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山东省滕州市第二中学2015届高三数学上学期期末考试试题 文


山东省滕州市第二中学 2015 届高三上学期期末考试 数学文试题
选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

1 ? 2i 1.已知 i 是虚数单位,则 2 ? i 等于( 4 ?i B. 5 4 3 ? i C. 5 5



A. i 2.命题

D. ? i

p : a ? 1 ;命题 q :关于 x 的实系数方程 x2 ? 2 2 x ? a ? 0 有虚数解,则 p 是 q 的
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x

( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

3.把函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象恰与函数 y ? e 的反函数图像重合, 则 f(x) A. ln x ? 1 B. ln x ? 1 C. ln( x ? 1) D. ln( x ? 1)

2 0?c?4, 4. 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c , 其中 0 ? b ? 4 , 记函数 f ( x) 满足条件:f (2) ? 12

为事件 A ,则事件 A 发生的概率为.

1 A. 4
B C 5. 在 ?A
A.6

1 B. 2

3 C. 8

3 D. 4

中, D 是 BC 的中点, AD=3, 点 P 在 AD 上且满足 AD ? 3AP, 则 DA ? ( PB ? PC) ? B. ? 6 C.-12 D. 12

6.某几何体的三视图如下图所示,则它的表面积是

-1-

A. 24 ? 5? C. 24 ?

B. 24 ? ?

?

5 ?1 ?

?

D. 20 ?

?

5 ?1 ?

?

5 ? π? 4 ? ?? ? ? ? ? ? 0, ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? 3 12 ? 的是 6? 5 ? 3 ?则 ? ? 7.已知 ,且
2 3 5 A. ? 2 3 B. 5 7 2 C. 10 7 2 D. 15

8.阅读下侧程序框图,输出的结果 s 的值为

3
A. 0 B. 2 C. 3 D.

?

3 2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 9.已知双曲线 C 的方程为 a ,它的左、右焦点分别 F1 , F2 ,左右顶
点为 A1 , A2 ,过焦点 F 2 先作其渐近线的垂线,垂足为 P ,再作与 x 轴垂直的直线与曲线 C 交 于点 Q, R ,若

PF2 , A1 A2 , QF1

依次成等差数列,则离心率 e=

A. 2

B. 5

C. 2 或 5

5 ?1 D. 2

10.如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴正方向滚动.设顶点

P ? x, y ?

的轨迹方程是

y ? f ?x ? ,设 y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域为 S, 则直线 x ? t 从
t ? 0到t ? 4 所匀速移动扫过区域 S 的面积 D 与 t 的函数图象大致为.

-2-

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11 .已知过原点的直线与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 相切,若切点在第二象限,则该直线的方程
2 2




2

12.若命题“ ?x ? R,2 x ? 3ax ? 9 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是

13.设 x, y 满足约束条件

?3x ? y ? 6 ? 0, ? ? x ? y ? 2 ? 0, ? x ? 0, y ? 0, ?

若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为

2 3 ? 12, 则 a b 的最小值为_____________.
f ?x ? ? bx 、 g ( x)满 足 g ?x ? ? f ( x ) g '(x, ) 14 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) , 且 f '( x ) g ( x )
f (1) f (?1) 5 f ?4? ? ? a5 a7 ? 2a6 a8 ? a4 a12 ? g (1) g (?1) 2 ,若 ?an ?是正项等比数列,且 g ?4? ,则 a6 ? a8 等
于 .

?? 15.函数 f x 的定义域为 D ,若存在闭区间 ?m, n? ? D ,使得函数 f ?x ? 满足以下两个条件: ?? ?? (1) f x 在[m,n]上是单调函数; (2) f x 在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,
-3-

n]为 y ? f ?x ? 的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 的序号) ① f ?x ? =x2(x≥0) ; ② f ?x ? =ex(x∈R) ; ④ f ?x ? =

(填上所有正确

4x ( x ? 0) ③ f ?x ? = x ? 1 ;
2

1 log a (a x ? )( a ? 0, a ? 1) 8 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。 (注 意:在试题卷上作答无效) 16 . (本题满分为 12 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对边分别为 a , b , c ,且向量

? ? ? ? m ? ?sin A, sin B ? , n ? ?cos B, cos A? ,满足 m ? n ? sin 2C
(1)求角 C 的大小;

??? ? ??? ? ??? ? sin A ,sin C ,sin B AC ? ( AC ? AB ) ? 18 ,求边 c 的长 (2)若 成等差数列,且
17. (本题满分为 12 分)数列 ?an? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1 ,点 (Sn , an?1) 在直线 y ? 2x ? 1 上,n∈ N*. (1)求证:数列 ?an? 是等比数列,并求数列 ?an? 的通项公式 (2)设
bn ? log 3 an ?1 Tn

an



,

是数列

1 } bn ? bn ?1

的前 n 项和,求

T2014

的值.

