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2015-2016学年山东省临沂市沂水县八年级上学期期中数学试卷.doc


2015-2016 学年山东省临沂市沂水县八年级(上)期中数学 试卷
一、选择题(共 14 小题,每小题 3 分,满分 42 分) 1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图 形的是( )

A.

B.

C.

D.

2.如图,工人师傅砌门时,常用木条 EF 固定长方形门框 ABCD,使其不变形,这样做的 根据是( )

A.两点之间的线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形具有稳定性 D.长方形的四个角都是直角

3.将一副直角三角尺如图放置,已知 AE∥BC,则∠AFD 的度数是(

)

A.45°

B.50°

C.60°

D.75°

4.已知三角形的两边长是 2cm,3cm,则该三角形的周长 l 的取值范围是( A.1<l<5 B.1<l<6 C.5<l<9

)

D.6<l<10

5.一个多边形的外角和是内角和的 ,这个多边形的边数为( A.5 B.6 C .7

) D.8

6.如图,下列条件中,不能证明△ ABC≌△DCB 的是(

)

A.AB=DC,AC=DB C.BO=CO,∠A=∠D

B.AB=DC,∠ABC=∠DCB D.AB=DC,∠DBC=∠ACB

7.使两个直角三角形全等的条件是( A.一个锐角对应相等 C.一条边对应相等

)

B.两个锐角对应相等 D.两条边对应相等

8.△ ABC≌△AEF,有以下结论: ①AC=AE;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC; ④∠EAB=∠FAC, 其中正确的个数是( )

A.1

B.2

C .3

D.4

9.如图,已知在△ ABC 中,CD 是 AB 边上的高线,BE 平分∠ABC,交 CD 于点 E,BC=5, DE=2,则△ BCE 的面积等于( )

A.10

B.7

C .5

D.4

10.如图,△ ABC 中 BD、CD 平分∠ABC、∠ACB 过 D 作直线平行于 BC,交 AB、AC 于 E、F,当∠A 的位置及大小变化时,线段 EF 和 BE+CF 的大小关系是( )

A.EF=BE+CF

B.EF>BE+CF

C.EF<BE+CF

D.不能确定

11. 如图, △ ABC 是等边三角形, D 是 BC 的中点, 点 E 在 AC 上, 且 AE=AD, 则∠EDC=(

)

A.15°

B.18°

C.20°

D.25°

12.如图,△ ABC 中,BD 平分∠ABC,BC 的中垂线交 BC 于点 E,交 BD 于点 F,连接 CF.若∠A=60° ,∠ABD=24° ,则∠ACF 的度数为( )

A.48°

B.36°

C.30°

D.24°

13.如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70° 方向的 M 处,它以每小时 40 海里的速度向正 北方向航行, 2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40° 的 N 处, 则 N 处与灯塔 P 的距离为( )

A.40 海里

B.60 海里

C.70 海里

D.80 海里

14. 如图, AD 是△ ABC 的角平分线, DE⊥AC, 垂足为 E, BF∥AC 交 ED 的延长线于点 F, 若 BC 恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC; ④AC=3BF,其中正确的结论共有( )

A.4 个

B.3 个

C .2 个

D.1 个

二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 15. 如图, 点 D 在△ ABC 边 BC 的延长线上, CE 平分∠ACD, ∠A=80° , ∠B=40° , 则∠ACE 的大小是__________度.

16.点 P(1,2)关于直线 y=1 对称的点的坐标是__________.

17.如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,连接 BD.请添加一个适当的条件__________, 使△ ABD≌△CDB. (只需写一个)

18.已知∠AOB=30° ,点 P 在∠AOB 的内部,P′与 P 关于 OA 对称,P″与 P 关于 OB 对称, 则△ OP′P″一定是一个__________三角形.

19.如图所示,直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A,分别过正方形的顶点 B、D 作 BF⊥a 于点 F,DE⊥a 于点 E,若 DE=8,BF=5,则 EF 的长为__________.

