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射影定理


所谓射影,就是正投影。直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理) :直角三角 形中, 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。 每一条直角边是这条直角边在斜边 上的射影和斜边的比例中项。[1] 公式: 如图,Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BD 是斜边 AC 上的高,则有射影定理如下: (1)BD?=AD·DC, (2)AB?=AD·AC , (3)BC?=CD·CA。 等积式(4) AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明)(5)AB?/BC?=AD/CD[1] 直角三角形射影定理的证明

一、 在△BAD 与△BCD 中,∵∠ABD+∠CBD=90°,且∠CBD+∠C=90°, ∴∠ABD=∠C, 又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD 即 BD?=AD·DC。其余同理可得可证[1] 有射影定理如下: AB?=AD·AC,BC?=CD·CA 两式相加得: AB?+BC?=(AD·AC)+(CD·AC) =(AD+CD)·AC=AC? 。[1] 用勾股定理证射影定理

∵AD?=AB?-BD?=AC?-CD?, ∴2AD?=AB?+AC?-BD?-CD?=BC?-BD?-CD?=(BC+BD)(BC-BD)-CD?=(BC+BD)CDCD?=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD. 故 AD?=BD×CD. 运用此结论可得:AB?=BD?+AD?=BD?+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC? =CD?+AD?=CD?+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。[1] 二、用三角函数证明 由等积法可知:AB×BC=BD×AC 在 Rt△ABD 和 Rt△ABC 中,tan∠BAD=BD/AD=BC/AB 故 AB×BC=BD×AC 两边各除以 tan∠BAD 得:AB2=AD×AC 同理可得 BC?=CD·CA 在 Rt△ABD 和 Rt△BCD 中 tan∠BAD=BD/AD, cot∠BCD=CD/BD 又∵tan∠BAD=cot∠BCD 故 BD/AD=CD/BD 得 BD2=AD×CD


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