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2014届江西省新课程高三上学期第二次适应性测试理科数学试卷(带解析)


2014 届江西省新课程高三上学期第二次适应性测试理科数学试卷(带解析) 一、选择题 1.设集合 A ? ?3, 2 ln x? , B ? ? x, y? ,若 A ? B ? ?0? ,则 2x? y 的值是( ) A. 1 B. 2 C. 0 D.

1 e

2.已知 f ? x ? ? sin x ? cos x ,则 f ?

?? ? ? 的值是( ) ? 12 ?
C. ?

A. ?

6 2
? ?

B.

1 2
? ? ?

2 2

D.

2 2

3.已知 a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? 19 ,则 a ? b ? ( ) A.

?

13
?

B.

15

C.

17

D.

7

4.设 a ? ? A. 30?

? ? 1? ?3 ? ? ? ,1 ? sin ? ? , b ? ?1 ? cos ? , ? ,且 a / / b ,则锐角 ? 为( ) 3? ? ?2 ?
B. 45? C. 60? D. 75?

5.在 ? ABC 中, a , b , c 分别是 ?A , ?B , ?C 的对边,已知 a , b , c 成等比数 列,且 a 2 ? c2 ? ac ? bc ,则

c 的值为( ) b sin B
C.

A.

1 2

B.

3 2

2 3 3

D.

3

6.实数 x 满足 log 2 x ? 4sin 2 ? ? 1 ,则 x ? A. 8.5 B. 8.5 或 7.5

1 ? x ? 8 的值为( ) 2
C. 7.5 D. 不确定

7.已知等差数列 ? an ? 的公差和首项都不等于 0,且 a2 , a4 , a8 成等比数列,则

a3 ? a6 ? a9 ?( ) a4 ? a5
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 8.已知公差不为零的等差数列 ? an ? 与公比为 q 的等比数列 ?bn ? 有相同的首项,同时满 足 a1 , a4 , b3 成等比, b1 , a3 , b3 成等差,则 q ? ( )
2

A.

1 4

B.

1 6

C.

1 9

D.

1 8

9.已知正三角形 OAB 中,点 O 为原点,点 B 的坐标是 ? ?3, 4 ? ,点 A 在第一象限,向 量 m ? ? ?1, 0 ? ,记向量 m 与向量 OA 的夹角为 ? ,则 sin ? 的值为( )

??

??

??? ?

试卷第 1 页,总 4 页

A. ?

4?3 3 10

B.
2

4?3 3 10

C.

3 3?4 10

D.

4?3 3 10

10.对正整数 n ,有抛物线 y ? 2 ? 2n ? 1? x ,过 P ? 2n, 0 ? 任作直线 l 交抛物线于 An ,

???? ???? ? ? OAn ? n OB Bn 两点, 设数列 ? an ? 中,a1 ? ?4 , an ? 且 则数列 ? an ? , ? 其中n ?1 n ? N ? , n ?1
的前 n 项和 Tn ? ( A. 4n ) B. ?4n C. 2n ? n ? 1? D. ?2n ? n ? 1?

二、填空题 11.将一列有规律的正整数排成一个三角形矩阵(如图):根据排列规律,数阵中第 12 行的从左至右的第 4 个数是_______.

12.已知函数 f ? x ? ? x a ? x ? x ? R ? ,且 f ? 2 ? ? 0 ,则函数 f ? x ? 的单调递减区间为 _____________. 13.已知 ? , ? ? ?

?? 4 7 ?? ? 3? ? ? ? , ? ? ,sin ?? ? ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? ? ? 的 4? 5 4? 25 ? 4 ? ? ?
3 sin ? ? cos ? 的 取 值 范 围 是 D , x ? D , 则 函 数 ,

值=________________.

? ? 14 . 已 知 c o s ? s i n ?
y ? log 1
9

2x ? 3 的最小值为___________. 4x ? 7

15.已知 f ? x ? ? ? x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3?? ? x ? n ? , ? n ? 2, n ? N ? ,其导函数为 f ? ? x ? , 设 an ?

f ? ? ?2 ? f ? 0?

