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高中数学必修1函数及其表示题型总结


函数及其表示
考点一 求定义域的几种情况 ①若 f(x)是整式,则函数的定义域是实数集 R; ②若 f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集; ③若 f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合; ④若 f(x)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义,所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式

Card(A)=m,card(B)=n, m,n ? 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法

N

?

,则从 A 到 B 的映射个数为 n 。简单说成“前指后底” 。

m

1. (2009 江西卷文)函数 y ? A. [?4, 1] 解析

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 ( x B. [?4, 0) C. (0, 1] D. [?4, 0) ? (0, 1]



x?0 ? 由? 2 得 ?4 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 ,故选 D. ?? x ? 3 x ? 4 ? 0
ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

2. (2009 江西卷理)函数 y ? A. (?4, ? 1) 解析 B. (?4, 1)

的定义域为 D. (?1,1]

(

)

C. (?1, 1)

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ?? ? ?1 ? x ? 1 .故选 C 由? 2 ? 4 ? x ? 1 ? x ? 3 x ? 4 ? 0 ? ?

3.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x 解析 由 y ? B. f ( x) ?
1 x

1 有相同定义域的是 x

(

)

C. f ( x) ?| x |

D. f ( x) ? ex

1 1 可得定义域是 x ? 0. f ( x) ? ln x 的定义域 x ? 0 ; f ( x) ? 的定义域是 x ≠0; f ( x) ?| x | x x
1

的定义域是 x ? R; f ( x) ? e x 定义域是 x ? R 。故选 A. 4.(2007 年上海)函数 y ?
lg( 4 ? x ) 的定义域是 x?3


2

答案

?x x ? 4 且 x ? 3 ?
x ?1 ? 1 ? x

5.求下列函数的定义域。①y= x ? 2 ?

?x ?1? .③y= x ? 2 .②y=
x ?x

6.已知函数 f(x)的定义域为 ?1,5? ,求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。 方法二 函数概念的考察 )A.y= 5

1. 下列各组函数中表示同一函数的是( C. y ?

x
0

5

和y?

x
0

2

B.y=ln e 和 y ? e

x

ln x

?x ? 1??x ? 3? 和y ? ?x ? 3? ?x ? 1?

D. y ? x 和y ?

1

x

2.函数 y=f(x)的图像与直线 x=2 的公共点个数为 A. 0 个 B. 1 个
2

C. 0 个或 1 个

D. 不能确定

3.已知函数 y= x ? 2 定义域为 ?? 1,0.1,2? ,则其值域为 方法三 分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域 2x+2 x ? ?? 1,0? 1 求函数 f(x)=
? 1 x 2

x ? ?0,2? x ? ?2,???

的定义域和值域

3

2(2010 天津文数)设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) ,

( x )? x?4, x? g ( x ), f ( x) ? {g g ( x )? x, x? g ( x ). 则 f ( x) 的值域是

9 ? 9 ? ? 9 ? (A) ? ? , 0? ? (1, ??) (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ?? ,0? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?

? x 2 ? 2 ? ( x ? 4), x ? x 2 ? 2 ? x 2 ? 2, x ? ?1或x ? 2 ? ? 【解析】依题意知 f ( x) ? 2 , f ( x) ? 2 2 ? ? ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2 ? x ? 2 ? x, ?1 ? x ? 2

ⅱ求分段函数函数值
?log 3 x, x ? 0 1 3. (2010 湖北文数)3.已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f ( f ( )) ? 9 ?2 , x ? 0

A.4

B.

1 4
1 9

C.-4
1 9

D1 9

1 4
1 4

【解析】根据分段函数可得 f ( ) ? log3 ? ?2 ,则 f ( f ( )) ? f (?2) ? 2?2 ? ,所以 B 正确.
2

ⅲ解分段函数不等式
? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 f ( x ) ? 4.(2009 天津卷文)设函数 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ? ? x ? 6, x ? 0



A. (?3,1) ? (3,??) 答案 A 解析

B. (?3,1) ? (2,??)

C. (?1,1) ? (3,??)

D. (??,?3) ? (1,3)

由已知,函数先增后减再增当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3,

解得 x ? 1, x ? 3 。当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3
? x 2 ? 4 x, 5. (2009 天津卷理)已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x , x?0 x?0

若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a D (??, ?2) ? (1, ??)

的取值范围是 A (??, ?1) ? (2, ??)