三、解答题(共 7 小题,满分 63 分) 20.在如图所示的直角坐标系中,每个小方格都是边长为 1 的正方形,△ ABC 的顶点均在 格点上,点 A 的坐标是(﹣3,﹣1) . (1)将△ ABC 沿 y 轴正方向平移 3 个单位得到△ A1B1C1,画出△ A1B1C1,并写出点 B1 坐 标; (2)画出△ A1B1C1 关于 y 轴对称的△ A2B2C2,并写出点 C2 的坐标.

21.如图,BD 是∠ABC 的平分线,DE∥CB,交 AB 于点 E,∠A=45° ,∠BDC=60° ,求 △ BDE 各内角的度数.

22.如图,在 Rt△ ABC 中,在斜边 AB 和直角边 AC 上分别取一点 D,E,使 DE=DA,延 长 DE 交 BC 的延长线于点 F.△ DFB 是等腰三角形吗?请说明你的理由.

23.如图,点 C,D 在线段 BF 上,AB∥DE,AB=DF,∠A=∠F,求证:BC=DE.

24.如图:在△ ABC 中,∠C=90° ,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上, BD=DF; 求证: (1)CF=EB; (2)AB=AC+CF.

25.已知:如图,在△ ABC、△ ADE 中,∠BAC=∠DAE=90° ,AB=AC,AD=AE,点 C、 D、E 三点在同一直线上,连接 BD. 求证: (1)△ BAD≌△CAE; (2)试猜想 BD、CE 有何特殊位置关系,并证明.

26.如图(1) ,等边△ ABC 中,D 是 AB 边上的动点,以 CD 为一边,向上作等边△ EDC, 连接 AE. (1)求证:AE∥BC; (2)如图(2) ,将(1)中的动点 D 运动到边 BA 的延长线上,仍作等边△ EDC,请问是 否仍有 AE∥BC?证明你的猜想.

2015-2016 学年山东省临沂市沂水县八年级(上)期中数学试卷

一、选择题(共 14 小题,每小题 3 分,满分 42 分) 1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图 形的是( )

A. 【考点】轴对称图形.

B.

C.

D.

【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误; B、不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、是轴对称图形,故本选项正确. 故选 D. 【点评】本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对 称轴折叠后可重合.

2.如图,工人师傅砌门时,常用木条 EF 固定长方形门框 ABCD,使其不变形,这样做的 根据是( )

A.两点之间的线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形具有稳定性 D.长方形的四个角都是直角

【考点】三角形的稳定性. 【分析】根据三角形的稳定性,可直接选择.

【解答】解:加上 EF 后,原图形中具有△ AEF 了,故这种做法根据的是三角形的稳定性. 故选 C. 【点评】 本题考查三角形稳定性的实际应用, 三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用, 要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.

3.将一副直角三角尺如图放置,已知 AE∥BC,则∠AFD 的度数是(

)

A.45°

B.50°

C.60°

D.75°

【考点】三角形内角和定理;平行线的性质. 【专题】计算题. 【分析】本题主要根据直角尺各角的度数及三角形内角和定理解答. 【解答】解:∵∠C=30° ,∠DAE=45° ,AE∥BC, ∴∠EAC=∠C=30° ,∠FAD=45﹣30=15° , 在△ ADF 中根据三角形内角和定理得到:∠AFD=180﹣90﹣15=75° . 故选 D. 【点评】本题主要考查两直线平行,内错角相等,以及三角形的内角和定理.

4.已知三角形的两边长是 2cm,3cm,则该三角形的周长 l 的取值范围是( A.1<l<5 B.1<l<6 C.5<l<9

)

D.6<l<10

【考点】三角形三边关系. 【分析】根据三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.即可求解. 【解答】解:第三边的取值范围是大于 1 而小于 5. 又∵另外两边之和是 5, ∴周长的取值范围是大于 6 而小于 10. 故选 D. 【点评】考查了三角形的三边关系,解题的关键是了解三角形的三边关系:两边之和大于第 三边,两边之差小于第三边.

