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2016高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题五 解析几何 第16讲 圆锥曲线的概念与性质课件 文


?第一部分

专题突破篇

专题五 解析几何

第16讲 圆锥曲线的概念与性质

高考真题体验

[主干整合] 1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 |PE1|+|PF2| =2a(2a>|F1F2|) x y + =1 a2 b2 (a>b>0)
2 2

双曲线 ||PF1|-|PF2||= 2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

抛物线 |PF|=|PM|点 F 不在直线 l 上, PM⊥l 于 M y2=2px (p>0)

定义

标准 方程

名称 图象

椭圆

双曲线

抛物线

几 何 性

离心 率 =

c e= a b2 1- 2 a =

c e= a b2 1+ 2 a (e>1) b y=± x a e=1

(0<e<1)

质 渐近 线

2.直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求,根据韦达定理,进行整体代入,即当直线与圆锥

曲线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)时,

|AB|= 1+k2· |x1-x2|=

1 1+ 2 |y1-y2|,而|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2 k

.

3.抛物线的过焦点的弦长 抛物线 y =2px(p>0)的过焦点 AB, 若 A(x1, y1), p2 2 x x = , y y =- p 1 2 1 2 B(x2,y2),则 ,弦长 |AB|=x1+x2+p . 4 同样可得抛物线 y2=-2px,x2=2py,x2=-2py 类似的性质.
2

?p ? ? F?2,0? ?的弦 ? ?

[真题再现] 1.(2015· 全国卷Ⅰ)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率 1 为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的 2 准线与 E 的两个交点,则|AB|=( A.3 C.9 B.6 D.12 )

答案:B

解析:抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),∴ 椭圆中 c=2, c 1 又 = ,∴ a=4,b2=a2-c2=12, a 2 x2 y2 从而椭圆方程为 + =1. 16 12 ∵ 抛物线 y2=8x 的准线为 x=-2, ∴ xA=xB=-2, 将 xA=-2 代入椭圆方程可得|yA|=3, 由图象可知|AB|=2|yA|=6.故选 B.

x2 y2 2.(2015· 福建卷)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 a b F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 4 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 5 的离心率的取值范围是( 3 A.(0, 2 3 C.[ ,1 ) 2 )

3 B.(0, ] 4 3 D. [ ,1) 4

答案:A

解析:根据椭圆的对称性及椭圆的定义,可得 A,B 两点到 椭圆左、右焦点的距离为 4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以 a=2.又 d |3×0-4×b| 4 c = 2 所以 1≤b<2, 所以 e= = 2 ≥5, a 3 +?-4? 3 因为 1≤b<2,所以 0<e≤ ,故选 A. 2 b2 1- 2= a b2 1- . 4

3. (2015· 湖北卷)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和 虚半轴长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( )

A.对任意的 a,b,e1<e2 B.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 C.对任意的 a,b,e1>e2 D.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2
答案:B

解析:由题意 e1=

a2+b2 = a2

?b? ?2 1+? ?a? , ? ?

双曲线 C2 的

实半轴长为 a+m,虚半轴长为 b+m, 离心率 e2= ?a+m?2+?b+m?2 = ?a+m?2
? ?

?b+m? ?2 1+? ?a+m? . ? ?

b+m b m??a-b?? 因为 - = ,且 a>0,b>0,m>0,a≠b, a+m a a???a+m??? b+m b m??a-b?? 所以当 a>b 时, ?? > . ?>0,即 ? a a + m a?a+m? b+m b 又 >0, >0, a a+m
? ?

?b+m? ?b? ?b+m? ? ? 2 ? ? 2, ? ?2 所以由不等式的性质依次可得 ? > 1 + ? ?a? ?a+m? >1 + a + m ? ? ? ? ? ? ?b? ? ?2 ?a? , ? ?

所以

?b+m? ?2 1+? ?a+m? > ? ?
?

?b? ?2 1+? ?a? ,即 e2>e1; ? ?
?

m??a-b?? 同理,当 a<b 时, ?? ?<0,可推得 e2<e1. a?a+m?? 综上,当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2.

x2 y2 4.(2015· 山东卷)过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦 a b 点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 P.若点 P 的横坐标 为 2a,则 C 的离心率为________.

答案:2+ 3

b 解析:如图所示,不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为 , a b 又直线 l 过右焦点 F(c,0),则直线 l 的方程为 y= (x-c).因为点 a 4a2 y2 P 的横坐标为 2a, 代入双曲线方程得 2 - 2=1, 化简得 y=- 3 a b b 或 y= 3b(点 P 在 x 轴下方, 故舍去), 故点 P 坐标为(2a, - 3 b c b),代入直线方程得- 3b= (2a-c),化简可得离心率 e= =2 a a + 3.

