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中山市2012-2013学年度第一学期期末统一考试高三数学文科


中山市 2012—2013 学年度第一学期期末统一考试

高三数学试卷(文科)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8? ,集合 A ? {1, 2,3,5} , B ? {2, 4, 6} ,则图中的阴影部分 表示的集合为 ( A. ?2? C. ?1,3,5? ) B. ?4,6? D. ?4, 6, 7,8? )

2.等差数列 {an } 的前n项和为 S n ,若 a2 ? a7 ? a12 ? 30,则 S13 的值是( A.130 3.“ 2
a b

B.65

C.70 ) B.必要不充分条件

D.75

? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

4.若△ ABC 的三个内角满足 sin A :sin B :sin C ? 5:11:13 ,则△ ABC ( A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 )

5.直线 x ? (a2 ?1) y ?1 ? 0 的倾斜角的取值范围是( A. [0,

?

? 3? ? ] B. ? , ? ? 4 ? 4 ?

C. [0,

?

] ? ( ,? ) 4 2

?

D. ?

? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ? ,? ? ?4 2 ? ? 4 ?

6.有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编号互 不相同的概率为( )A.

2 1 5 8 B. C. D. 3 7 21 21

7.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1相交于 A , B 两点,且

AB ? 3, 则 OA? OB 的值是(
A. ?

) D.0 ) D.n ? 8

1 3 1 B. C. ? 2 2 4 8.若右边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为(
A.n ? 5 B.n ? 6 C.n ? 7

9.如图,在透明塑料制成的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 容器内灌进一些水,将容器底面一 边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状;②水面四边形 EFGH的面积不改变;

第 1 页 共 5 页

A1

D1

③棱 A1 D1 始终与水面 EFGH平行;
B1 C1 H F G D C

④当 E ? AA1 时, AE ? BF 是定值. 其中所有正确的命题的序号是( A.①②③ B.①③ ) C.②④
A

E

D.①③④

B

10.函数 f ( x) ? x2 ? bx ? a 的图象如图所示,则函数

g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是(
A. ( , )

) D. (2, 3)

1 1 4 2

B. ( ,1)

1 2

C.(1,2)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上.) 11、若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 12、若命题“存在实数 x,使 x ? ax ? 1 ? 0 ”的否定是假命题,则实数 a 的取值范围为
2

。 。

13、如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角) 是 .

14、将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……………………… 按照以上排列的规律,第 n 行 ( n ? 3) 从左向右的第 3 个数为 .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 12 分) 函数 f (x) ? 2sin( x ?? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ?
? ) 的部分图象如下图所示,该图象与 y 轴交于点 2 F(0,1) ,与 x 轴交于点 B, C , M 为最高点,且三角形 MBC 的面积为 ? .
y

(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若 f (? ? ) ?
? 6 2 5 ? ? , ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值. 5 2 4

x

16.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 3 , a4 ? a6 ? 18 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn?1 ? 2bn ,并且 b1 ? a5 ,试求 数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 17. (本小题满分 14 分) 如图, 三棱柱 ABC ? A B1C1 中,AA1 ? 平面 ABC , D 、E 分别为 A1 B1 、 1
AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ?
1 AB .(Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; 4

(Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将
第 2 页 共 5 页

C1 D

A1

B1

三棱柱分割成的两部分体积之比为 1 : 15,若存在,指出 点 G 的位置;若不存在,说明理由. 18.(本小题满分 14 分) 某中学共有学生 2000 人,各年级男、女生人数如下表: 高一年级 女生 男生 373 377 高二年级 x 370
A F B E C

高三年级 y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19. (Ⅰ)求 x 的值;(Ⅱ)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在高三年级抽 取多少名?(Ⅲ)已知 y ? 245 , z ? 245,求高三年级中女生比男生多的概率. 19.(本小题满分 14 分) 某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定 为 x 元时, 销售量可达到 15 ? 0.1x 万套. 现出版社为配合该书商的活动, 决定进行价格改革, 将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为 30 元,浮动价格 (单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为 10.假设不计其它成本,即销 售每套丛书的利润 ? 售价 ? 供货价格.问: (Ⅰ)每套丛书售价定为 100 元时,书商能获得的总利润是多少万元? (Ⅱ)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大? 20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ?x ? ?