5.一个多边形的外角和是内角和的 ,这个多边形的边数为( A.5 B.6 C .7

) D.8

【考点】多边形内角与外角. 【专题】计算题. 【分析】根据多边形的外角和为 360° 及题意,求出这个多边形的内角和,即可确定出多边 形的边数. 【解答】解:∵一个多边形的外角和是内角和的 ,且外角和为 360° , ∴这个多边形的内角和为 900° ,即(n﹣2)?180°=900°, 解得:n=7, 则这个多边形的边数是 7, 故选 C. 【点评】 此题考查了多边形的内角和与外角和, 熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题 的关键.

6.如图,下列条件中,不能证明△ ABC≌△DCB 的是(

)

A.AB=DC,AC=DB C.BO=CO,∠A=∠D

B.AB=DC,∠ABC=∠DCB D.AB=DC,∠DBC=∠ACB

【考点】全等三角形的判定. 【分析】本题要判定△ ABC≌△DCB,已知 BC 是公共边,具备了一组边对应相等.所以由 全等三角形的判定定理作出正确的判断即可. 【解答】解:根据题意知,BC 边为公共边. A、由“SSS”可以判定△ ABC≌△DCB,故本选项错误; B、由“SAS”可以判定△ ABC≌△DCB,故本选项错误; C、由 BO=CO 可以推知∠ACB=∠DBC,则由“AAS”可以判定△ ABC≌△DCB,故本选项 错误;

D、由“SSA”不能判定△ ABC≌△DCB,故本选项正确. 故选:D. 【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、 ASA、AAS、HL. 注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与, 若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.

7.使两个直角三角形全等的条件是( A.一个锐角对应相等 C.一条边对应相等

)

B.两个锐角对应相等 D.两条边对应相等

【考点】直角三角形全等的判定. 【专题】压轴题. 【分析】利用全等三角形的判定来确定.做题时,要结合已知条件与三角形全等的判定方法 逐个验证. 【解答】解:A、一个锐角对应相等,利用已知的直角相等,可得出另一组锐角相等,但不 能证明两三角形全等,故 A 选项错误; B、 两个锐角相等,那么也就是三个对应角相等, 但不能证明两三角形全等, 故 B 选项错误; C、一条边对应相等,再加一组直角相等,不能得出两三角形全等,故 C 选项错误; D、两条边对应相等,若是两条直角边相等,可利用 SAS 证全等;若一直角边对应相等, 一斜边对应相等,也可证全等,故 D 选项正确. 故选:D. 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法;三角形全等的判定有 ASA、SAS、AAS、 SSS、HL,可以发现至少得有一组对应边相等,才有可能全等.

8.△ ABC≌△AEF,有以下结论: ①AC=AE;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC; ④∠EAB=∠FAC, 其中正确的个数是( )

A.1

B.2

C .3

D.4

【考点】全等三角形的性质. 【分析】根据已知找准对应关系,运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等,对应 边相等”求解即可. 【解答】解:∵△ABC≌△AEF, ∴BC=EF,∠BAC=∠EAF,故③正确; ∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF, 即∠EAB=∠FAC,故④正确; AC 与 AE 不是对应边,不能求出二者相等,也不能求出∠FAB=∠EAB, 故①、②错误; 故选:B. 【点评】本题考查的是全等三角形的性质;做题时要运用三角形全等的基本性质,结合图形 进行思考是十分必要的.

9.如图,已知在△ ABC 中,CD 是 AB 边上的高线,BE 平分∠ABC,交 CD 于点 E,BC=5, DE=2,则△ BCE 的面积等于( )

A.10

B.7

C .5

D.4

【考点】角平分线的性质. 【分析】作 EF⊥BC 于 F,根据角平分线的性质求得 EF=DE=2,然后根据三角形面积公式 求得即可. 【解答】解:作 EF⊥BC 于 F, ∵BE 平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC, ∴EF=DE=2,

∴S△ BCE= BC?EF= × 5× 2=5, 故选 C. 【点评】 本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积, 作出辅助线求得三角形的高是解 题的关键.

