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北京市东城区2014届高三第二学期综合练习(一)数学理试题


北京市东城区 2014 届高三第二学期综合练习(一) 数学理试题
2014.4
第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 3 分,共 40 分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 已知集合 A ? {x | ? x ? 1?? x ? 2 ? ≥ 0} ,则 ?R A ? (
或x ? 2? A. ? x | x ? ?1,

) .

B. ? x | x ≤ ?1 或 x ≥ 2? D. ? x | ?1 ≤ x ≤ 2?

C. ?x | ?1 ? x ? 2? 2. 复数
i ?( 1? i

) .
1 1 B. ? i 2 2 1 1 D. ? ? i 2 2

1 1 A. ? i 2 2 1 1 C. ? ? i 2 2

3.

π? ? 为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象( 3? ? π π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 3 3

) .

π C.向左平移 个单位长度 6

π D.向右平移 个单位长度 6

4.

设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S5 ? 30 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.27 B.36 C.42 D.63
π? ? 在极坐标系中,点 ? 2 , ? 到直线 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的距离等于( 4? ?

) .

5.

) .

A.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D.2

6.

如图,在 △ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 , D 是 BC 的中点,则 ???? ??? ? . AD ? BC ? ( ) A.3 C.5 B.4 D.不能确定
B

A

D

C

7.

若双曲线

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? 0 , b ? 0 ? 的渐近线与圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 相切,则双曲线的离心率为 2 a b
·1 ·

( A.2

) . B.
2 2

C.

2 3 3

D. 2

8.

?1 ,x ? 0 , ? 2 已知符号函数 sgn ? x ? ? ?0 ,x ? 0 , 则函数 f ? x ? ? sgn ? ln x ? ? ln x 的零点个数为( ? ?1 ,x ? 0 ?

) .

A.1

B.2

C.3

D.4

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.
1? ? (用数字作答) ? x ? ? 的二项展开式中常数项为________. 2? ?
D A
4

10. 如图, AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C ,使 AB ? 2BC ,且 BC ? 2 , CD 是 圆 O 的 切 线 , 切 点 为 D , 连 接 AD , 则 CD ? ________ , ?DAB ? ________.
?0 ? x ? 2, 11. 设不等式组 ? 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个 ?0 ? y ? 2

O

B

C

点 P ? x , y ? ,则 x ? y ? 3 的概率为________. 12. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? 6 ,则 x ? 0 时, f ? x ? 的解析 式为______,不等式 f ? x ? ? x 的解集为________. 13. 某写字楼将排成一排的 6 个车位出租给 4 个公司,其中有两个公司各有两辆汽车,如果这两个 公司要求本公司的两个车位相邻,那么不同的分配方法共有________种. (用数字作答) 14. 如图,在三棱锥 A ? BCD 中, BC ? DC ? AB ? AD ? 2 , BD ? 2 ,平面 ABD ? 平面 BCD , O 为 BD 中点,点 P , Q 分别为线段 AO , BC 上的动点(不含端点) ,且 AP ? CQ ,则三棱锥 P ? QCO 体积的最大值为________.
A

P D O Q B C

·2 ·

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分)
sin A 3 cos B . ? a b (1)求角 B 的值; (2)如果 b ? 2 ,求 △ABC 面积的最大值.

在 △ABC 中,

16、 (本小题共 13 分) 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个班的学生在寒 假期间每天平均学习的时间(单位:小时) ,统计结果绘成频率分布直方图(如图) .已知甲、 乙两班学生人数相同,甲班学生每天平均学习时间在区间 ? 2 , 4? 的有 8 人.
频率/组距 0.175

频率/组距 0.1500 0.1250 0.1000 0.0875 a 0 2 4 6 8 10 12 小时 甲

0.075 0.050 0.025 0 2 4 6 8 10 12 小时 乙

(1)求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间 (10 , 12] 的人数; (2)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试,设 4 人中 甲班学生的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

17、 (本小题共 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PA ? 平面 ABCD ,AB ? PA ? 1 ,AD ? 3 ,

F 是 PB 中点, E 为 BC 上一点. (1)求证: AF ? 平面 PBC ; (2)当 BE 为何值时,二面角 C ? PE ? D 为 45? .