,则数列 ? an ? 自第 2 项到第 n 项的和 S ? _____________.

三、解答题 16.如图,在底角为 60? 的等腰梯形 ABCD 中,已知 DC ?

????

? 1 ??? AB , M , N 分别为 CD , 2

??? ? ???? ? ? BC 的中点.设 AB ? a , AD ? b .

试卷第 2 页,总 4 页

(1)试用 a , b 表示 AM , AN ; (2)若 a ? 4 ,试求 AM ?AN 的值. 17.已知向量 m ? ? cos x,sin x ? 和 n ?

?

?

???? ?

????

?

???? ???? ?

??

?

?

2 ? sin x, cos x ,

?

(1) 设 f ? x ? ? m ? n , 写 出 函 数 f ? x ? 的 最 小 正 周 期 , 并 指 出 该 函 数 的 图 像 可 由

?? ?

y ? sin x ? x ? R ? 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?
(2)若 x ? ?? , 2? ? ,求 m ? n 的范围. 18.已知 f ? x ? ? a ? b ? 1 ,其中向量 a ? ? sin 2 x, 2 cos x ? ,b ? 在 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a , b , c . (1)如果三边 a , b , c 依次成等比数列,试求角 B 的取值范围及此时函数 f ? B ? 的值 域; (2) 在 ? ABC 中,若 f ? 求 b 的值. 19.设 x ? ? 0, ?? ? ,将函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? 在区间 ? 0, ?? ? 内的全部极值点按
2

?? ?

? ?

?

?

?

3, cos x ,? x ? R ? .

?

??? ??? ? ? ? A? ? 3 ,边 a , b , c 依次成等差数列,且 AB ? CA ? ?1 , ? ?4?

从小到大的顺序排成数列 ? an ? n ? N * . (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2n an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 20.已知函数 f ? x ? ?

?

?

1 2 x ? ax ? a ln ? x ? 1?? a ? R ? . 2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 的极值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间; (3)是否存在实数 a ? a ? ?1? , 使函数 f ? x ? ? a ? a ln ? ?a ? 在 ? 0, ?? ? 上有唯一的零点, 若有,请求出 a 的范围;若没有,请说明理由. 21.已知数列 ? an ? 满足 a1 ?

1 2 1 n , ? ? ? ?1? ? n ? N * ? . 2 an ?1 an

试卷第 3 页,总 4 页

(1)求证:数列 ?

?1 n? ? ? ?1? ? ? n ? N * ? 是等比数列; ? an ?

(2)设 bn ?

1 n ? N * ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ; 2 ? an

(3)设 cn ? ?2n an an ?1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

1 (其中 n ? N * ). 3

试卷第 4 页,总 4 页

2014 届江西省新课程高三上学期第二次适应性测试理科数学试卷(带解析)参考答案 1.B 【解析】 试题分析: 因为 A ? B ? ?0? , 所以 0 ? A , 0 ? B , 2l x ? , 且 则 n 所以 y ? 0 , 0 解得 x ? 1 , 所以 2x ? y ? 21?0 ? 2 . 考点:1、元素与集合的关系;2、集合的基本运算. 2.C 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

f ? x ? ? sin x ? cos x

?? ? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?







2 ?? ? ?? ?? ? ?? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? . 2 ? 12 ? ? 12 4 ? ? 6?
考点:1、三角函数的积化和差公式的应用;2、特殊角的三角函数值. 3.D 【解析】 试题分析:由 a ? b ? 19 平方,得 a ? b ? 2ab ? 19 ,将 a ? 2 , b ? 3 代入此式得

?

?

?2

?2

??

?

?

?? ? ? ab ? 3 ,所以 a ? b ?

?a ? b?

? ?

2

? 2 ?2 ?? ? a ? b ? 2ab ? 7 .

考点:求平面向量的数量积、模. 4.B 【解析】 试题分析:由向量平行的充要条件知

3 1 ? ? ?1 ? sin ? ??1 ? cos ? ? ? 0 , 2 3

1 n o 化简得 sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? ? 0 ①, t ? sin ? ? cos ? , s ?s 设 则i c 2
代入①式得

1? t2 ?? , 2

t 2 ? 2t ? 0







t ?0



t ? ?2





?