10.如图,△ ABC 中 BD、CD 平分∠ABC、∠ACB 过 D 作直线平行于 BC,交 AB、AC 于 E、F,当∠A 的位置及大小变化时,线段 EF 和 BE+CF 的大小关系是( )

A.EF=BE+CF

B.EF>BE+CF

C.EF<BE+CF

D.不能确定

【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质. 【分析】由平行的性质和角平分线的定义可得 ED=BE,DF=CF,可得到 EF=BE+CF. 【解答】解:∵EF∥BC, ∴∠EDB=∠DBC, ∵BD 平分∠ABC, ∴∠EBD=∠DBC, ∴∠EBD=∠EDB, ∴ED=BE,同理可得 FD=CF, ∴EF=ED+DF=BE+CF, 故选 A. 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定,掌握平行线的性质和等角对等边是解题的关键.

11. 如图, △ ABC 是等边三角形, D 是 BC 的中点, 点 E 在 AC 上, 且 AE=AD, 则∠EDC=(

)

A.15°

B.18°

C.20°

D.25°

【考点】等边三角形的性质;等腰三角形的性质. 【分析】先根据△ ABC 是等边三角形,D 为 BC 的中点得出∠DAC 的度数,再根据等腰三 角形的性质求出∠ADE 的度数,故可得出结论. 【解答】解:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠BAC=60° , ∵D 为 BC 的中点, ∴AD⊥BC,∠DAC= ∠BAC=30° , ∵AE=AD,

∴∠ADE=

=

=75° ,

∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90° ﹣75° =15° . 故选 A. 【点评】本题考查的是等边三角形的性质,熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解答此题的 关键.

12.如图,△ ABC 中,BD 平分∠ABC,BC 的中垂线交 BC 于点 E,交 BD 于点 F,连接 CF.若∠A=60° ,∠ABD=24° ,则∠ACF 的度数为( )

A.48°

B.36°

C.30°

D.24°

【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24° ,然后再计算出∠ACB 的度数,再根 据线段垂直平分线的性质可得 BF=CF,进而可得∠FCB=24° ,然后可算出∠ACF 的度数. 【解答】解:∵BD 平分∠ABC, ∴∠DBC=∠ABD=24° , ∵∠A=60° ,

∴∠ACB=180° ﹣60° ﹣24° × 2=72° , ∵BC 的中垂线交 BC 于点 E, ∴BF=CF, ∴∠FCB=24° , ∴∠ACF=72° ﹣24° =48° , 故选:A. 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,以及三角形内角和定理,关键是掌握线段 垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.

13.如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70° 方向的 M 处,它以每小时 40 海里的速度向正 北方向航行, 2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40° 的 N 处, 则 N 处与灯塔 P 的距离为( )

A.40 海里

B.60 海里

C.70 海里

D.80 海里

【考点】等腰三角形的判定与性质;方向角;平行线的性质. 【专题】应用题. 【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70° ,∠N=40° ,则在△ MNP 中利用内角和定理求 得∠NPM 的度数,证明三角形 MNP 是等腰三角形,即可求解. 【解答】解:MN=2× 40=80(海里) , ∵∠M=70° ,∠N=40° , ∴∠NPM=180° ﹣∠M﹣∠N=180° ﹣70° ﹣40° =70° , ∴∠NPM=∠M, ∴NP=MN=80(海里) . 故选:D. 【点评】本题考查了方向角的定义,以及三角形内角和定理,等腰三角形的判定定理,理解 方向角的定义是关键.

