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2014高考数学必考点解题方法秘籍 求异思维 理


2014 高考理科数学必考点解题方法秘籍:求异思维
所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式.求异思维又叫发 散思维,它具有不落俗套、标新立异、不拘一格的特点.因此,用求异思维解题有利于培养 思维的多向性、灵活性和独特性. 在平面解析几何中,培养学生的求异思维能力,要注意以下几个方面. (一)变换思维方向 解证解析几何习题,常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面,甚至会到“山穷水尽疑无 路”的地步.这时,若能变换思维角度,多方位思考,多渠道辟径,就会超过思维障碍,呈 现“柳暗花明又一村”的美景. 例 1 已知点 A(1,-1)、B(7,2),以 A 为圆心、8 为半径作⊙A,以 B 为圆心,6 为半径作 ⊙B,求这两个圆外公切线交点 P 的坐标.

【分析】 如图 1-4.解本题的自然思路是,先求出两条外公切线的方程,再解方程求出交 点坐标.但这种解法是入手容易出手难,由于运算量过大,使思维陷入困境.如果能换一个 角度思考,联想到公切

径之比),那么便可用线段定比分点公式,使问题获得巧解. 【解】 如图 1-4,设 M、N 是一条外公切线与两个圆的切点,连结 AB、BP,则 A、B、P 三 点共线,再连结 AM、BN,则 AM⊥MP、BN⊥MP. ∴ BN∥AM.

设点 P 的坐标为(x,y),则由线段定比分点公式,得

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故点 P 的坐标为(25,11). 例 2 如图 1-5,直线 y=kx+b 与圆 x2+y2=1 交于 B、C 两点,与双曲线 x2-y2=1 交于 A、D 两点,若 B、C 恰好是线段 AD 的三等分点,求 k 与 b 的值.

【分析】 如图 1-5,解本题的自然思路是,由|AB|=|BC|=|CD|入手,先计算出|AB|、|BC|、 |CD|(即用 k、b 表示),然后解方程组求得 k、b 的值.但由于线段 AB、CD 的端点不在同一曲 线上,从而上述解法运算相当麻烦.如果变换思考角度,由|AB|=|CD|出发,可得线段 BC 与 AD 的中点重合,进而可用韦达定理,列出 k、b 的一个关系式,再

【解】 如图 1-5,把 y=kx+b 代入 x2-y2=1 中,整理,得 (1+k2)x2+2bkx+b2-1=0 ① 从而 由韦达定理,得

把 y=kx+b 代入 x2-y2=1 中,整理,得 (1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 ②

∵ ∴

|AB|=|CD|, AD 与 BC 的中点重点.

解之,得 k=0 或 b=0. 当 k=0 时,方程①化为 x2=1-b2,

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(二)一题多解 在解析几何中,进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式. 例 3 已知直线 l 过坐标原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1, 0)和点 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线 C 的方程.(1994 年全国高考理 科试题) 【分析 1】 设直线 l 的方程为 y=kx,抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0),先求出 A、B 关于 l 对称的点 A′、B′的坐标(用 k 表示),再代入抛物线 C 的方程中,可得 k、p 的方程组,最 后解方程组即可. 【解法 1】 如图 1-6.由已知可设抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0).

由于直线 l 不与两坐标轴重合,故可设 l 的方程为 y = 0) .

kx(k



① 设 A′、B′分别是 A、B 关于 l 的对称点,则由 A′A⊥l 可得 直线 AA′的方程为

将①、②联立,解得线段 AA′的中点 M 的坐标为

分别把 A′、B′的坐标代入抛物线 C 的方程中,得

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由③÷④,消去 p,整理,得 k2-k-1=0 . ⑤ 又 0 . 由 ④ 知 k >



【分析 2】

如图 1-7,设直线 l 的倾斜角为α ,则 l 的斜率为

用α 的三角函数表示点 A′、B′的坐标,再把这些坐标用 k 表示,以下同解法 1.

l 的斜率为 k. ∵ |OA′|=|OA|=1,

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|OB′|=|OB|=8,∠xOA′=-(π -2α ),

∴ 由三角函数的定义,得 A′的坐标为 xA=|OA′|cos∠xOA′=-cos2α ,

yA=|OA′|sin∠xOA′=-sin2α

以下同解法 1,从略.

又|OB′|=8,|OA′|=1,从而此题可设极坐标方程去解. 【解法 3】 如图 1-7, 以 O 为极点, Ox 为极轴建立极坐标系, 把 x=ρ cosθ 代入方程 y2=2px(p >0)中,得抛物线的坐标方程为

由已知可设点 B′的极坐标为(8,α )、A′的极坐标为(1,

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直线 l 平分∠BOB′,

=8,OA′⊥OB′列出 p、t1、t2 的方程组,进而去求解.



|OA′|=|OA|=1,|OB′|=|OB|=8,

又由 OA′⊥OB′,得 kOA·kOB=-1,

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【分析 5】

如图 1-7,由于|OA′|=1,|OB′|=8,∠A′

【 解 法 5 】

如 图 1 - 7 . 把 直 角 坐 标 系 视 为 复 平 面 , 设 点 A ′

得点 B′对应的复数为(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i. ∴ 点 A′、B′的坐标为 (x1,y1)、(-8y1,8x1). 把它们分别代入抛物线 C 的方程 y2=2px(p>0)中,得

即 kOA'=-2,又|OA′|=1,

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以下同解法 4,从略. 【分析 6】 本题也可以把抛物线的参数方程与复数法结合起来去解.