1 2 5.(2015· 浙江卷)如图,已知抛物线 C1:y= x ,圆 C2:x2 4 +(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t>0)作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别 与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点.

(1)求点 A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称 轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.

解:(1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方 ? ?y=k?x-t?, 程为 y=k(x-t).由? 1 2 消去 y,整理得 x2-4kx+4kt y= x ? ? 4 =0,由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t.因此,点 A 的坐标为 (2t,t2). 设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0).由题意知, y x ? ? 0=- 0+1, 2t 点 B,O 关于直线 PD 对称,故? 2 ? ?x0t-y0=0,

? ?x0= 2t 2, 1+t ? 解得? 2 2 t ?y = 2, 0 ? 1 + t ?

2t 2t2 因此,点 B 的坐标为( 2, 2) 1+t 1+t

(2)由(1)知|AP|=t· 1+t2, 直线 PA 的方程为 tx-y-t2=0. t2 点 B 到直线 PA 的距离是 d= 2. 1+t 1 t3 设△PAB 的面积为 S(t),则 S(t)= |AP|· d= . 2 2

[感悟高考] 高考对本节内容的考查以圆锥曲线的定义、方程、几何性质 为主,同时也会以直线与椭圆相交为背景,着重考查综合运用, 以解答题的形式出现. 2016 年高考仍要重视数形结合思想、 方程思想、 函数思想和 化归思想在解题中的指导作用, 对运算能力的培养也应予以足够 的重视.

热点考向突破

考向一 圆锥曲线的定义、方程 [典例 1] x2 y2 (1)(2015· 长春一模)若椭圆 C: + =1 的焦点为 9 2 )

F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且|PF2|=4,则∠F1PF2 等于( A.30° B.60°
2

C.120°
2

D.150°
2

1 (2)已知抛物线 x =2py(p>0)的焦点与双曲线 x -y =- 的 2 一个焦点重合,且在抛物线上有一动点 P 到 x 轴的距离为 m,P 到直线 l: 2x-y-4=0 的距离为 n, 则 m+n 的最小值为________.

[审题突破] ∠F1PF2;

(1)由椭圆定义,求出|PF1|,再由余弦定理求出

(2)抓住抛物线的定义.

(1)答案:C 解析:由题意得 a=3,c= 7,所以|PF1|在△F2PF1 中, 42+22-?2 7?2 1 由余弦定理可得 cos ∠F1PF2= =- . 2 2×4×2 又因为 cos∠F1PF2∈(0° ,180° ), 所以∠F1PF2=120° .

(2)答案: 5-1 解析:易知 x2=2py(p>0)的焦点为 F(0,1),故 p=2, 因此抛物线方程为 x2=4y. 根据抛物线的定义可知 m=|PF|-1, 设|PH|=n(H 为点 P 到直线 l 所作垂线的垂足), 因此 m+n=|PF|-1+|PH|. 易知当 F,P,H 三点共线时 m+n 最小. |-1-4| 因此其最小值|FH|-1= -1= 5-1. 5

规律方法 1.对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部 分:比如椭圆的定义中要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中 要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|, 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的 距离相等的转化. 2.注意数形结合,画出合理草图.

[变式训练] 1.(2015· 河北唐山一模)已知圆 C1:x2+2cx+y2=0,圆 C2:
2 2 x y x2-2cx+y2=0,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),c>0,且 c2=a2-b2. a b

若圆 C1,C2 都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是(
?1 ? ? A.?2,1? ? ? ? ? C.? ? ? ? 2 ? ,1 ? 2 ? ? 1? ? B.?0,2? ? ? ? ? D.? ?0, ?

)

2? ? 2? ?

答案:B

解析:圆 C1,C2 都在椭圆内等价于圆 C2 与 x 轴的右交点 ? c≤a, ?22 (2c,0) ,最高点 (c , c) 在椭圆内部,∴只需 ?c c2 2+ 2≤1, ? ?a b 1 ? ?e≤ , 1 2 ? 结合 e∈(0,1),可得 0<e≤ . 2 4 2 ? ?e -3e +1≥0, 可得

x2 y2 2. (2015· 天津卷)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一条渐 a b 近线过点(2, 3),且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 7x 的准 线上,则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 21 28 x2 y2 C. - =1 3 4 ) x2 y2 B. - =1 28 21 x2 y2 D. - =1 4 3