1 3 x ? ax ? b ,其中实数 a, b 是常数. 3

(Ⅰ)已知 a ??0,1,2?, b ??0,1,2? ,求事件 A :“ f ?1? ? 0 ”发生的概率; (Ⅱ)若 f ?x? 是 R 上的奇函数, g ?a ? 是 f ?x? 在区间 ?? 1,1? 上的最小值,求当 a ? 1 时 总存在 x2 ? ?0,2? 使得 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

g ?a ? 的解析式;(Ⅲ)记 y ? f ?x ? 的导函数为 f ??x ? ,则当 a ? 1 时,对任意 x1 ? ?0,2? ,

中山市高三级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试

数学试卷(文科)答案
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 9 D 10 B

二、填空题

n2 ? n ? 6 ? 11、 4 x ? y ? 3 ? 0 ; 12、 a ? ?2或a ? 2 ; 13、 ;14、 2 3
1 2

三、解答题 15.解:(I)∵ S?MBC ? ? 2 ? BC ? BC ? ? ,∴周期 T ? 2? ? 由 f (0) ? 2sin? ? 1,得 sin ? ?

??

?

,? ? 1 .

1 ? ? ? ,∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? 2sin( x ? ) . 2 2 6 6

第 3 页 共 5 页

(Ⅱ) f (? ? ) ? 2sin ? ? 由

? 6

? 2 5 5 2 5 , sin ? ? 得 , ? ? (0, ) , cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ∵ ∴ , 5 5 5 2

3 4 ∴ cos 2? ? 2cos2 ? ?1 ? ,sin 2? ? 2sin ? cos ? ? , 5 5

∴ cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin

16.解:(I)设数列 ?an ? 的公差为 d ,根据题意得:
?a1 ? d ? 3, ? ?2a1 ? 8d ? 18,

? 4

? 4

? 3 2 4 2 2 ? ? ? ? ?? . 10 4 5 2 5 2

?a ? 1 解得: ? 1 ,??an ? 的通项公式为 an ? 2n ?1 ?d ? 2 (Ⅱ) ?bn?1 ? 2bn , b1 ? a5 ? 9 ??bn ? 是首项为 9 公比为 2 的等比数列
? Sn= 9 ? (1 ? 2 ) 1? 2
n

C1 D

= 9? 2 ? 9
n

A1

B1

1 17.(I)证明:取 AB 的中点 M,? AF ? AB ?F 为 AM 的中点, 4 又?E 为 AA1 的中点,?EF // AM 1

在三棱柱 ABC ? A B1C1 中, D , M 分别为 A B1, AB 的中点, 1 1 ? A D // BM, A D ? BM ,? A DBM 为平行四边形,? AM // BD 1 1 1 1 ? EF // BD, ? BD ? 平面 BC1D , EF ? 平面 BC1D ? EF // 平面 BC1D (II)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15,则 VE ? AFG : VABC ? A B C ? 1:16
1 1 1

E C G A F M B

1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE 1 1 1 AG 1 AG VE ? AFG ? ? ? ? ? ? ? ?3 2 1 3 4 2 AC 24 AC VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2

?

