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高二数学圆锥曲线专题((文科)


高二数学(文科)专题复习(十二)圆锥曲线
一、选择题 1. 设双曲线以椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲 25 9
) B. ?

线的渐近线的斜率为( A. ? 2

4 3

C. ?

1 2

D. ?

3 4

2. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和 等于 5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

3.从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 中的 m 和 n,则能组成 m2 n2

落在矩形区域 B={(x,y)| |x|<11 且|y|<9}内的椭圆个数为( ) A.43 B. 72 C. 86 D. 90 4. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( (A) ) (C) 2 ? 2 (D) 2 ? 1

2 2

(B)

2 ?1 2

5. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 M 在双曲线上且 MF1 ? x 轴,则 F1 到直线 6 3 ) F2 M 的距离为(
(A)
3 6 5

(B)

5 6 6

(C)

6 5

(D)

5 6

x2 y2 6.已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A, a b
△OAF 的面积为 A.30? 1 题号 答案

a2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为( 2
B.45? 2 3 C.60? 4 5

) D.90? 6

二、填空题

??? ? ??? ? 1 2 OA ? OB 7. 直线 y=x+b(b≠0)交抛物线 y ? x 于 A、 B 两点,O 为抛物线的顶点, =0, 2
则 b=_______. 8.椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A, B 两点, 过 AB 中点 M 与坐标原点的直

线的斜率为

m 2 ,则 的值为 n 2

9.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,若

y1 ? y2 ? 2 2, 则 AB 的值为
10.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 动点 P 的轨迹为椭圆;
2 ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? (OA ? OB ), 则 2

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
(写出所有真命题的序号)

其中真命题的序号为 三、解答题

x2 y 2 11.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,且抛物 a b
线与双曲线的一个交 P(

3 , 6 )点,求抛物线和双曲线方程。 2

12.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA, 垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M.当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.

高二数学(文科)专题复习(十二)圆锥曲线答案
一、选择题 1. C 二、填空题 7. 2 三、解答题 11. 抛物线 : y 2 ? 4 x 双曲线: 4 x ?
2

2.B

3. B

4. D

5.C

6.D

8.

2 2

9. 6

10.⑶⑷

4y2 ?1 3
p p ,于是 4+ =5, ∴p=2. 2 2

12.(1) 抛物线 y2=2px 的准线为 x=-

∴抛物线方程为 y2=4x. (2)∵点 A 是坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴kFA= 则 FA 的方程为 y= ∴N 的坐标(

4 3 ;MN⊥FA, ∴kMN=- , 3 4

4 3 8 4 (x-1),MN 的方程为 y-2=- x,解方程组得 x= ,y= , 3 4 5 5

8 4 , ). 5 5

(1) 由题意得, ,圆 M.的圆心是点(0,2), 半径为 2, 当 m=4 时, 直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离. 当 m≠4 时, 直线 AK 的方程为 y= 圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d= ∴当 m>1 时, AK 与圆 M 相离; 当 m=1 时, AK 与圆 M 相切; 当 m<1 时, AK 与圆 M 相交.

4 (x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0, 4?m

2m ? 8 16 ? (m ? 4) 2

,令 d>2,解得 m>1

高二数学专题复习(十三) 圆锥曲线(文科)
一、选择题

x2 y 2 o 1.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 的直线 a b
与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A. (1, 2] B. (1, 2) C. [2, ??) D. (2, ??) 2.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ? 2
2 2

B. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2 C. ? 4 D. 4



3. 已知双曲线 3x ? y ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距 离之比等于( ) A.

2

B.

2 3 3

C. 2

D.4

x2 2 4.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外 3 一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 ( ) A.2 3 B.6 C.4 3 D.12
5.已知两定点 A? ?2,0? , B ?1,0? ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围 的图形的面积等于( A. 9? B. 8? ) C. 4?
2

D. ?

6.直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线, 垂足分别为 P, Q ,则梯形 APQB 的面积为( ) A. 48 题号 1 答案 二、填空题 B. 56 2 3 C. 64 4 D. 72 5 6

7.抛物线 y 2 ? 4 x 的经过焦点弦的中点轨迹方程是 8. 以 y= ? 3 x,为渐近线的双曲线的离心率为____________ 9.抛物线 C: y ? 8x ,一直线 l : y ? k ( x ? 2) 与抛物线 C 相交于 A、B 两点,设 m ? AB ,
2

则 m 的取值范围是

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有下列命题: 10.对于椭圆 16 9 7 9
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 . 三、解答题 11.已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) 。 (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦 点且过点 P? 的双曲线的标准方程。

x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线 C2: ( y ? m)2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、C2 的公共弦 AB 12. 已知椭圆 C1: 4 3
过椭圆 C1 的右焦点. (Ⅰ)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (Ⅱ)是否存在 m 、 p 的值,使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上?若存在,求出符合条 件的 m 、 p 的值;若不存在,请说明理由.

