆直径 BE 与 AC 的交点,且 AB=2,求:
AD 的值 CD

(Ⅱ)若方程 f ( x) ? 0 恰有两个不等实根,求实数 k 的取值范围.

( 答: (I) k ? ?2, x ?

?
6

; (Ⅱ)

0 ? k ? 1)
2 2 2 20. ?ABC 中, sin A ? sin C ? sin B ? sin A sin C .

(1) 求角 B 的度数;

一、选择题:A B D C B、D A C C D 二、填空题:11、90° 12、 25 3 三、解答题: 15、解:由题意可设:B=4k , C=5k 13、AC= 2 19 , BD ? 2 7 18、解:如图所示, 14、30°

D B N C O

T

(1)、在?ABC中,?AOB ? 60? , OA ? 3, OB ? 1 ? AB ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 ? cos60 ? 7 km
2 2 ?

A

M

∴ 4k+5k=180°-45° ∴k=15° 又 C>A>B ∴c=10 ∴2R=
c 10 ? ? sin C sin 75? 10 6? 2 4

∴B=60°, C=75°

? 起始两人的距离是 7 km.

?R ? 5 6 ? 2

?

?

(2) 、设甲、乙两人经 t 小时后的位置分别为 C、D, 则:

AC ? 4t , 当0 ? t ? 当t ?

BD ? 4t

R

2 3 时, CD ? (3 ? 4t ) 2 ? (1 ? 4t ) ? 2(3 ? 4t )(1 ? 4t ) cos 60? 4



b c ? 得,b ? sin B sin C

10 ?

3 2 ? 5 3( 6 ? 2 ) 6? 2 4

2 3 时, CD ? (4t ? 3) 2 ? (1 ? 4t ) ? 2(4t ? 3)(1 ? 4t ) cos120? 4 2

综上可得: CD ? 48t 2 ? 24t ? 7

? CD ? 48t 2 ? 24t ? 7

? S? ?

1 bc sin A ? 75 ? 25 3 2

b sin A 16、解:由题意得: sin B ? ? a

4 3?

1 2 ? 3, 4 2

2 1 1 (3)、 由(2)可知, CD ? 48(t ? ) 2 ? 4, 当t ? 时, CD 最短为2km. 4 4 答:在第 15分钟末,两人的距离最 短。

∴B=60°或 120°

19、.①? B ? C ? 150 °

?cos B ? 2 sin B ? 3 sin C ? 2 sin B ? 3 sin(150? ? B)
?t g B ? 2? 3
? B ? 75?
从而 C ? 75
?

1° 当 B=60°时, C=90°,c= 4 2 ? (4 3 ) 2 ? 8
2° 当 B=120°时,C=30°,c=a=4

A

1 3 ? 2 sin B ? 3 ( cos B ? sin B) 2 2

?
B 接球点

△ABC 是顶角为 A 的等腰三角形。

17、解:由题意可假设游击手能接着球, (如 s 图所示) 设从击出球到接着球的时间为 t,球速为 v,则
v ∠AOB=15°,OB=vt, AB≤ t , 4
O 本垒

②在△ABC 中由正弦定理

BC 2 ? ? sin 36 sin 75 ?

? BC ? 6 ? 2 ?CD ? 3 ? 3

在△BCD 中由正弦定理

CD 6? 2 ? ? sin 60 sin 45?

vt OB ? sin 15? 6? 2 ? ? ? 6 ? 2 ?1 vt AB 4 4 ? ?OAB不存在,故假设不成立 。 ? 游击手不能接着球。 在?AOB中, sin ?OAB ?

? AD ? 2 ? CD ? 3 ? 1

?

AD 3 ?1 3 ? ? DC 3 ? 3 3


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