?? ? ? t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? ? ? ? ? ?1,1? ,那么 t ? 0 ,此时 sin ? ? cos ? , ? ? . 4? 4 ?
考点:1、平面向量共线的坐标表示;2、三角函数的积化和差公式的应用. 5.C 【解析】 试题分析:因为 a , b , c 成等比数列,所以 b 2 ? ac . 又 a 2 ? c2 ? ac ? bc ,∴ b2 ? c2 ? a 2 ? bc .

答案第 1 页,总 11 页

在 ? ABC 中,由余弦定理得: cos A ? 由正弦定理得 sin B ?

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? ,那么 ?A ? 60? . 2bc 2bc 2

b sin A ,又因为 b 2 ? ac , ?A ? 60? , a

所以

c ac 1 2 3 . ? 2 ? ? b sin B b sin 60? sin 60? 3

考点:1、等比数列的性质;2、正弦定理和余弦定理的应用. 6.C 【解析】 试题分析:由已知得 log 2 x ? 4sin 2 ? ? 1 ? 1 ? 2cos 2? ? [?1,3] ,所以 x ? [ ,8] , 所以 x ?

1 2

1 1 ? x ? 8 ? x ? ? 8 ? x ? 7.5 . 2 2

考点:1、三角函数的恒等变换及化简求值;2、由对数函数的值域求自变量 x 的取值集合. 7.A 【解析】 试 题 分 析 : 设 公 差 为 d , 因 为 a2 , a4 , a8 成 等 比 数 列 , 所 以 a4 2 ? a2 ? a8, 即

a4 2 ? ( a4 ? 2 d ) ? (a4 ? 4d )







a4 ? 4d
)
4







a3 ? a ? a 6 3a 9 3 a4 ? ( d 6 18d 2 ? ? ? ? 2. a4 ? a 2a ? d 5a ? a 4 59d

考点:1、等差数列的通项公式;2、等比数列的性质. 8.C 【解析】 试题分析:设数列的首项为 a ,等差数列 ? an ? 的公差为 d ,

?2(a ? 2d ) ? a ? aq 2 ?? (1) ?2a3 ? b1 ? b3 ,将 a , d , q 代入得 ? ,化简得 ? 2 2 2 ? a4 ? a1 ? b3 ? (a ? 3d ) ? a ? aq ?? (2)
9 1 (a ? 3d )2 ? a(a ? 4d ) ,解得 a ? ? d (d ? 0) ,代入(1)式得 q 2 ? . 2 9
考点:1、等差数列的通项公式;2、等比数列的性质. 9.D 【解析】 试 题 分 析 : 设 向 量 OB 与 x 轴 正 向 的 夹 角 为 ? , 则 ? ? ? ? ? ?

??? ?

?
3

?

4? ,且有 3

4 3 sin ? ? , cos ? ? ? , 5 5

答案第 2 页,总 11 页

则 sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin( ? ?

?

1 3 4 1 3 3 4?3 3 . ) ? sin ? ? cos ? ? ? ? (? ) ? ? 3 2 2 5 2 5 2 10

考点:1、平面向量的夹角;2、三角函数和差化积公式;3、求任意角的三角函数值. 10.D 【解析】 试 题 分 析 : 设 直 线 方 程 为 x ? ty ? 2n , 代 入 抛 物 线 方 程 得

y 2 ? 2 ? 2n ? 1? ty ? 4n ? 2n ? 1? ? 0 ,
设 An ? xn1 , yn1 ? , B ? xn 2 , yn 2 ? ,则

???? ???? ? ? OAn ? OBn ? xn1 xn 2 ? yn1 yn 2 ? (t 2 ? 1) yn1 yn 2 ? 2nt ? yn1 ? yn 2 ? ? 4n 2 ①,
由根与系数的关系得 yn1 ? yn 2 ? 2 ? 2n ? 1? t , yn1 yn 2 ? ?4n ? 2n ? 1? , 代入①式得 OAn ? OBn ? ?4n(2n ? 1) t 2 ? 1 ? 4n(2n ? 1)t 2 ? 4n 2 ? 4n ? 4n 2 ,

???? ???? ? ?