B (?1, 2)

C (?2,1)

解析:由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a 2 ? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。
?1 , x?0 ? ?x 6.(2009 北京理)若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3

1 则不等式 | f ( x) |? 的解集为____________. 3

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 1 ? 1 ? ? x x 解析 (1) 由 | f( )| . 2) 由 | f( )| x ? ? ??1? 0 ?1 x? . x ? ??1 1? 3? ? x 0? ( 1 ? ?? 1 ? 1 ? 3 ?? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? ?x 3 ?? 3 ? 3 ??3?
1 ∴不等式 | f ( x) |? 的解集为 ?x | ?3 ? x ? 1? ,∴应填 ??3,1? . 3

?log 2 x, x ? 0, ? 7。 (2010 天津理数)若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1 ? ? 2

(A) (-1,0)∪(0,1) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) -1)∪(0,1)

(C) (-1,0)∪(1,+∞) (D) (-∞,

【答案】C 由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论。

?a ? 0 ?a ? 0 a?0 a<0 ? ? ? ? ? ? 或?1 ? a ? 1或-1 ? a ? 0 f (a) ? f (?a) ? ?log a ? log a 或 ?log (?a) ? log (?a) ? ? 1 2 1 1 2 ?a a? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?a
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于 0,同 事要注意底数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错。 ⅳ解分段函数方程
3

?3x , x ? 1, 8. (2009 北京文)已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?? x, x ? 1,

.

.w

解析

5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算的 考查.

?x ? 1 ?x ? 1 ? x ? log 3 2 , ? 由? x 无解,故应填 log3 2 . ?3 ? 2 ?? x ? 2 ? x ? ?2

方法四 求函数的解析式 1.求下列函数的解析式
1? ? ① 已知 f ? x ? ? ? x? ?

x

3

?

1

x

3

, 求f ( x).

?2 ? ② 已知f ? ? 1? ? lg x,求f ( x). ?x ?

③ 已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).
?1? ④ 已知 f(x)满足 2 f ?x ? ? f ? ? ? 3x. 求 f(x). ? x?

方法五 函数图像的考察 1. (2009 山东卷理)函数 y ?
e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y y

(

).

y 1 O 1 x 1

y 1 x O D 1 x

1 O1 x O 1

A

B

C

4

解 析

函 数 有 意 义 , 需 使 e x ? e? x ? 0 , 其 定 义 域 为

?x | x ? 0?

, 排 除 C,D, 又 因 为

e x ? e? x e2 x ? 1 2 y ? x ?x ? 2x ? 1? 2x ,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A. e ?e e ?1 e ?1

2.( 2009 广 东 卷 理 ) 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲 车、乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正 确的是 ( ) B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 D. t 0 时刻后,乙车在甲车前面

A. 在 t1 时刻,甲车在乙车前面 C. 在 t 0 时刻,两车的位置相同 解析

由图像可知,曲线 v甲 比 v乙 在 0~ t 0 、0~ t1 与 x 轴所围成图形面积大,
y

则在 t 0 、 t1 时刻,甲车均在乙车前面,选 A. 3.(2009 江西卷文)如图所示,一质点 P( x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动, 速度大小不变,其在 x 轴上的投影点 Q( x, 0) 的运动速度 V ? V (t ) 的图象 大致为 V (t ) ( )

P( x, y)

O

Q( x,0)

V (t )

V (t )

V (t )

O

A

t

O

t
B

O

t O
C D

t

解析

由图可知, 当质点 P( x, y) 在两个封闭曲线上运动时, 投影点 Q( x, 0) 的速度先由正到 0、 到负数,

再到 0,到正,故 A 错误;质点 P( x, y) 在终点的速度是由大到小接近 0,故 D 错误;质点 P( x, y) 在开 始时沿直线运动,故投影点 Q( x, 0) 的速度为常数,因此 C 是错误的,故选 B . 4(2010 山东理数)(11)函数 y=2x - x 2 的图像大致是

5

1 【解析】因为当 x=2 或 4 时,2x - x 2 =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2x - x 2 = ? 4<0 ,故排除 D,所 4

以选 A。 5(2010 安徽文数)设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图像可能是

【解析】当 a ? 0 时, b 、 c 同号, (C ) (D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0, ?

b ? 0 ,选项(D)符合 2a

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a ? 0 或 a ? 0 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 方法六 映射概念的考察 1. 设 f :x? A. ?

x

2

是集合 A 到集合 B 的映射,如果 B= ? 1,2? ,则 A∩B=( ) C. ? 或 ?2? D. ? 或 ? 1?

