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2016届高考数学大一轮复习 第4章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示课时提升练 文 新人教版


课时提升练(二十四)
一、选择题

平面向量基本定理及坐标表示

→ 1.已知点 M(5,-6)和向量 a=(1,-2),若MN=-3a,则点 N 的坐标为( A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0)

)

→ → 【解析】 MN=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设 N(x,y),则MN=(x-5,y+6)=(- 3,6),∴?
? ?x-5=-3 ?y+6=6 ?

∴?

?x=2 ? ? ?y=0

.

【答案】 A 2.若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c=( A.3a+b C.-a+3b )

B.3a-b D.a+3b

【解析】 3a-b=3(1,1)-(-1,1)=(3,3)-(-1,1)=(4,2). 【答案】 B → → 3? ?3 3.已知向量 m=(2,0),n=? , ?.在△ABC 中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D 是 BC ?2 2 ? → 边的中点,则|AD|等于( A.2 C.6 → 【解析】 (1,- 3). → ∴|AD|= 1+3=2. 【答案】 A 4.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a、3b-2a、c 的有向线段首尾相 接能构成三角形,则向量 c 为( A.(1,-1) C.(-4,6) 【解析】 4a=(4,-12),3b-2a=(-8,18),
1

) B.4 D.8

→ → → → → 1 3? ?3 由题意知AB+AC=2AD,∴AD= (AB+AC)=2m-2n=2(2,0)-2? , ?= 2 ?2 2 ?

) B.(-1,1) D.(4,-6)

设向量 c=(x,y),依题意得 4a+(3b-2a)+c=0, 所以 4-8+x=0,-12+18+y=0,解得 x=4,y=-6. 【答案】 D

?1 ? 5.已知平面向量 a=(1,x),b=? x-3,y-1?,若 a 与 b 共线,则 y=f(x)的最小值 ?2 ?
是( ) 9 A.- 2 7 C.- 2 B.-4 D.-3

1 2 1 7 ?1 ? 2 【解析】 因为 a 与 b 共线,故 y-1=? x-3?x,即:y= x -3x+1= (x-3) - . 2 2 2 2 ? ? 7 所以 y=f(x)的最小值为- . 2 【答案】 C → → → → 6. 在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且BP=2PC, 点 Q 是 AC 的中点, 若PA=(4,3), PQ=(1,5), → 则BC等于( ) B.(-6,21) D.(6,-21)

A.(-2,7) C.(2,-7) → → → → → → 【解析】 BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA =(6,30)-(12,9)=(-6,21). 【答案】 B

7.如图 4?2?5,在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC,BD 的交点,N 是线段 OD 的中 点,AN 的延长线与 CD 交于点 E,则下列说法错误的是( )

图 4?2?5 → → → A.AC=AB+AD → → → B.BD=AD-AB → → → 1 1 C.AO= AB+ AD 2 2

2

→ → → 5 D.AE= AB+AD 3 → → → 【解析】 由向量减法的三角形法则知,BD=AD-AB,排除 B;由向量加法的平行四边 → → → → → → → 1 1 1 形法则知,AC=AB+AD,AO= AC= AB+ AD.排除 A、C. 2 2 2 【答案】 D 8.△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b -a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为( A. π 6 π B. 3 ) π C. 2
2 2

D.
2

2π 3

【解析】 由 p∥q 知(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即 a +b -c =ab, ∴cos C=

a2+b2-c2 ab 1 π = = ,∴C= . 2ab 2ab 2 3

【答案】 B 9.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论: ①直线 OC 与直线 BA 平行; → → → ②AB+BC=CA; → → → ③OA+OC=OB; → → → ④AC=OB-2OA. 其中正确结论的个数是( A.1 C.3 1 1 2-1 1 【解析】 由题意 kOC= =- ,kBA= =- , -2 2 0-2 2 → → → → → → → ∴OC∥BA,①正确;∵AB+BC=AC,∴②错;∵OA+OC=(0,2)=OB,∴③正确;∵OB- → → 2OA=(-4,0),AC=(-4,0),∴④正确. 【答案】 C 10.若 α ,β 是一组基底,向量 γ =xα +yβ (x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基 底 α ,β 下的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 ) B.2 D.4

a 在另一组基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(

)

3

A.(2,0) C.(-2,0)

B.(0,-2) D.(0,2)

【解析】 ∵a 在基底 p、q 下的坐标为(-2,2),即 a=-2p+2q=(2,4),令 a=xm+

yn=(-x+y,x+2y).
? ?-x+y=2 ∴? ? ?x+2y=4

,即?

? ?x=0 ? ?y=2

.

∴a 在基底 m,n 下的坐标为(0,2). 【答案】 D → → 11.在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且BC=3CD,点 O 在线段 CD 上(与点 C、D → → → 不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则 x 的取值范围是( )

? 1? A.?0, ? ? 2? ? 1 ? C.?- ,0? ? 2 ?

? 1? B.?0, ? ? 3? ? 1 ? D.?- ,0? ? 3 ?

→ → → → → → → → 4 【解析】 由题意,设BO=λ BC,其中 1<λ < ,则有AO=AB+BO=AB+λ BC=AB+ 3 → → → → λ (AC-AB)=(1-λ )AB+λ AC. → → → → → ? 1 ? 又AO=xAB+(1-x)AC,且AB、AC不共线,于是有 x=1-λ ∈?- ,0?. ? 3 ? 【答案】 D → → → → → → → 12.非零不共线向量OA,OB,且 2OP=xOA+yOB,若PA=λ AB(λ ∈R),则点 Q(x、y) 的轨迹方程为( A.x+y-2=0 C.x+2y-2=0 ) B.2x+y-1=0 D.2x+y-2=0

→ → → → → → → → → → → 【解析】 PA=λ AB,得OA-OP=λ (OB-OA),即OP=(1+λ )OA-λ OB,又 2OP=xOA → ? ?x=2+2λ +yOB,∴? ? ?y=-2λ 消去 λ 得 x+y=2. 【答案】 A 二、填空题

4

→ → → → → → 13. (2014·湖北高考)若向量OA=(1, -3), |OA|=|OB|, OA·OB=0, 则|AB|=________. → → 【解析】 由题意, 可知△AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形, 且腰长|OA|=|OB → |= 10,由勾股定理得|AB|= 20=2 5. 【答案】 2 5 → → → → 2 1 |AC| 14.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足OC= OA+ OB,则 = 3 3 → |AB| ________. → → → 2 1 【解析】 ∵OC= OA+ OB, 3 3 → → → → → → 1 1 1 ∴OC-OA=- OA+ OB= (OB-OA), 3 3 3 → → → 1 |AC| 1 ∴AC= AB,∴ = . 3 → 3 |AB| 【答案】 1 3

15.P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n∈R}是两个 向量集合,则 P∩Q 等于________. 【解析】 P 中,a=(-1+m,1+2m);Q 中,b=(1+2n,-2+3n),
?-1+m=1+2n, ? 则? ?1+2m=-2+3n, ?

得?

?m=-12, ? ?n=-7. ?

此时 a=b=(-13,-23). 【答案】 {(-13,-23)} 16.已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),O 为坐标原点,则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 ________. → → → → → 【解析】 由 O、P、B 三点共线,可设OP=λ OB=(4λ ,4λ ),则AP=OP-OA=(4λ - → → → → → 4,4λ ),又AC=OC-OA=(-2,6),且AP与AC共线,所以(4λ -4)×6-4λ ×(-2)=0,解 → → 3 3 得 λ = ,所以OP= OB=(3,3),所以 P 点坐标为(3,3). 4 4
5

【答案】 (3,3)

6


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