?

?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? OAn ? OB n ? OAn ? OB n ? ? 故 ,故数列 ? ? ?4n ( n ? 1, n ? N ) ? 的前 n 项和 ?2n(n ? 1) . n ?1 ? n ?1 ? ? ?
考点:1、直线的方程;2、方程的根与系数的关系;3、平面向量的数量积. 11.208 【解析】 试题分析:按数字出现的先后顺序可知,这个三角矩阵的数字是首项为 1,公差为 3 的等差 数 列 , 其 通 项 公 式 为 : an ? 1 ? 3 ? n ? 1? ? 3n ? 2 , 前 11 行 共 有

1 ? 1 2 1 个数,因此第 12 行的从左至右的第 4 个数是全体正数 ?1 1 ? ?6 6 2 中的第 66 ? 4 ? 70 个,第 70 个正数是 3 ? 70 ? 2 ? 208 . 1? 2 ? 3 ? ? ? 4
考点:等差数列的前 n 项和的应用. 12. (1, 2) 【解析】

?( x ? 1) 2 ? 1, x ? 2 ? 试题分析:由 f (2) ? 0 得 a ? 2 . 所以 f ( x) ? x 2 ? x ? ? , 2 ? ?( x ? 1) ? 1, x ? 2 ?
由图像可知单调递减区间为 (1, 2) .

答案第 3 页,总 11 页

考点:分段函数的图像和单调性. 13. ?

3 5 3? ? ? 3? ? 3? ? , ? ? ,所以 ? ? ? ? ( , 2? ) , ? ? ? ( , ) , 2 4 2 4 ? 4 ?

【解析】 试题分析:因为 ? , ? ? ? 则 cos(? ? ? ) ? 则 sin(? ?

? ? ? ) ? sin[(? ? ? ) ? ( ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? cos(? ? ? )sin( ? ? ) 4 4 4 4 7 3 24 4 75 3 ? ? ? (? ) ? ? ? ? ?? . 25 5 25 5 125 5
?
1 2

24 ? 3 , cos( ? ? ) ? ? , 25 4 5

考点:1、同角三角函数值的互化;2,、三角函数的和差化积公式. 14.

【解析】 试题分析:设 u ? sin ? ? cos ? , 则 u2 ?

? 3?

2

? ? sin ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? 2 ? 2sin ?? ? ? ? ? 4 ,
2 2

所以 u 2 ? 1 ,即 ?1 ? u ? 1 ,所以 D ? ? ?1,1? . 设t ?

2 x ? 3 ,因为 ?1 ? x ? 1 ,所以 1 ? t ? 5 , x ?

t 2 ?1 2x ? 3 代入 M ? 得 4x ? 7 2

M?

1 1 2x ? 3 t 1 ,由于 1 ? t ? 5 ,故 2t ? 的最小值是 3 ,所以 M ? , ? 2 ? t 3 4x ? 7 2t ? 1 2t ? 1 t 1 ,又因为函数 y ? log 1 M 在 M ? 0 时是减函数, 3 9

当且仅当 t ? 1时, M max ?

答案第 4 页,总 11 页

所以 ymin ? log 1
9

1 1 ? . 3 2

考点:1、三角函数恒等变换;2、对数函数的性质及单调性;3、不等式的性质及应用. 15.

1 ?1 n

【解析】 试题分析:已知 f ( x) ? ? x ? 2 ? [? x ? 1?? x ? 3?? ? x ? n ?] , 则有 f ?( x) ? ? x ? 2?? [? x ? 1?? x ? 3??? x ? n ?] ? ? x ? 2 ?[? x ? 1?? x ? 3??? x ? n ?]? , 所以 f ?(?2) ? ?1?1? 2 ? 3? ? ? n ? 2 ? ? ? ? n ? 2 ?! , f (0) ? n! , 所 以

an ? ?