B. ? 1?

2 集合 M= ?a, b, c?,N= ?? 1,0.1? 映射 f: M ? N 满足 f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射 f: M ? N 的个数是( ) A.4 B.5 C. 6 D. 7 个不同的映射。

3 集合 M= ?a, b, c?到集合 N= ?? 1,0.1? 一共有 方法七函数值域和最值的求法 1.利用二次函数在有限区间上的范围求值域 2.分离常数法 3.换元法 4.数形结合法 求函数 y=
3x ? 1 的值域 x?2

求函数 y=

x

2

? 6 x ? 5 的值域

求函数 y= x ? 4 1 ? x 的值域 求函数 y= x ? 1 ? x ? 4 的值域
6

5.判别式法 方法八

求函数 y=

2x ? x?2

2

x

2

? x ?1

的值域

函数奇偶性和周期性的考察 )

1.(2009 全国卷Ⅰ理)函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( A. f ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) 答案 B. f ( x) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数

D 解析 ? f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,

? f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1), f (? x ? 1) ? ? f ( x ? 1) ,

? 函 数 f ( x) 关 于 点 (1, 0 ) , 及 点 (? 1, 0 ) 对 称 , 函 数 f ( x) 是 周 期 T ? 2[1? (? 1) ] ? 的 4 周期函
数.? f (? x ? 1 ? 4) ? ? f ( x ? 1 ? 4) , f (? x ? 3) ? ? f ( x ? 3) ,即 f ( x ? 3) 是奇函数。故选 D
?log 2 (1 ? x ), x ? 0 2.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

则 f(2009)的值为 A.-1 答案 B. 0 C.1 D. 2

(

)

C 解析 由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1, f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,

所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C.
? f ( x) ,且当 3.(2009 江西卷文)已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2)
x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log2 ( x ?1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 )

( A. ? 2 答案 方法九 C 解析 B. ? 1

) C. 1 D. 2

2 f (?2008) ? f (2009) ? f (0) ? f (1) ? log1 2 ? log2 ? 1,故选 C.

函数奇偶性和对称性考察
2? x 的图像 2? x
7

1.(2009 全国卷Ⅱ文)函数 y ? log 2





(A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 答案

(B)关于主线 y ? ? x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称

A 解析 由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又 f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图像关于原

点对称,选 A。 2. (2010 重庆理数)(5) 函数 f ? x ? ? A. 关于原点对称 解析: f (? x) ? 方法十
4x ? 1 的图象 2x

B. 关于直线 y=x 对称

C. 关于 x 轴对称

D. 关于 y 轴对称

4?x ? 1 1 ? 4 x ? ? f ( x) 2?x 2x

? f ( x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称

函数奇偶性和单调性的考察

1.(2009 山东卷文)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) 答案 ).

B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

D 解析 因为 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为周期的周期

函数 , 则 f (?25) ? f (?1) , f (80) ? f (0) , f (11) ? f (3) , 又因为 f ( x) 在 R 上是奇函数, f (0) ? 0 , 得
f (80) ? f (0) ? 0

,

f (?25) ? f (?1) ? ? f (1)

,





f( ? x 4 ?

)

?得 f

(x

f (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) ,又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f (1) ? f (0) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 ,即 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D.

2.(2009 全国卷Ⅱ文)设 a ? lg e, b ? (lg e)2 , c ? lg e, 则 (A) a ? b ? c 答案 (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b

( (D) c ? b ? a



1 B 解析 本题考查对数函数的增减性,由 1>lge>0,知 a>b,又 c= lge, 作商比较知 c>b,选 B。 2 1 3.(2009 辽宁卷文)已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ?1) < f ( ) 的 x 取值范围 3


1 2 (A ) ( , ) 3 3 1 2 B.[ , ) 3 3 1 2 C.( , ) 2 3
8

(

) D.[
1 2 , ) 2 3

答案 解析

A

1 3

1 由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|)∴得 f(|2x-1|)<f( ),再根据 f(x)的单调性得|2x-1|< 3 1 2 解得 <x< 3 3

4. (2009 陕西卷文) 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足: 对任意的 x1 , x2 ?[0, ??)( x1 ? x2 ) , 有 则 () B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0. x2 ? x1

(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3) 答案 A 解析

由 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 等价,于

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 则 f ( x) 在 x2 ? x1

x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) 上单调递增, 又 f ( x) 是偶函数,故 f ( x) 在 x1 , x2 ? (0, ??]( x1 ? x2 ) 单调递减.且满足 n ? N * 时, f (?2) ? f (2) , 3>2 ? 1 ? 0 ,得
f (3) ? f (?2) ? f (1) ,故选 A.

