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2015-2016学年高中数学 1.3.1第1课时 正弦函数的图象与性质课件 新人教B版必修4


第一章 基本初等函数

第一章 1.3
1.3.1

三角函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质

第1课时

正弦函数的图象与性质

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

思想方法技巧

3

易错疑难辨析

5

课 时 作 业

课前自主预习

平静的水面投下一颗石子,荡起阵阵水波;在空间中光 波、声波、电磁波无处不在,这些波传播的波动图与我们所学 的三角函数的图象有什么联系呢?

一、正弦函数 y=sinx 的图象画法 1.正弦函数图象的几何作法:(采用弧度制,x、y 均为实 数),步骤如下:

单位圆 ; (1)在 x 轴上任取一点 O1,以 O1 为圆心作________ 12 (2)从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成________ 等份(份数取
6 的倍数,份数越多、图象越精确);

π π (3)过圆上各点作 x 轴的垂线,可得对应于 0、6、3、?、2π 正弦 线; 的________ (4)相应的再把 x 轴上从原点 O 开始,把 0~2π 这段分成 12 ________ 等份;

正弦线 平移,使________ 正弦线 的起点与 x 轴上对应 (5)把角的________
的点重合; (6)用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来.

2.描点法:在要求不太高的情况下可用五点法作图,函数 y = sinx , x ∈ [0,2π] 的 图 象 上 有 五 点 起 决 定 作 用 , 它 们 是 ?3π ? ?π ? ? ,-1? ? ,1? (π,0) (0,0) (2π,0) , ?2 ? 、________ ________、__________ 、________、__________ ?2 ? 描出这五点后用光滑的曲线连接,其图象的形状基本上就确定 了.

正弦曲线 . 正弦函数的图象称作__________

二、正弦函数的性质

R 1.定义域:正弦函数 y=sinx 的定义域是________ . [-1,1] ,这 2.值域:正弦函数 y=sinx,x∈R 的值域是________
一点可从单位圆中正弦线的长小于或等于半径 1 得到,当 x= π π 1 2kπ+2(k∈Z)时,y 取最大值________,当 x=2kπ-2(k∈Z)时, -1 y 取最小值________ .

2kπ 3.周期性:y=sinx,x∈R 是周期函数,周期是________( k 2π ∈Z,k≠0),最小正周期为________ .

奇 函数,因为其图象是关 4.奇偶性:y=sinx,x∈R 是____ 坐标原点 对称的,因诱导公式 sin(-x)=______ -sinx也可得到. 于__________
(kπ,0)(k∈Z) , 正弦曲线是中心对称图形,其对称中心坐标为_____________ π x=kπ+2(k∈Z) 也是轴对称图形,对称轴方程是____________________.
5 . 单 调 性 : 函 数 y = sinx , x ∈ R 在 每 一 个 闭 区 间 ? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 2 2? ________________________ 上都是增函数,在每一个闭区间 ? ? π 3π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z) 2 2? ? _______________________ 上都是减函数. 在单调增区间上 y 从 -1 增大到 1,在单调减区间上 y 从 1 减小到-1.

π 1.下列函数中,周期为2的是( x A.y=sin2 x C.y=sin4

)

B.y=sin2x D.y=sin4x

[答案] D
2π π [解析] 函数 y=sin4x 的最小正周期 T= 4 =2,故选 D.

π 2.(2015· 河南新乡高一期末测试)函数 f(x)=sin(x-4)的图 象的一条对称轴方程是( π A.x=4 π C.x=-4 ) π B.x=2 π D.x=-2

[答案] C

π [解析] 解法一:当 x=-4时,函数 f(x)取最小值,故 x= π -4是函数 f(x)的图象的一条对称轴,故选 C. π π 解法二:令 x-4=2+kπ,k∈Z, 3π 得 x= 4 +kπ,k∈Z. π 当 k=-1 时,x=-4,故选 C.

3.下列函数不是奇函数的是( A.y=sinx C.y=sinx+2

)

B.y=sin2x 1 D.y=2sinx

[答案] C
[解析] π π π 当 x=2时, y=sin2+2=3, 当 x=-2时, y=sin(-

π 2)+2=1,∴函数 y=sinx+2 是非奇非偶函数.

1 π 4.函数 y=2sin(3x+4)的最小正周期为________.

[答案] 6π
2π 2π [解析] 最小正周期 T=|ω|= 1 =6π. 3

1 5.函数 y=2sin2x 取得最小值时 x 的集合为________. 3π [答案] {x|x=kπ+ 4 ,k∈Z}

3π [解析] 当 2x=2kπ+ 2 ,k∈Z, 3π 即 x=kπ+ 4 ,k∈Z 时, 1 1 函数 y=2sin2x 取得最小值-2.

6.不求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)sin14°与sin156°; (2)cos115°与cos260°; (3)sin194°与cos160°.

[解析] 利用三角函数单调性比较.
(1)∵sin156°=sin(180°-24°)=sin24°. ∵-90°<14°<24°<90°,

∵y=sinx在[-90°,90°]上是增函数,
∴sin14°<sin24°,即sin14°<sin156°.

(2)cos115°=cos(90°+25°)=-sin25°,
cos260°=cos(180°+80°)=-cos80°=-sin10°, ∵sin10°<sin25°,∴-sin10°>-sin25°, 即cos260°>cos115°. (3)sin194° = - sin14° , cos160° = - cos20° = - sin70°, ∵sin14°<sin70°,∴-sin14°>-sin70°, ∴sin194°>cos160°.

课堂典例讲练

五点法作正弦函数的图象 在[0,2π]内,作出函数y=2sinx的图象.
[解析] 按五个关键点列表: x 2sinx 0 π 2 2 π 0 3π 2 -2 2π 0

0 描点连线,如图所示.