P F A D E

B C

·3 ·

18、 (本小题共 13 分)
2 已知函数 f ? x ? ? ax ? 4ln ? x ? 1? , a ? R .

(1)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (2) 已知点 P ?1 , 1? 和函数 f ? x ? 图象上动点 M ? m , f ? m ? ? , 对任意 m ? ? 2 , e ? 1? , 直线 PM 倾 斜角都是钝角,求 a 的取值范围.

19、 (本小题共 13 分) 已知椭圆 G :
? 6? x2 y 2 A 1 , ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 和点 B ? 0 , ? 1? . 过点 ? ? ? 3 ? a 2 b2 ? ?

(1)求椭圆 G 的方程; 3? ? (2)设过点 P ? 0 , ? 的直线 l 与椭圆 G 交于 M , N 两点,且 | BM |?| BN | ,求直线 l 的方程. 2? ?

20、 (本小题共 14 分) 已知集合 ?1, 2 , 3 , 4 , ? , n? ? n ≥ 3? ,若该集合具有下列性质的子集:每个子集至少含有 2 个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于 1,则称这些子集为 T 子集,记 T 子集 的个数为 an . (1)当 n ? 5 时,写出所有 T 子集; (2)求 a10 ; (3)记 Sn ?
a3 a4 a5 a ? 4 ? 5 ??? n ,求证: Sn ? 2 3 2 2 2 2n

·4 ·

北京市东城区 2014 届高三第二学期综合练习(一) 数学参考答案(理科)
一、选择题 1.C 5.A 二、填空题 9. 11.
1 16 7 8

2.C 6.B

3.D 7.C

4.D 8. B

10. 2 3 ; 30?
0) ? (2 , ? ?) 12. f ( x) ? ? x2 ? 6 ; (?2 ,

13.24

14.

2 48

三、解答题 15. (共 13 分) a b sin A 3 cos B ? 解:⑴ 因为 , , ? sin A sin B a b 所以 sin B= 3 cos B , tan B= 3 . π π) . 所以 B = . 因为 B ? (0 , 3 π ⑵ 因为 B = , 3 a 2 ? c 2 ? b2 1 ? , 所以 cos B ? 2ac 2 因为 b ? 2 , 所以 a2 ? c2 =ac ? 4 ? 2ac , 所以 ac ? 4 (当且仅当 a ? c 时,等号成立) , 1 所以 S△ ABC ? ac , sin B ? 3 , 2 所以 △ABC 面积最大值为 3 . 16. (共 13 分) 解:⑴ 由直方图知, (0.150 ? 0.125 ? 0.100 ? 0.0875 ? a) ? 2 ? 1 , 解得 a ? 0.0375 , 4] 的有 8 人, 因为甲班学习时间在区间 [2 , 8 ? 40 , 所以甲班的学生人数为 0.2 所以甲、乙两班人数均为 40 人. 12? 的人数为 所以甲班学习时间在区间 ?10 , 40 ? 0.0375 ? 2 ? 3 (人) . 12? 的人数为 40 ? 0.05 ? 2 ? 4 (人) ⑵ 乙班学习时间在区间 ?10 , .

12? 的人数为 3 人, 由⑴知甲班学习时间在区间 ?10 , 在两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人, ? 的所有可能取值为 0,1,2,3.

·5 ·

P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

0 4 C3 C4 1 ? , 4 C7 35 3 C1 12 3 C4 ? , 4 C7 35 2 2 C3 C4 18 ? , 4 C7 35 1 C3 4 3C4 ? . 4 C7 35

所以随机变量 ? 的分布列为: ? 0 1 1 12 P 35 35 1 12 18 4 12 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 35 35 35 35 7