5.(2009 陕西卷理)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意 的 x1 , x2 ? (??,0]( x1 ? x2 ) ,有 ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 . 则当 n ? N * 时,有 (A) f (?n) ? f (n ?1) ? f (n ? 1) C. C. f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ?1) 答案 C ( B. f (n ? 1) ? f (?n) ? f (n ? 1) D. f (n ? 1) ? f (n ?1) ? f (?n) )

解析:x1 , x2 ? ( ??, 0]( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( f ( x2 ) ? f ( x1 )) ? 0 ? x2 ? x1时,f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x )在( ??, 0]为增函数 f ( x )为偶函数 ? f ( x )在(0, ? ?]为减函数 而n+1>n>n-1>0, ? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 1) ? f ( ?n) ? f (n ? 1)

6.(2009 江苏卷)已知 a ? 关系为 解析 .

5 ?1 ,函数 f ( x) ? a x ,若实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 n 的大小 2

a?

5 ?1 ? (0,1) ,函数 f ( x) ? a x 在 R 上递减。由 f (m) ? f (n) 得:m<n 2
9

2 3 2 3 5 2 5 2 5 7. (2010 安徽文数) (7)设 a ? ,则 a,b,c 的大小关系是 ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( ) 5 5 5

(A)a>c>b
2 5

(B)a>b>c

(C)c>a>b

(D)b>c>a

2 7.A【解析】 y ? x 在 x ? 0 时是增函数,所以 a ? c , y ? ( ) x 在 x ? 0 时是减函数,所以 c ? b 。 5

方法十一抽象函数的解法 1.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有
5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( f ( )) 的值是 2 1 A.0 B. 2

( C.1 D.
5 2

)

答案

A 解析 令 x ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 ? f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0 ;令 x ? 0 ,则 f (0) ? 0 2 2 2 2 2 2 2 2 x?1 f ( x ) ,所以 x

由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) 得 f ( x ? 1) ?

5 3 5 3 5 3 5 1 5 f ( ) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? ? 2 f ( ) ? 0 ? f ( f ( )) ? f (0) ? 0 ,故选择 A。 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2
2.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方 程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. 答案 -8 解析 因为定义在 R 上的奇函数,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 4) ? f (? x) ,所以, 由

f ( x) 为奇函数,所以函数图象关于直线 x ? 2 对称且 f (0) ? 0 ,由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以

函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f ( x) 在区间[-2,0]上也是增函数. 如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,不妨设 x1 ? x2 ? x3 ? x4 由 对称性知 x1 ? x2 ? ?12 x3 ? x4 ? 4 所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ?12 ? 4 ? ?8
y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

10

方法十二 对数函数的考察 3(2010 全国卷 1 文数)(7)已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是 (A) (1, ??) (B) [1, ??) (C) (2, ??) (D) [2, ??)

1 ? 2 ,从而错选 a 1 1 D,【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? ,所以 a+b= a ? 又 0<a<b,所以 a a

C【命题意图】做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+b= a ?

0<a<1<b, 令 f (a ) ? a ?

1 2 由 “对勾” 函数的性质知函数 f (a ) 在 a ?(0,1)上为减函数, 所以 f(a)>f(1)=1+1=2, a

即 a+b 的取值范围是(2,+∞).
?0 ? a ? 1 ?0 ? x ? 1 ? ? 【解析 2】由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得: ?1 ? b ,利用线性规划得: ?1 ? y ,化为求 z ? x ? y 的取值 ? ab ? 1 ? xy ? 1 ? ?

范围问题, z ? x ? y ? y ? ? x ? z , y ?

1 1 ? y? ? ? 2 ? ?1 ? 过点 ?1,1? 时 z 最小为 2,∴(C) (2, ??) x x

4(2010 全国卷 1 理数) (10)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??)

方法十三函数创新题的解法 1.(2009 浙江理)对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f ( x) 构成的集合:?x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 , 有 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中正确的是 A.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2
11

(

)

B.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

C.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 D.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ?2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 答案 C 解析 对 于 ?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f(x ) ? (x ? 1? 2

x ) 即 有 ?? ? 1,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?? ,令 x2 ? x1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? k ,有 ?? ? k ? ? ,不妨设 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,即有 ??1 ? k f ? ?1 , ??2 ? kg ? ?2 , x2 ? x1

因此有 ??1 ? ?2 ? k f ? kg ? ?1 ? ?2 ,因此有 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 . 2.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 对称。据此可推测,对任意 2a

的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 ( A. ?1, 2? 答案 即得. D 解析 B ?1, 4? ) D ?1,4,16,64?

C ?1, 2,3, 4?

对方程 m[ f ( x)]2 ? nf ( x) ? P ? 0 中 m, n, p 分别赋值求出 f ( x) 代入 f ( x) ? 0 求出检验

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