14. 如图, AD 是△ ABC 的角平分线, DE⊥AC, 垂足为 E, BF∥AC 交 ED 的延长线于点 F, 若 BC 恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC; ④AC=3BF,其中正确的结论共有( )

A.4 个

B.3 个

C .2 个

D.1 个

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;相似三角形的判定与性质. 【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到 BD=CD,AD⊥BC,故②③正确;通过 △ CDE≌△DBF,得到 DE=DF,CE=BF,故①④正确. 【解答】解:∵BF∥AC, ∴∠C=∠CBF, ∵BC 平分∠ABF, ∴∠ABC=∠CBF, ∴∠C=∠ABC, ∴AB=AC, ∵AD 是△ ABC 的角平分线, ∴BD=CD,AD⊥BC,故②③正确, 在△ CDE 与△ DBF 中,

, ∴△CDE≌△DBF, ∴DE=DF,CE=BF,故①正确; ∵AE=2BF, ∴AC=3BF,故④正确. 故选 A.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,掌握等 腰三角形的性质三线合一是解题的关键.

二、填空题(共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 15. 如图, 点 D 在△ ABC 边 BC 的延长线上, CE 平分∠ACD, ∠A=80° , ∠B=40° , 则∠ACE 的大小是 60 度.

【考点】三角形的外角性质. 【分析】由∠A=80° ,∠B=40° ,根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得 到∠ACD=∠B+∠A,然后利用角平分线的定义计算即可. 【解答】解:∵∠ACD=∠B+∠A, 而∠A=80° ,∠B=4° , ∴∠ACD=80° +40° =120° . ∵CE 平分∠ACD, ∴∠ACE=60° , 故答案为 60 【点评】 本题考查了三角形的外角定理, 关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的 两内角的和.

16.点 P(1,2)关于直线 y=1 对称的点的坐标是(1,0) . 【考点】坐标与图形变化-对称. 【专题】计算题.

【分析】点 P(1,2)关于直线 y=1 对称的点与点 P 的连线平行于 y 轴,因而横坐标与 P 的横坐标相同,纵坐标与 2 的平均数是 1,因而纵坐标是 0. 【解答】解:点 P(1,2)关于直线 y=1 对称的点的坐标是(1,0) . 【点评】 本题考查了坐标与图形的变化﹣对称的知识; 解决本题的关键是正确理解如何作一 个点关于已知直线的对称点.

17.如图,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,连接 BD.请添加一个适当的条件 AB=CD,使 △ ABD≌△CDB. (只需写一个)

【考点】全等三角形的判定. 【专题】开放型. 【分析】先根据平行线的性质得∠ABD=∠CDB,加上公共边 BD,所以根据“SAS”判断 △ ABD≌△CDB 时,可添加 AB=CD. 【解答】解:∵AB∥CD, ∴∠ABD=∠CDB, 而 BD=DB, ∴当添加 AB=CD 时,可根据“SAS”判断△ ABD≌△CDB. 故答案为 AB=CD. 【点评】本题考查了全等三角形的判定:全等三角形的 5 种判定方法中,选用哪一种方法, 取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对 应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组 角,或找这个角的另一组对应邻边.

18.已知∠AOB=30° ,点 P 在∠AOB 的内部,P′与 P 关于 OA 对称,P″与 P 关于 OB 对称, 则△ OP′P″一定是一个等边三角形. 【考点】轴对称的性质. 【分析】根据轴对称的性质,结合等边三角形的判定求解.

【解答】解:∵P 为∠AOB 内部一点,点 P 关于 OA、OB 的对称点分别为 P′、P″, ∴OP=OP′=OP″且∠P′OP″=2∠AOB=60° , ∴△OP′P″是等边三角形. 故答案为:等边.

【点评】此题考查了轴对称的性质,对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点 所连的线段被对称轴垂直平分, 对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等, 对应的 角、线段都相等.

19.如图所示,直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A,分别过正方形的顶点 B、D 作 BF⊥a 于点 F,DE⊥a 于点 E,若 DE=8,BF=5,则 EF 的长为 13.