2 18 35

3 4 35

17. (共 14 分) 证明⑴ 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC , 因为 ABCD 是矩形,所以 BC ? AB . 因为 PA ? AB ? A ,所以 BC ? 平面 PAB , 因为 AF ? 平面 PAB ,所以 BC ? AF , 因为 AB ? PA , F 是 PB 中点,所以 AF ? PB , 因为 PB ? BC ? B 所以 AF ? 平面 PBC . ⑵ 解:因为 PA ? 平面 ABCD , AB ? AD , 所以以 A 为坐标原点, AD 、 AB 、 AP 所在直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系, 1 1? ? 0, 1) , D 3 ,0 ,0 , E ? a , 1,0 ? , F ? 0 , , ? . 设 BE ? a ,则 P(0 , 2 2? ? ???? ??? ? 1 ,0 , PD ? 3 ,0 ,? 1 . 所以 DE ? a ? 3 , z ?? ???? ? ?? P ?m ? DE ? 0 , ? 设平面 PDE 的法向量为 m ? ( x ,y ,z ) ,则 ? ?? ??? ? ?m ? PD ? 0.

?

?

?

?

?

?

? a ? 3 x ? y ? 0, ? 所以 ? ? 3x ? z ? 0. ?

?

?

F

令 x ? 1 ,得 y ? 3 ? a , z ? 3 , ?? 所以 m ? 1 , 3 ? a , 3 .

A D x C E

B y

?

?

? ??? ? ? 1 1? 平面 PCE 的法向量为 n ? AF ? ? 0 , , ? . 2 2? ? 1 ?? ? 3? a ?? ? m?n 2 2 ? 所以 cos m ,n ? ?? ? ? . 2 2 m n ? a 2 ? 2 3a ? 7 2
·6 ·

5 3 . 6 5 3 所以当 BE ? 时,二面角 P ? DE ? A 为 45? . 6

所以 a ?

17. (共 13 分) 解:⑴ 当 a ? 1 时, f ( x) ? x2 ? 4ln( x ? 1) ,定义域为 (1,? ?) , 4 2 x2 ? 2 x ? 4 2( x ? 1)( x ? 2) f ?( x) ? 2 x ? ? ? x ?1 x ?1 x ?1
x ? f ( x)

(1, 2)
?

(2 , ? ?)

?

f ( x)





2) . ? ?) ,单调递减区间为 (1, 所以当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递增区间为 (2 , e ? 1] ,直线 PM 的倾斜角都是钝角, ⑵ 因为对任意 m ?[2 , m ? [2 , e ? 1] ,直线 PM 的斜率小于 0, 所以对任意 f (m) ? 1 ? 0 , f (m) ? 1 , 即 m ?1 c ? 1] 上的最大值小于 1, 即 f ( x) 在区间 [2 , 4 2(ax 2 ? ax ? 2) ? ?) . f ?( x) ? 2ax ? ? , x ? (1, x ?1 x ?1 令 g ( x) ? ax 2 ? ax ? 2 e ? 1] 上单调递减, ①当 a ? 0 时, f ( x) ? ?4ln( x ? 1) 在 [2 , f ( x) ? f ( 2 ? ) ? 0 1 ,显然成立,所以 a ? 0 . ma x a ? 0 ②当 时,二次函数 g ( x) 的图象开口向下, 且 g (0) ? ?2 , g (1) ? ?2 , ?x ?( 1 ,? ? ) , g ( x) ? 0 , ? f ( x ) ? 0 故 , f ( x) 在 (1,? ?) 上单调递减, e ? 1] 上单调递减, f ( x)max ? f (2) ? 4a ? 1 ,显然成立,所以 a ? 0 . 故 f ( x) 在 [2 ,

⑶ 当 a ? 0 时,二次函数 g ? x ? 的图象开口向上, 且 g ? 0 ? ? ?2 , g ?1? ? ?2 .

? ? ? ,当 x ? ?1,x0 ? 时, g ? x ? ? 0 . 所以 ?x0 ? ?1, ? ? ? 时, g ? x ? ? 0 . 当 x ? ? x0 ,
所以 f ? x ? 在区间 ?1,? ? ? 内先递减再递增. 故 f ? x ? 在区间 ? 2 ,e ? 1? 上的最大值只能是 f ? 2 ? 或 f ? e ? 1? .

·7 ·

? ? f ? 2 ? ? 1, 所以 ? ? ? f ? e ? 1? ? 1.

? ?4a ? 1, 1 即? 所以 0 ? a ? . 2 a e ? 1 ? 4 ? 1 . 4 ? ? ? ?

综上 a ?