3 1 AG 1 AG 3 ? ? ,? ? ,? AG ? AC ? AC 所以符合要求的点 G 不存在. 2 24 AC 16 AC 2

18.解:(1)由

(2)高三年级人数为 y ? z ? 2000 ? ?373 ? 377 ? 380 ? 370 ? ? 500 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生, 应在高三年级抽取的人数为 48 ? 500 ? 12 (名) .
2000

x ? 0.19 ,? x ? 380 2000

(3)设高三年级女生比男生多的事件为 A,高三年级女生、男生数记为 ? y , z ? ,由 (2)知 y ? z ? 500 ,且 y 、 z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有(245,255), (246, 254),(247,253),┅,(255,245)共 11 个.事件 A 包含的基本事件不(251,249), (252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共 5 个.? P( A) ? 5
11

19.解:(Ⅰ)每套丛书售价定为 100 元时,销售量为 15 ? 0.1?100 ? 5 万套, 10 ? 32 元,书商所获得的总利润为 5? (100 ? 32) ? 340 万元. 此时每套供货价格为 30 ? 5 (Ⅱ)每套丛书售价定为 x 元时,由 ?15 ? 0.1x ? 0, 得, 0 ? x ? 150 ,
? ?x ? 0

依题意,单套丛书利润 P ? x ? (30 ?

10 100 )? x? ? 30 , 15 ? 0.1x 150 ? x

第 4 页 共 5 页

∴ P ? ?[(150 ? x) ? 由
(150 ? x) ?

100 ] ? 120 ,∵ 150 ? x

0 ? x ? 150 , ∴

150 ? x ? 0 ,

100 100 , ? 2 (150 ? x) ? ? 2 ?10 ? 20 150 ? x 150 ? x

当且仅当 150 ? x ?

100 ,即 x ? 140 时等号成立,此时, Pmax ? ?20 ? 120 ? 100 . 150 ? x

1 , 2 20. (本小题满分 14 分)解: (Ⅰ) a ??0 , 当
共有 9 个:

1 , b 2 ? 0 ??

等可能发生的基本事件 ( a , b ) ? 时,

(0,,,,, (1,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2), 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2).

其中事件 A : “ f (1) ?

1 ? a ? b ? 0 ”,包含 6 个基本事件: 3

(0,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2) (11) (1 2) (2 2).

2 6 2 ? . 即事件“ f (1) ? 0 ”发生的概率 3 9 3 (Ⅱ) f ( x) ? 1 x3 ? ax ? b, 是 R 上的奇函数,得 f (0) ? 0, b ? 0. (5 分)
故 P( A) ?
3

∴ f ( x) ?

1 3 x ? ax, 3

f ?( x) ? x2 ? a ,

① 当 a ? 1 时,因为 ?1 ? x ? 1,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ? ?1,1? 上单调递减, 从而 g (a) ? f (1) ?

1 ?a ; 3

② 当 a ? ?1 时,因为 ?1 ? x ? 1,所以 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ? ?1,1? 上单调递增, 从而 g (a) ? f (?1) ? ? ? a ,

1 3

综上,知

? 1 ?a ? 3 , a ? ?1 ? g (a) ? ? . ??a ? 1 , a ? 1 ? 3 ?

(Ⅲ)当 a ? 1 时,

当 x ? ?0,1?时f ??x? ? 0,当x ? ?1,2?时f ??x? ? 0

1 f ?x ? ? x3 ? x ? b,? f ??x ? ? x 2 ? 1 3

2 ? f ?x?在?0,1?上递减,在 ?1,2?上递增 ,即 f ?x ?min ? f ?1? ? ? ? b 3 2 又? f ?0? ? b, f ?2? ? ? b ? f ?0? ,?当x ? ?0,?时,f ?x ?? ?? 2 ? b, 2 ? b? 2 ? 3 3 3 ? ? ? 2 而 f ? ? x ? ? x ? 1在x ? ?0, 2? 上递增 , f ?( x) ? [ ?1,3]
? 对任意 x1 ? ?0,2?,总存在 x2 ? ?0,2? 使得 f ( x1 ) ? f ?( x2 ) ? f ? x ?的值域 ? f ? ? x ?的值域, ?- 2 ? b, 2 ? b ? ? ? ?1,3? 即
? 3 ? 3 ? ?

?

1 7 2 2 - ? b ? ?1 且 ? b ? 3 ,解得 ? ? b ? 3 3 3 3

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