高二数学(文科)专题复习(十三)圆锥曲线答案
一、选择题 1. C 二、填空题 2.D 3. C 4. C 5.C 6.A

7. y 2 ? 2 x ? 2 9. (8,+∞) 三、解答题 11. 解: (I) 由题意, 可设所求椭圆的标准方程为

8.

2 2 或2 3

10. ⑴⑵

x2 y2 ? 1 (a ? b ? 0) , + 其半焦距 c ? 6 。 a 2 b2
∴a ? 3 5 ,

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ,
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 45 ? 36 ? 9 ,故所求椭圆的标准方程为 P?(2,5) 、 F1 ' (0,-6) 、 F2 ' (0,6)
设所求双曲线的标准方程为
2

x y2 ? 1; + 45 9

(II)点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为:

x2 a1
2

-

y2 b1
2

? 1 (a1 ? 0, b1 ? 0) ,由题意知半焦距 c1 ? 6 ,

2a1 ? | P' F1 '| ? | P' F2 '| ? 112 ? 2 2 ? 12 ? 2 2 ? 4 5 ,
b1 ? c1 ? a1 ? 36 ? 20 ? 16 ,故所求双曲线的标准方程为
2 2 2

∴ a1 ? 2 5 ,

y 2 x2 ? 1。 20 16

点评:本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运 算能力 12.解 (Ⅰ)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,直线 AB 的方程为 3 3 x=1,从而点 A 的坐标为(1, )或(1,- ). 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p ,即 p ? . 4 8 9 此时 C2 的焦点坐标为( ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16 (Ⅱ)解法一 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
? y ? k ( x ? 1) ? 由 ?x2 y2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ? ? 1 ? 3 ? 4

……①

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2=
8k 2 3 ? 4k 2

.
y A O B x

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是过 C2 的焦点的弦, 1 1 1 所以 AB ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) ? 4 ? ( x1 ? x 2 ) ,且 2 2 2

p p ) ? ( x2 ? ) ? x1 ? x2 ? p . 2 2 1 从而 x1 ? x2 ? p ? 4 ? ( x1 ? x2 ) . 2 4?6p 8k 2 4?6p ? 所以 x1 ? x 2 ? ,即 . 2 3 3 ? 4k 3 AB ? ( x1 ?
解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 . 2 1 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k . 3 3 即m ? 当m ?
6 6 或m ? ? . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

当m ? ?

解法二 当 C2 的焦点在 AB 时,由(Ⅰ)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) .
8 ? 2 8 ?( y ? m) ? x 2 由? 3 消去 y 得 (kx ? k ? m) ? x . 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

……①

2 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上, 3 2 1 2k 8 所以 m ? k ( ? 1) ,即 m ? ? k .代入①有 (kx ? ) 2 ? x . 3 3 3 3

即 k 2 x 2 ? ( k 2 ? 2) x ?

4 3

4k 2 ?0. 9

……②
4( k 2 ? 2) 3k 2

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 则 x1,x2 是方程②的两根,x1+x2= .

由 ?x2

? y ? k ( x ? 1) ? 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . y2 ? ?1 ? 3 ? 4
8k 2 3 ? 4k 2

……③

由于 x1,x2 也是方程③的两根,所以 x1+x2= 从而
4( k 2 ? 2) 3k 2

.

. 解得 k 2 ? 6, 即k ? ? 6 . 3 ? 4k 2 2 1 因为 C2 的焦点 F ?( , m) 在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k . 3 3 = 即m ? 当m ?
6 6 或m ? ? . 3 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

8k 2

当m ? ?

解法三 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2), 2 因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1,0) ,又是过 C2 的焦点 F ?( , m) , 3 p p 1 1 所以 AB ? ( x1 ? ) ? ( x 2 ? ) ? x1 ? x 2 ? p ? (2 ? x1 ) ? (2 ? x 2 ) . 2 2 2 2 2 16 即 x1 ? x 2 ? (4 ? p) ? . 3 9 由(Ⅰ)知 x1 ? x 2 ,于是直线 AB 的斜率 k ? 且直线 AB 的方程是 y ? ?3m( x ? 1) ,
y 2 ? y1 m ? 0 ? ? 3m , 2 x 2 ? x1 ?1 3

……① ……②

所以 y1 ? y 2 ? ?3m( x1 ? x 2 ? 2) ?

2m . 3

……③ ……④

2 2 ? y ? y1 ?3x ? 4 y1 ? 12 ? 0. 又因为 ? 1 ,所以 3( x1 ? x 2 ) ? 4( y1 ? y 2 ) ? 2 2 2 x 2 ? x1 ? ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12

将①、②、③代入④得 m 2 ? 当m ?

6 6 2 或m ? ? ,即 m ? . 3 3 3

6 时,直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 时,直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ?1) . 3

当m ? ?


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