1 . 4

19.(共 13 分) 解: (Ⅰ)因为椭圆 G :
? 6? x2 y 2 1, ? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 A ? 和点 B ? 0 ,? 1? . 2 ? 3 ? a b ? ?
2

? 5? 2 ? 3 ? ? 所以 b ? 1,由 1 ? ? ? ? 1 ,得 a ? 3 . ? a2 1

x2 ? y2 ? 1 . 3 (Ⅱ)显然直线 l 的斜率 k 存在,且 k ? 0 .
所以椭圆 G 的方程为 设直线 l 的方程为 y ? kx ?
3 . 2

? x2 ? y 2 ? 1, ? 5 ?3 ? 2 1? 2 由? 消去 y 并整理得 ? k ? ? x ? 3kx ? ? 0 , 3 4 ? ? ? y ? kx ? 3 . ? ? 2
5 ? 2 1? 2 2 由 △? 9k ? 5 ? k ? ? ? 0 , k ? . 3? 12 ?

设 M ? x1 ,y1 ? , N ? x2 ,y2 ? , MN 中点为 Q ? x2 ,y2 ? , 得 x2 ?
x1 ? x2 9k y ? y2 3 ?? 2 ? 2 , y6 ? 1 . 2 6k ? 2 2 6k ? 2

由 BM ? BN ,知 BQ ⊥ MN ,
3 ?1 2 y6 ? 1 1 1 6 k ?2 ? ? ?? . 所以 ,即 9k x6 k k ? 2 6k ? 2
2 化简得 k ?

2 ,满足 △? 0 . 3

所以 k ? ?

6 . 3 6 3 x? . 3 2
·8 ·

因此直线 l 的方程为 y ? ?

(20)(共 14 分)

5? ,?3,5? ,?1, 3, 5? . 解: (Ⅰ) 当 n ? 5 时, 所以 T 子集:?1,3? ,?1,4? ,?1,5? ,?2 ,4? ,?2 , 3,4 , …,k ,k ? 1,k ? 2? 的 T 子集可分为两类: (Ⅱ) ?1,2,
第一类子集中不含有 k ? 2 ,这类子集有 ak ?1 个;

3,4 , …,k? 的 T 子集与 ?k ? 2? 的并, 第二类子集中含有 k ? 2 ,这类子集成为 ?1,2 , 3,4 , …,k? 的单元素子集与 ?k ? 2? 的并,共有 ak ? k 个. 或为 ?1,2 ,
所以 ak ?2 ? ak ?1 ? ak ? k . 因为 a3 ? 1 , a4 ? 3 , 所以 a5 ? 7 , a6 ? 14 , a7 ? 26 , a8 ? 46 , a9 ? 79 , a10 ? 133 . (Ⅲ)因为 Sn ?
a 1 3 7 ? 4 ? 3 ?…? n , 3 2 2 2 2n

① ②

a ?1 an 1 1 3 ? n?1 所以 Sn ? 4 ? 3 ? … ? nn 2 2 2 2 2

a ? n ? 2 ? an 1 1 ? 2 4 7 ① ? ②得 Sn ? 3 ? ? 4 ? 3 ? 6 ? … ? n?2 n ? ? n?1 2 2 ?2 2 2 2 ? 2 a ? n ? 2 ? an 1 2 ? a ?3 a ?4 ? 3 ? 4 ? ? 2 3 ? 4 4 ? … ? n?2 n ? ? n?1 2 2 ? 2 2 2 ? 2 ? a ? n ? 2 ? an 1 2 1 ? a2 ? 3 a4 ? 4 ? 4 ? 2 ? 3 ? 4 ? … ? n?2 n?1 ? ? n?1 3 2 2 2 ? 2 2 2 ? 2 4 n ? ? 2 an ? …? ? ?n 1 n ? 2 2? 2
4

1 2 1 ? 3 ? n ? 2 Sn?1 ? ? 3 ? n 2 2 2 ? 2
n ?1

1 1 1 ? ? 1 n ? 2 an ? ? Sn?2 ? ? ? ? ? n ? n?1 4 4 4 ? ? 2 2 2
?
?

1 1 1 ? Sn?2 ? 4 4 4
1 1 ? Sn 2 4

所以 Sn ? 2 .

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