? n ? 2 ?! ? ?
n!

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1







S?

1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1. 2 3 2 4 3 n n ?1 n

考点:1、数列的函数特性及其与函数的综合运用;2、简单复合函数的导数;3、累加法求 数列的和. 16.(1) AM ? b ?

???? ?

?

1 ? ???? 3 ? 1 ? 17 a , AN ? a ? b ; (2) . 4 4 2 2

【解析】 试题分析:(1) 利用平面向量的加法和减法的运算法则进行计算,用已知量表示未知量,注 意向量的方向的变化; (2)要求 AM ?AN ,就要找到向量 a , b 的模及其数量积,先求出 向量 b 的模,再根据向量的性质进行计算.

???? ???? ?

?

?

?

? 1 ??? AB , M , N 分别为 CD , BC 的中点, 2 ???? ???? ???? ? 1 ???? ? 1 ??? ? 1 ? ? ? ? 所以 AM ? AD ? DM ? b ? DC ? b ? AB ? b ? a ; 3分 2 4 4 ???? ??? 1 ??? ? 1 ??? ???? ???? ? 1 ? 1 ? ? ? ? 3? 1? 6分 AN ? AB ? BC ? a ? BA ? AD ? DC ? a ? (b ? a) ? a ? b . 2 2 2 2 4 2 ? ? ? ? ???? 1 ??? ? ? (2) a ? 4 , DC ? AB , a , b ? 60 ,所以 b ? 2 , 8分 2
试题解析:(1)因为 AB ? a , AD ? b , DC ?

??? ?

?

????

?

????

?

?





???? ???? ? ? 1? ? 3? 1? 3 ? 2 1 ? 2 7 ?? 7 17 . AM ? AN ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? a ? b ? a?b ? 3 ? 2 ? ? 4 ? 2cos 60? ? 4 4 2 16 2 8 8 2
12 分 考点:1、平面向量的模及数量积;2、平面向量的加减混合运算. 17.(1) T ? 2? ;(2) ? 4 ? 2 2 , 2 2 ? .

? ?

? ?

【解析】
答案第 5 页,总 11 页

试题分析:(1)根据平面向量数量积的运算求出 f ( x) ? 周期即是 T ?

2 cos x ? 2 sin( x ?

?
2

) ,最小正

2? , 根据图像的平移变换的规律写出函数 y ? sin x 经过怎样的变化到已知函 w ?? ? ? 数 f ( x) ? 2 cos x ? 2 sin( x ? ) 的; (2)先根据已给的向量坐标化简 m ? n ,得到式 2
子 4 ? 4 cos( x ?

?

) ,根据三角函数在定区间上的取值判断 4 ? 4 cos( x ? ) 值域所在的 4 4

?

区间,即是 m ? n 的取值集合. 试题解析:(1)由已知得 f ( x) ?

?? ?

2 cos x ? 2 sin( x ?

?
2

),
3分

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? 2? .

将函数 y ? sin x 的图像依次进行下列变换:把函数 y ? sin x 的图像向左平移

y ? sin( x ?

?
2

) 的图像;把函数 y ? sin( x ? 2 sin( x ?

?
2

? ,得到函数 2

) 的图像上各点纵坐标伸长到原来的 2 倍
6分

(横坐标不变) ,得到函数 y ?

?
2

) 即 f ( x) 的图像;

(2) m ? n ? (cos x ? sin x ? 2,sin x ? cos x) , 所 以

?? ?

?? ? m?n ?

(cos x ? sin x ? 2) 2 ? (sin x ? cos x) 2

? 4?

x?

x

? 4

x

?
4



?4

因为 x ? ?? , 2? ? ,所以 x ?

?

?? ? 2? ? ? 3? 7? ? ? ? , ? ,则 cos ? x ? ? ? ? ?1, ?, 4? ? 2 ? 4 ? 4 4 ? ?
?4
?? ? 2 2 , ?2,2 m ? n 的 范 围 是 ? 4 ? 2 2 , 2 2 ? . 即 ? ? ? ? ? ?