数乘法的几何意义,得

由复数相等的条件,得

消去 p,解得 t2=2. 从而 B′的坐标为(8p,4p).

∵线段 BB′的中点 C 的坐标为(4p,2p+4),

【分析 7】 在解法 5 中,利用复数乘法的几何意义,发现了 A′、B′坐标之间的关系式, 从而获得简解.如图 1-8,点 B′与点 A′的坐标关系也可用平面几何法得到.

【解法 7】 如图 1-8,作 A′C⊥Ox 于 C,B′D⊥Ox 于 D.设 A′、B′的坐标分别为(x1, y1)、(x2,y2). ∵ ∠B′OD+∠A′OC=90°, ∴ Rt△A′CO∽Rt△ODB′.

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又|OA′|=1,|OB′|=8, ∴ |OD|=8|A′C|,|B′D|=8|OC|. 于是 x2=-8y1,y2=8x1. 以下同解法 5,从略. 【解说】 本例给出了七种解法.解法 1 是本题的一般解法,它的关键是求点 A、B 关于 l 的对称点的坐标.解法 2 是三角法,它

法 3 是极坐标法, 巧妙利用了 A′、 B′的特殊位置. 解法 4 是利用抛物线的参数方程去解的. 解 法 5 和解法 7 是从寻找 A′、B′的坐标关系式入手的,分别用复数法和相似形法获解.解法 6 把参数法与复数法结合起来, 体现了思维的灵活性. 总之, 本例运用了解析几何的多种方法, 是对学生进行求异思维训练的极好例题. (三)逆向思维 在人们的思维活动中,如果把 A→B 的思维过程看作正向思维的话,那么就把与之相反的思维 过程 B→A 叫做逆向思维. 在平常的学习中,人们习惯于正向思维,而不善长逆向思维.因此,为了培养思维的多向性 和灵活性,就必须加强逆向思维训练.在解题遇到困难时,若能灵活地进行逆向思维,往往 出奇制胜,获得巧解. 在解析几何中,培养学生逆向思维能力,要注意逆用解析式的几何意义、逆用曲线与方程的 概念和逆用圆锥曲线的定义. 例 4 设 a、b 是两个实数,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3(m2+5), m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144}是平面 xOy 内的点焦,讨论是否存在 a 和 b,使得:(1)A∩B ≠?;(2)(a,b)∈C.(1985 年全国高考理科试题) 【解】 由已知可得,a、b 是否存在等价于混合组

以上二式的几何意义是:如图 1-9,在平面 aO′b 中,na+b=3(n2+5)是直线,a2+b2≤144 是圆面(即圆 x2+y2=144 的边界及其内部).因此,这个混合组有解的充要条件是直线 na+ b=3(n2+5)与圆 a2+b2=144 有公共点,即圆心 O′(0,0)到这条直线的距离 d≤12.

即(n2+5)2≤16(n2+1), ∴ n4-6n2+9≤0, 即(n2-3)2≤0. 又(n2-3)2≥0, ∴ n2=3.这与 n 是整数矛盾.

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故满足题中两个条件的实数 a、b 不存在. 【解说】 这种解法中,把混合组翻译成几何语言(直线和圆面是否有公共点)就是解析法的 逆向思维.教学实践表明,学生普遍认为这种解法难想,其实, “难就难在逆向思维” ,普遍 认为这种解法巧妙,其实, “巧就巧在逆向思维” . 习题 1.2 1.已知圆 C1:(x+1)2+(y-2)2=4 与圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=25,求它们外公切线交点 P 的坐 标. 2.已知直线 l 过点 P(1,4),求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程.(要求至少 5 种解 法)

(要求至少 4 种证法).(1992 年全国高考理科试题) 4.长度为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 y2=x 上移动,记线段 AB 的中点为 M,求点 M 到 y 轴 的最短距离,并求此时点 M 的坐标.(要求至少 4 种解法).(1987 年全国高考理科试题) 5.已知 2a+3b=5,求证:直线 ax+by-5=0 必过一个定点.

7.已知三个集合 M={(x,y)|y2=x+1} ,S={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0} ,P={(x,y)|y=ax +m} ,问是否存在正整数 a、m 使得(M∪S)∩P=??(其中 ? 表示空集) 习题 1.2 答案或提示

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3.证法 1:设 A、B 的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),

|PA|=r,则圆 P 的方程为(x-x0)2+y2=r2,与椭圆方程联立,消去 y,得

把 A、B 的坐标代入椭圆方程中,后把所

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)、(ρ 2,θ 2),点 P 的坐标为(t,0),则 t=x0+c.由|PA|=|PB|,可得

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5.逆用点在直线的概念,得定点为(2,3). 6.在直角坐标系中,由已知两个等式可知,直线 ax+by=c 过点

重合的条件,可证得结论.

也无实数解.故 a=1,m=2.

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