答案:D

b 解析: 由双曲线的渐近线 y= x 过点(2, a ①

3), 可得

b 3= ×2. a

由双曲线的焦点(- a2+b2,0)在抛物线 y2=4 7x 的准线 x =- 7上,可得 a2+b2= 7.② 由①②解得 a=2,b= 3, x2 y2 所以双曲线的方程为 - =1. 4 3

考向二 圆锥曲线的性质 [典例 2] x2 y2 (1)(2015· 重庆卷)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b

的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B, C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a+ a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的 取值范围是( )

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(- 2,0)∪(0, 2) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

(2)(2015· 浙江卷)如图, 设抛物线 y2=4x 的焦点为 F, 不经过 焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线 上,点 C 在 y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )

|BF|-1 A. |AF|-1 |BF|+1 C. |AF|+1

|BF|2-1 B. |AF|2-1 |BF|2+1 D. |AF|2+1

(1)答案:A x2 y2 解析:由 2- 2=1 可知 A(a,0),F(c,0). a b

易得

2? 2? ? ? b b ? ? ? c , c ,- B? , C ? ? ? ?. a a ? ? ? ?

b2 a b2 ∵ kAB= = , c-a a?c-a? a?a-c? ∴ kCD= . b2 b2 a?a-c? a b2 ∵ kAC= = ,∴ kBD=- . 2 b a-c a?a-c? a?a-c? b2 ∴ lBD:y- =- (x-c), a b2 a?a-c? a?a-c?· c b2 即 y=- x+ + , b2 b2 a

b2 a?a-c? lCD:y+ = (x-c), a b2 a?a-c? ac?a-c? b2 即 y= x- - . b2 b2 a b4 ∴ xD=c+ 2 . a ?a-c? ∴ 点 D 到 BC
4 ? ? b ? ? 的距离为? 2 ?. a ? a - c ? ? ?

b4 ∴ 2 <a+ a2+b2=a+c, a ?c-a? ∴ b4<a2(c2-a2)=a2b2,

2 b ∴ a2>b2,∴ 0< 2<1. a

b b ∴ 0< <1 或-1< <0. a a (2)答案:A

解析:

由图形可知,△BCF 与△ACF 有公共的顶点 F,且 A,B, |BC| C 三点共线, 易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于 .由抛物 |AC| 线方程知焦点 F(1,0),作准线 l,则 l 的方程为 x=-1. ∵ 点 A,B 在抛物线上,过 A,B 分别作 AK,BH 与准线垂 直,垂足分别为点 K,H,且与 y 轴分别交于点 N,M.由抛物线 定义,得 |BM|=|BF|-1,|AN|=|AF|-1. 在△CAN 中,BM∥AN, |BC| |BM| |BF|-1 ∴ = = . |AC| |AN| |AF|-1

规律方法 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是 确立一个关于 a,b,c 的方程或不等式,再根据 a,b,c 的关系 消掉 b 得到 a, c 的关系式, 建立关于 a, b, c 的方程或不等式. 要 充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

[变式训练] x2 y2 1 . (2015· 日照一模 ) 已知 O 为坐标原点,双曲线 2 + 2 = a b 1(a>0,b>0)的右焦点为 F,以 OF 为直径作圆交双曲线的渐近线 → → → 于异于原点的两点 A,B,若(AO+AF)· OF=0,则双曲线的离心 率 e 为( A.2
答案:C

) B.3 C. 2 D. 3

→ → → 解析:设 OF 的中点为 C,则AO+AF=2AC,由题意得, → → 2AC· OF=0, ∴AC⊥OF,∴AO=AF, 又∠OAF=90° ,∴∠AOF=45° , b ∴ =tan 45° =1, a 则双曲线的离心率 e=
?b? ?2 1+? ?a? = ? ?

2,故选 C.

2.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)已知 F 为双曲线 C:x2-my2= 3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( A. 3 C. 3m
答案:A

)

B.3 D.3m

x2 y2 解析:双曲线 C 的标准方程为 - =1(m>0),其渐近线方 3m 3 程为 y=± 3 m x=± x,即 my=± x,不妨选取右焦点 3m m

F( 3m+3,0)到其中一条渐近线 x- my=0 的距离求解,得 d 3m+3 = = 3.故选 A. 1+m

考向三 直线与圆锥曲线 x2 y2 [典例 3] (2015· 威海测试)过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 a b A 作斜率为 2 的直线,与椭圆的另一个交点为 B,与 y 轴的交点 → 6→ 为 C,已知AB= BC. 13 (1)求椭圆的离心率; (2)设动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P,且与 直线 x=4 相交于点 Q,若 x 轴上存在一定点 M(1,0),使得 PM⊥ QM,求椭圆的方程.