所以

4? 4 cos( x?

?

?)? ? ? 4

12 分 考点:1、三角函数的最小正周期;2、三角函数图像的平移变换;3、三角函数在定区间上 的值域;4、求平面向量的模;5、三角恒等变换. 18. (1) 0 ? B ? 【解析】 试题分析: (1)先根据向量的数量积的坐标运算和三角函数的积化和差公式,化简 f ? x ? , 然后根据三边关系结合余弦定理求得角 B 的取值范围,再将 B 代入化简后的 f ? x ? ,得到
答案第 6 页,总 11 页

?
3

, ?1, 2 ? ; (2) b ?

2.

?? ? (2)根 f ? B ? ? 2sin ? 2 B ? ? ,根据三角函数在定区间上的值域求得函数 f ? B ? 的值域; 6? ?
据题中所给信息 f ?

? A? ? ? 3 解得角 A 的大小, ?4?

由 AB ? CA ? ?1 ,得到 bc ? 2 ,由已知条件得边 a ,b ,c 依次成等差数列,结合余弦定理, 得到两个等量关系,解得 b 的值. 试 题 解 析 : ( 1 )

??? ??? ? ?

? ? ?? ? f ? x ? ? a ? b ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? , 6? ?
2分 由已知 b 2 ? ac ,所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 a2 ? c2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2

所以 0 ? B ?

?
3

, 2B ?

?

?? ? ? 5? ? ? ? ? , ? ,则 f ? B ? ? 2sin ? 2 B ? ? ? ?1, 2? , 6 ?6 6 ? 6? ?
6分

故函数 f(B)的值域为 ?1, 2 ? ;

(2)由已知得 f ? 所以

3 ?A ?? ? A? ?A ?? , ? ? 2sin ? ? ? ? 3 ,所以 sin ? ? ? ? ?2 6? 2 ?4? ?2 6?

8分

A ? ? A ? 2? ? ,解得 A ? 或 A ? ? (舍去) , ? ? 或 ? ? 2 6 3 2 6 3 3 ??? ??? ? ? 由 AB ? CA ? ?1 ,得 bc cos ?? ? A? ? ?1 ,解得 bc ? 2 ,
由 三 边

10 分

a , b , c 依 次 成 等 差 数 列 得 2b ? a ? c , 则

a 2 ? (2b ? c)2 ? 4b2 ? 4bc ? c 2 ? 4b2 ? c 2 ? 8 ,
由 余 弦 定 理 得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 2 ,

解 得

b? 2

.

12 分 考点:1、平面向量的数量积的运算;2、余弦定理;3、解三角形;4、等差数列的性质及应 用;5、特殊角的三角函数值. 19. (1) an ? 【解析】 试题分析: (1)先化简 f ? x ? ,得 f ? x ? ? 1 ? sin 2 x ,再根据三角函数的性质找到极值点, 利用等差数列的性质写出数列 ? an ? 的通项公式; (2)先根据(1)中的结果写出 ?bn ? 的通项

?
4

? ? n ? 1? ?

?
2

?

2n ? 1 ? (2) Tn ? ?? 2n ? 3? ? 2 n ?3? . ? ?n ? N* ? ; ? 4 2?

答案第 7 页,总 11 页

公式,然后写出 Tn 的解析式,再构造出 2Tn ,利用错位相减法求 Tn . 试题解析: (1) f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? ? 1 ? sin 2 x ,其极值点为 x ?
2

k? ? ? ?k ? Z ? , 2 4
4分

2分 它在 ? 0, ?? ? 内的全部极值点构成以 所以 an ?

?
4

? ? n ? 1? ?

?
2

?

(2) bn ? 2n an ? 所以 Tn ?

?
4

2n ? 1 ? ?n ? N* ? ; 4

? ? 为首项, 为公差的等差数列, 4 2
6分

? 2n ? 1? ? 2n ,

8分

?

2Tn ?

?

?1? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? ? 2n ? 3? ? 2n?1 ? ? 2n ? 1? ? 2n ? , ? 4?