【考点】全等三角形的判定与性质;正方形的性质. 【专题】压轴题. 【分析】根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得 △ AFB≌△AED;然后由全等三角形的对应边相等推知 AF=DE、BF=AE,所以 EF=AF+AE=13. 【解答】解:∵ABCD 是正方形(已知) , ∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90° ; 又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90° , ∴∠FBA=∠EAD(等量代换) ; ∵BF⊥a 于点 F,DE⊥a 于点 E, ∴在 Rt△ AFB 和 Rt△ AED 中,





∴△AFB≌△AED(AAS) , ∴AF=DE=8,BF=AE=5(全等三角形的对应边相等) , ∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13. 故答案为:13. 【点评】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质.实际上,此题就是将 EF 的长度转 化为与已知长度的线段 DE 和 BF 数量关系.

三、解答题(共 7 小题,满分 63 分) 20.在如图所示的直角坐标系中,每个小方格都是边长为 1 的正方形,△ ABC 的顶点均在 格点上,点 A 的坐标是(﹣3,﹣1) . (1)将△ ABC 沿 y 轴正方向平移 3 个单位得到△ A1B1C1,画出△ A1B1C1,并写出点 B1 坐 标; (2)画出△ A1B1C1 关于 y 轴对称的△ A2B2C2,并写出点 C2 的坐标.

【考点】作图-轴对称变换;作图-平移变换. 【专题】作图题. 【分析】 (1)直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案; (2)利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案. 【解答】解: (1)如图所示:△ A1B1C1,即为所求;点 B1 坐标为: (﹣2,﹣1) ;

(2)如图所示:△ A2B2C2,即为所求,点 C2 的坐标为: (1,1) .

【点评】 此题主要考查了轴对称变换以及平移变换, 根据图形的性质得出对应点位置是解题 关键.

21.如图,BD 是∠ABC 的平分线,DE∥CB,交 AB 于点 E,∠A=45° ,∠BDC=60° ,求 △ BDE 各内角的度数.

【考点】三角形内角和定理;平行线的性质. 【专题】计算题. 【分析】 利用三角形的外角性质, 先求∠ABD, 再根据角平分线的定义, 可得∠DBC=∠ABD, 运用平行线的性质得∠BDE 的度数,根据三角形内角和定理可求∠BED 的度数. 【解答】解:∵∠A=45° ,∠BDC=60° , ∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15° . ∵BD 是∠ABC 的角平分线, ∴∠DBC=∠EBD=15° , ∵DE∥BC, ∴∠BDE=∠DBC=15° ; ∴∠BED=180° ﹣∠EBD﹣∠EDB=150° . 【点评】本题综合考查了平行线的性质及三角形内角与外角的关系,三角形内角和定理.

22.如图,在 Rt△ ABC 中,在斜边 AB 和直角边 AC 上分别取一点 D,E,使 DE=DA,延 长 DE 交 BC 的延长线于点 F.△ DFB 是等腰三角形吗?请说明你的理由.

【考点】等腰三角形的判定. 【分析】根据等腰三角形的性质,得出∠A=∠AED,根据对顶角相等得出∠AED=∠CEF, 由直角三角形的两个锐角互余,得出∠B=∠F,则 DB=DF,即可证明△ DFB 是等腰三角形. 【解答】证明:△ DFB 是等腰三角形. 理由是:∵DE=DA, ∴∠A=∠AED, ∵∠AED=∠CEF, ∵∠A=∠CEF, ∵∠ACB=∠ECF=90° , ∴∠A+∠B=∠CEF+∠F, ∴∠B=∠F, ∴DB=DF, ∴△DFB 是等腰三角形. 【点评】本题考查了等腰三角形的判定,以及直角三角形的两个锐角互余的性质,掌握等角 对等边是解题的关键.

23.如图,点 C,D 在线段 BF 上,AB∥DE,AB=DF,∠A=∠F,求证:BC=DE.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题. 【分析】先由平行线得出∠B=∠EDF,再由 ASA 证明△ ABC≌△FDE,得出对应边相等即 可. 【解答】证明:∵AB∥DE ∴∠B=∠EDF; 在△ ABC 和△ FDE 中,

, ∴△ABC≌△FDE(ASA) , ∴BC=DE. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质;证明三角形全等是解决问题 的关键.