[点评]

解答正弦函数问题常常要借助图象求解,而画图

主要应用“五点作图法”,要牢记五个关键点,熟练作出 y = sinx在一个周期内的图象.

在[0,2π]内,作出函数y=3-sinx的图象.
[解析] 按五个关键点列表: x sinx 3-sinx 0 0 3 π 2 1 2 π 0 3 3π 2 -1 4 2π 0 3

描点连线,如图所示.

正弦函数的值域 求下列函数的值域:

π π (1)y=sin(x+6),x∈[0,2]; π 5π (2)y=-2cos x+2sinx+3,x∈[6, 6 ]. π [分析] (1)先求 x+6的范围,再求其值域;
2

1 (2)化余弦为正弦,令 sinx=t,t∈[2,1],从而转化为关于 t 的二次函数.

π π π π 2π [解析] (1)由 y=sin(x+6), x∈[0, 2]可得(x+6)∈[6, 3 ], π π π 2π 函数 y=sinx 在区间[6,2]上单调递增;在[2, 3 ]上单调递减, 1 所以 ymin=2,ymax=1. 1 故所求值域为[2,1].

(2)y=-2(1-sin2x)+2sinx+3 =2sin2x+2sinx+1 12 1 =2(sinx+2) +2. 令 sinx=t, π 5π 1 ∵x∈[6, 6 ],∴2≤t≤1. 12 1 ∴ymax=2(1+2) +2=5; 1 12 1 5 ymin=2(2+2) +2=2. 5 故所求函数的值域为[2,5].

[点评] 求含有正弦函数的式子的最值,常见的方法有
(1) 可化为 y=Asin(ωx+φ) + B(A≠0) 的形式,利用正弦函数 的性质求最值; (2)转化成关于正弦函数的二次函数的形式,即y=Asin2x+ Bsinx+C,利用配方法求解.

求使下列函数取得最小值时 x 的集合,并求出函数的最小 值. (1)y=-2sinx,x∈R; 32 π (2)y=(sinx-2) -2,x∈[0,4].

[解析] (1)∵x∈R,sinx∈[-1,1], π ∴当 sinx=1,x=2+2kπ,k∈Z 时, y=-2sinx 取最小值-2. π 故函数 y=-2sinx 取得最小值时 x 的集合为{x|x=2+2kπ, k∈Z},最小值为-2.

π 2 (2)∵x∈[0,4],∴sinx∈[0, 2 ], 2 根据二次函数的图象可知,当 sinx= 2 , π 32 π 2 即 x=4时, 函数 y=(sinx-2) -2, x∈[0, 4]取得最小值( 2 32 3 3 2 3-6 2 -2) -2=4- 2 = 4 . 32 π 故函数 y=(sinx-2) -2,x∈[0,4]取得最小值时 x 的集合 3-6 2 π 为{4},最小值为 4 .

正弦函数单调性的应用
π 求函数 y=2sin(4-x)的单调递增区间.

π [分析] 先利用诱导公式化 y=2sin(4-x)为 y=-2sin(x- π π 然后引入变量 u=x-4, 最后利用正弦函数的单调性进行讨 4 ), 论.

π π [解析] ∵y=2sin(4-x)=-2sin(x-4), π ∴函数 y=2sin(4-x)的递增区间就是函数 π u=2sin(x-4)的递减区间. π π 3π ∴2kπ+2≤x-4≤2kπ+ 2 (k∈Z). 3π 7π 得 2kπ+ 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z). π ∴函数 y=2sin(4-x)的递增区间为: 3π 7π [2kπ+ 4 ,2kπ+ 4 ](k∈Z).

[点评] 讨论函数y=Asin(ωx+φ)的单调性的一般步骤:
(1)若ω<0,利用诱导公式二把y=Asin(ωx+φ)中x的系数化 为大于0的数; (2)引入变量u=ωx+φ(ω>0); (3)讨论函数y=sin u的单调性; (4)解关于x的不等式得出y=Asin(ωx+φ)的单调区间.

下列关系式中正确的是(

)

A.sin11°<cos10°<sin168° B.sin168°<sin11°<cos10° C.sin11°<sin168°<cos10° D.sin168°<cos10°<sin11° [答案] C

[解析] ∵sin168° =sin(180° -12° )=sin12° . cos10° =sin(90° -80° )=sin80° . 又∵函数 y=sinx
? π? 在?0,2?上是增函数, ? ?

∴sin11° <sin12° <sin80° , 即 sin11° <sin168° <cos10° .

易错疑难辨析

已知函数 y = asinx + 2, x∈R 的最大值为 3 ,求
实数a的值. [错解] ∵函数y=asinx+2,x∈R的最大值为3, ∴当sinx=1时,ymax=a+2=3,∴a=1. [辨析] 错解中忽视了对a>0,a<0两种情况进行讨论.

[正解]

若a>0时,当sinx=1时,函数y=asinx+2(x∈R),

取最大值a+2, ∴a+2=3,∴a=1;

若 a<0 ,当 sinx =- 1 时,函数 y = asinx + 2(x∈R) ,取得最
大值-a+2=3,∴a=-1. 综上可知,a的值为±1.

思想方法技巧

转化思想 π 5π 求函数 y=cos x+sinx, x∈[3,6 ]的最大值和最
2

小值.
[解析] y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx 12 5 =-(sinx-2) +4,

π 5π 1 ∵3≤x≤ 6 ,∴2≤sinx≤1. 1 5π 5 ∴当 sinx=2,即 x= 6 时,ymax=4; π 当 sinx=1,即 x=2时,ymin=1. 5 ∴故所求函数的最大值是4,最小值是 1.


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