?1? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 3? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n?1 ? , ? 4?

相减,得 ?Tn ? 所以 Tn ?

?

?

?1? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? ? 2n ? 1? ? 2n?1 ? , ? 4?
12 分

?? 2n ? 3? ? 2 n ?3? . ? 2?

考点:1、三角函数的恒等变换及化简;2、三角函数的性质的应用;3、等差数列的通项公 式;4、错位相减法求数列的前 n 项和;5、等比数列的前 n 项和. 20. (1) f ? x ?极小值 =0 ,无极大值; (2)见解析; (3)存在, a ? ? 2 ? 1 或 a ? ?e . 【解析】 试题分析: (1)先找到函数 f ? x ? 的定义域,在定义域内进行作答,在条件 a ? 2 下求出函 数 f ? x ? 的导函数,根据函数的单调性与导数的关系,判断函数 f ? x ? 的极值; (2)先求出 函数 f ? x ? 的导函数, 其导函数中含有参数 a , 所以要进行分类讨论, a 分三种情况 a ? 0 , 对

?1 ? a ? 0 ,a ? ?1 进行讨论,分别求出每种情况下的函数 f ? x ? 的单调增区间和单调减区
间; (3)结合(2)中的结果,找到函数 f ? x ? 的极值点,要满足题中的要求,那么

f ? x ?极小值 ? a ? a ln ? ?a ? 或 a ? a ln ? ?a ? ? f ? x ?极大值 ,解不等式,在 a ? ?1 的范围内求
解. 试题解析:1)函数 f ( x) ? ( 分 当a ? 2 时, f ' ( x) ? x ?2 ?

1 2 x ? ax ? a ln( x ? 1)(a ? R) 的定义域是 ? ?1, ?? ? , 2 2 x( x ?3) , ? x ?1 x ?1

1

所以 f ( x) 在 -1, 0) 上递减,在 (0, ) +? 上递增, (

答案第 8 页,总 11 页

所以函数 f ( x) 的极小值为 f (0) ? 0 ,无极大值; (2) f ' ( x) ? x ? a ?

4分

a x( x ? a ? 1) 5分 ? , 定义域 ? ?1, ?? ? , x ?1 x ?1 x( x ? a ? 1) ①当 ?a ? 1 ? ?1 ,即 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? ? 0 ,得 f ? x ? 的增区间为 ? 0, ?? ? ; x ?1 x( x ? a ? 1) 由 f ' ( x) ? 6分 ? 0 ,得 f ? x ? 的减区间为 ? ?1, 0 ? ; x ?1 x( x ? a ? 1) ②当 ?1 ? ?a ? 1 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 0 时,由 f ' ( x) ? ? 0 ,得 f ? x ? 的增区间为 x ?1 x( x ? a ? 1) ? 0 ,得 f ? x ? 的减区间为 ? ?a ? 1, 0? ; ? ?1, ?a ? 1? 和 ? 0, ?? ? ;由 f ' ( x ) ? x ?1
7分 ③当 ?a ?1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,由 f ' ( x) ?

? ?a ? 1, ?? ? ;由 f ' ( x) ?


x( x ? a ? 1) ? 0 ,得 f ? x ? 的减区间为 ? 0, ?a ? 1? ; x ?1

x( x ? a ? 1) ? 0 ,得 f ? x ? 的增区间为 ? ?1, 0 ? 和 x ?1
8

综上, a ? 0 时, f ? x ? 的增区间为 ? 0, ?? ? ,减区间为 ? ?1, 0 ? ;