解:(1)∵A(-a,0),设直线方程为 y=2(x+a),B(x1,y1), 令 x=0,则 y=2a,∴C(0,2a), → → ∴AB=(x1+a,y1),BC=(-x1,2a-y1), 6 6 → 6→ ∵AB= BC,∴x1+a= (-x1),y1= (2a-y1),整理得 13 13 13 13 12 x1=- a,y1= a, 19 19 ∵点 B
?13? ?12? a2 ?2 ? ?2 在椭圆上,∴? 2=1, ?19? +?19? · ? ? ? ? b

b2 3 ∴ 2= , a 4 a2-c2 3 3 3 2 2 ∴ 2 = ,即 1-e = ,即 1-e = , a 4 4 4 1 ∴e= . 2 b2 3 (2)∵ 2= ,可设 b2=3t,a2=4t, a 4 ∴椭圆的方程为 3x2+4y2-12t=0,
2 2 ? ?3x +4y -12t=0, 由? ? ?y=kx+m,



(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0, ∵动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P, ∴Δ=0,即 64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12t)=0, 整理得 m2=3t+4k2t, 8km 4km 设 P(x1,y1)则有 x1=- 2 =- 2, 2?3+4k ? 3+4k 3m y1=kx1+m= 2, 3+4k
? 4km 3m ? ? ? ∴P?- 2, 2?, 3+4k ? ? 3+4k

又 M(1,0),Q(4,4k+m), ∵x 轴上存在一定点 M(1,0),使得 PM⊥QM,
? 4km 3m ? ? ? ∴?1+ (-3,-(4k+m))=0 2,- 2?· 3 + 4 k 3 + 4 k ? ?

恒成立,

整理得 3+4k2=m2. ∴3+4k2=3t+4k2t 恒成立,故 t=1. x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3

规律方法 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法; 解决直线与圆锥 曲线问题的通法是联立方程,利用根与系数的关系,设而不求思 想, 弦长公式等简化计算; 涉及中点弦问题时, 也可用“点差法” 求解.

[变式训练] x2 y2 (2015· 天津卷)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(- a b 3 c,0),离心率为 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被 3
2 b 4 3 2 2 圆 x +y = 截得的线段的长为 c,|FM|= . 4 3

(1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围.

c2 1 解:(1)由已知,有 2= ,又由 a2=b2+c2,可得 a2=3c2, a 3 b2=2c2. 设直线 FM 的斜率为 k(k>0), 则直线 FM 的方程为 y=k(x+c).
? 由已知,有? ? ? ? ? ? ? |kc| ? 3 ?2 ?c ?2 ?b?2 +?2? =?2? ,解得 k= . 3 k2+1? ? ? ? ? ?

x2 y2 3 (2)由(1)得椭圆方程为 2+ 2=1, 直线 FM 的方程为 y= 3c 2c 3 (x+c), 两个方程联立,消去 y,整理得 3x2+2cx-5c2=0, 5 解得 x=- c 或 x=c. 3 因为点 M 在第一象限,所以点 M 由|FM|= ?c+c?
2

? 2 3 ? ? ? 的坐标为?c, c?. 3 ? ?

?2 3 ? ? ?2 4 3 +? c-0? = 3 ,解得 3 ? ?

c=1,

x 2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 3 2

y (3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t,得 t= , x+1 即 y=t(x+1)(x≠-1), ? t?x+1?, ?y= 与椭圆方程联立?x2 y2 + =1, ? 3 2 ? 消去 y,整理得 2x2+3t2(x+1)2=6. 又由已知,得 t= 6-2x2 2> 2, 3?x+1?

3 解得- <x<-1,或-1<x<0. 2 y 设直线 OP 的斜率为 m,得 m= , x 即 y=mx(x≠0),与椭圆方程联立, 2 2 整理可得 m = 2- . x 3
2

①当 m=

? 3 ? ? x∈?-2,-1? ?时,有 ? ?

y=t(x+1)<0,因此 m>0,于是

? 2 2 3? 2 2 ? ? . , 2- ,得 m∈? x 3 3 ? ? 3 ?

②当 x∈(-1,0)时,有 y=t(x+1)>0,因此 m<0, 于是 m=-
? 2 2 2 3? ? ? . 2- ,得 m∈?-∞,- x 3 3 ? ? ?

2 3 2 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是(-∞,- )∪( , 3 3 2 3 ). 3


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