24.如图:在△ ABC 中,∠C=90° ,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上, BD=DF; 求证: (1)CF=EB; (2)AB=AC+CF.

【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质. 【专题】证明题. 【分析】 (1)根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,可得点 D 到 AB 的距离=点 D 到 AC 的距离即 CD=DE.再根据 Rt△ CDF≌Rt△ EBD,得 CF=EB; (2)利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE,AC=AE,再将线段 AC 进行转化. 【解答】解: (1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=DC,

在 Rt△ DCF 和 Rt△ DEB 中,

, ∴Rt△ CDF≌Rt△ EBD(HL) , ∴CF=EB; (2)在△ ADC 与△ ADE 中,

, ∴△ADC≌△ADE(HL) , ∴AC=AE, ∴AB=AE+BE=AC+CF. 【点评】本题主要考查平分线的性质,全等三角形的性质与判定,由已知能够注意到点 D 到 AB 的距离=点 D 到 AC 的距离,即 CD=DE,是解答本题的关键.

25.已知:如图,在△ ABC、△ ADE 中,∠BAC=∠DAE=90° ,AB=AC,AD=AE,点 C、 D、E 三点在同一直线上,连接 BD. 求证: (1)△ BAD≌△CAE; (2)试猜想 BD、CE 有何特殊位置关系,并证明.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题;探究型. 【分析】要证 (1) △ BAD≌△CAE, 现有 AB=AC, AD=AE, 需它们的夹角∠BAD=∠CAE, 而由∠BAC=∠DAE=90° 很易证得. (2)BD、CE 有何特殊位置关系,从图形上可看出是垂 直关系,可向这方面努力.要证 BD⊥CE,需证∠BDE=90° ,需证∠ADB+∠ADE=90° 可由 直角三角形提供. 【解答】 (1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD 即∠BAD=∠CAE, 又∵AB=AC,AD=AE, ∴△BAD≌△CAE(SAS) .

(2)BD、CE 特殊位置关系为 BD⊥CE. 证明如下:由(1)知△ BAD≌△CAE, ∴∠ADB=∠E. ∵∠DAE=90° , ∴∠E+∠ADE=90° . ∴∠ADB+∠ADE=90° . 即∠BDE=90° . ∴BD、CE 特殊位置关系为 BD⊥CE. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质;全等问题要注意找条件,有些条件需在图形 是仔细观察,认真推敲方可.做题时,有时需要先猜后证.

26.如图(1) ,等边△ ABC 中,D 是 AB 边上的动点,以 CD 为一边,向上作等边△ EDC, 连接 AE. (1)求证:AE∥BC; (2)如图(2) ,将(1)中的动点 D 运动到边 BA 的延长线上,仍作等边△ EDC,请问是 否仍有 AE∥BC?证明你的猜想.

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【分析】 (1)证明△ ACE≌△BCD 推出∠ACB=∠EAC 即可证. (2)证明△ DBC≌△EAC 可推出∠EAC=∠ACB,由此可证.

【解答】解: (1)证明:∵∠ACB=60° ,∠DCE=60° , ∴∠BCD=60° ﹣∠ACD,∠ACE=60° ﹣∠ACD, ∴∠BCD=∠ACE, 在△ DBC 和△ EAC 中,





∴△DBC≌△EAC(SAS) , ∴∠EAC=∠B=60° . 又∵∠ACB=60° ∴∠EAC=∠ACB ∴AE∥BC. (2)结论:AE∥BC, 理由:∵△ABC、△ EDC 为等边三角形 ∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60° ∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE, 在△ DBC 和△ EAC 中,





∴△DBC≌△EAC(SAS) , ∴∠EAC=∠B=60° , 又∵∠ACB=60° ∴∠EAC=∠ACB ∴AE∥BC. 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质.关键是证明△ ACE≌△BCD.


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