?1 ? a ? 0 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?1, ? a ? 1? 和 ? 0, ?? ? ,减区间为 ? ?a ? 1, 0 ? ; a ? ?1 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?1, 0 ? 和 ? ?a ? 1, ?? ? ,减区间为 ? 0, ?a ? 1? ;
(3)当 a ? ?1 时,由(2)知 f ? x ? 在? 0, ?? ? 的极小值为 f (?a ? 1) ? ? 而极大值为 f (0) ? 0 ; 由题意,函数 y ? f ? x ? 的图象与 y ? a ? a ln(?a) 在 ? 0, ?? ? 上有唯一的公共点, 所以 , f (?a ? 1) ? ? 9分

a2 1 ? ? a ln(?a) , 2 2

a2 1 ? ? a ln(?a) ? a ? a ln(?a) 或 y ? a ? a ln(?a ) ? f ? 0 ? ,结 合 2 2

a ? ?1 ,
解得 a ? ? 2 ? 1 或 a ? ?e . 13 分

考点:1、对数函数的定义域;2、含参数的分类讨论思想;3、函数的单调性与导数的关系; 4、解不等式;5、求函数的极值. 21. (1)见解析; (2) 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 3 ; (3)见解析. 【解析】 试题分析: (1)首先由 a1 求出 a2 ,然后 n ? 2 时,构造函数
答案第 9 页,总 11 页

1 1 ? (?1) n ? ?2[ - (?1) n ?1 ] , an an ?1

即可证明在 n ? 2 条件下数列 ?

?1 n? ? ? ?1? ? ? n ? N * ? 是等比数列,将 n ? 1 时的值代入也符 ? an ?

合,即证; (2)先由(1)得到 an ,然后写出 ?bn ? 的通项公式,根据等比数列前 n 项和公式 求出 S n ; (3)求出数列 ?cn ? 的通项公式,再由累加法求其前 n 项和为 Tn ,再判断 Tn 与 关系. 试题解析: (1)证明:由 a1 ?

1 的 3

1 2 1 1 n , ? ? ? ?1? 得 a2 ? ? , 2 an ?1 an 5

当 n ? 2 时,

1 2 1 1 - (?1) n ?1 ] , ? ? (?1) n ?1 ,即 ? (?1) n ? ?2[ an an ?1 an an ?1

所以 ?

?1 ? 1 ? (?1) n ? 是首项为 ? (?1) 2 ? -6 ,公比为 ?2 的等比数列, a2 ? an ?
.5 分

?1 n? n ? 1 时,也符合,所以数列 ? ? ? ?1? ? ? n ? N * ? 是等比数列; ? an ?
(2) b1 ?

(?1) n -1 1 1 . ? 4 ,由(I)得 -(?1) n ? -6 ? (-2) n ? 2 ? 3 ? (-2) n ?1 ,所以 an ? a12 an 3 ? 2n ?1 ? 1

所以 bn ?

1 ? 9 ? 4n ?1 -3 ? 2n ? 1(n ? N* ) , 2 an

数列 {bn } 的前 n 项和

Sn ? 9(1+4 ? 42 ? ? ? 4n ?1 ) ? 3(2 ? 22 ? ? ? 2n ) ? n

? 9?

1-4n 2(1-2n ) ? 3? ? n ? 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 3 . 1? 4 1? 2

10 分

(3)证明:

(?1) n ?1 ( ?1) n 2n cn ? ?2 an an ?1 ? ?2 ? ? ? 3 ? 2n ?1 ? 1 3 ? 2n ? 1 (3 ? 2n ?1 ? 1)(3 ? 2 n ? 1) 2 1 1 ? ( ? ), n 3 1 ? 3 ? 2 1 ? 3 ? 2 n ?1
n n

所以,数列 {cn } 的前 n 项和为

2 1 1 1 1 1 1 ( [ ? )?( ? ) ??? ( ? ) ] 0 2 n Tn ? 3 1 ? 3 ? 2 1 ? 3 ? 2 1? 3? 2 1? 3? 2 1 ? 3 ? 2 1 ? 3 ? 2 n?1

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2 1 1 2 1 1 ? ( ? )? ? ? n 0 n 3 1? 3? 2 1? 3? 2 3 1? 3? 2 3 1 1 因为当 n ? N * 时, ? 0 ,所以 Tn ? n 1? 3? 2 3

14 分

考点:1、函数的构造;2、等比数列的性质;3、等比数列的前 n 项和;4、累加法求数列的 前 n 项和.

答案第 11 页,总 11 页


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