18. (本题满分为 12 分) 某公司研制出一种新型药品, 为测试该药品的有效性, 公司选定 2000 个药品样本分成三组,测试结果如下表: 分组 药品有效 药品无效

A组

B组

C组

670 80

a

50

b c

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组药品有效的概率是 0.35. (1) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360个测试结果, 问应在 C 组抽取样本多少个? (2) 已知 b ? 425 ,c ? 68 , 求该药品通过测试的概率 (说明: 若药品有效的概率不小于 90 %, 则认为测试通过) . 19. (本题满分为 12 分) 在 Rt ?ABF 中, AB=2BF=4, C, E 分别是 AB, AF 的中点 (如下左图) . 将 此三角形沿 CE 对折,使平面 AEC⊥平面 BCEF(如下右图) ,已知 D 是 AB 的中点.

-4-

(1)求证:CD∥平面 AEF; (2)求证:平面 AEF⊥平面 ABF; (3)求三棱锥 C-AEF 的体积,

20. (本题满分为 13 分) 已知动圆 M 与直线 (1)求圆心 M 的轨迹 C 方程;

l:x??

1 ?x ? 1?2 ? y 2 ? 1 2 相切且与圆 F : 4 外切。

(2)过定点 D?m,0?(m ? 0) 作直线 l 交轨迹 C 于 A, B 两点, E 是 D 点关于坐标原点 O 的对 称点,求证: ?AED ? ?BED;

21. (本题满分为 14 分)已知函数

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1 的图像过坐标原点 O ,

且在点 (?1, f (?1)) 处的切线的斜率是 ? 5 . (1)求实数

b, c 的值;

(2)求 f ?x ? 在区间 ?? 1,2?上的最大值;

(3)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为 直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在 y 轴上?请说明理由.

-5-

2013-2014 学年度山东省滕州市第二中学高三第一学期期末考 数学(文)试题参考答案 一、选择题:1~5.DBD D C 6~10.C C B A D

三、解答题: 16. (1)由 m ? n ? sin 2C 可得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin 2C …………2 分 即 sin(A ? B) ? 2 sin C cosC ,又 C ? ? ? ( A ? B)

得 sin C ? 2 sin C cos C

而 sin C ? 0 ………4 分

? cos ?

1 2

? 即 C= 3 …………. .6 分

(2)? sin A, sin C, sin B 成等差数列 ? 由正弦定理可得 2c=a+b…………. ①

? ? AC ? ( AC ? AB) ? 18可得 AC ? BC ? 18 而 C= 3 , ? ab ? 36 ……
cosC ?
由余弦定理可得



a2 ? b2 ? c2 1 ? 2ab 2 …………③

由①②③式可得 c=6………12 分 17. (1)由题意得 a n+1=2Sn+1, a n =2Sn-1+1(n≥2) (1 分)

a2 ?3 a ? a ? 1 ? a ? 2 S ? 1 ? 3 a a a a a 1 1 2 1 两式相减,得 n+1- n =2 n 即 n+1=3 n, (3 分) ,则 ,
当 n ? 1时

?an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列. (5 分)

?an ? 1? 3n?1 ? 3n?1 (6 分)
(2)由(1)得知 a n=3n-1,bn=log3an+1=n, (8 分)

1 1 1 1 ? ? ? bn ? bn ?1 (n ? 1)n n n ? 1 ,(10 分)

T2014 ?

1 1 1 ? 2014 ? 1? ? 1 1? ? 1 ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? b1b2 b2014 b2015 ? 2 ? ? 2 3 ? ? 2014 2015? 2015 .
a ? 0.35,? a ? 700 ???? 2分 2000

(12 分)

?
18.解: (1)

?b ? c ? 2000? 670? 80 ? 700? 50 ? 500??4分
-6-

360 ?
应在 C 组抽取样本个数是

500 ? 90(个) ??? 6分 2000

, c ? 68,??b, c ?的可能性是 (2)? b ? c ? 500, b ? 425

?425,75?, ?426,74?, ?427,73?, ?428,72?, ?429,71?, ?430,70?, ?431,69?, ?432,68???8分
若测试通过,则 670 ? 700 ? b ? 2000? 90% ? 1800? b ? 430???10分

3 ? ?b, c ? 的可能有 ?430,70?, ?431 ,69?, ?432,68? ? 通过测试的概率为 8 ………………12 分
19. (1)取 AF 中点 M ,连结 DM , EM ,

因为 D , M 分别是 AB, AF 的中点
// 1 // 1 ? DM ? BF , 且CE ? BF 2 2 所以 DM 是 ?ABF 的中位线, ,四边形 CDME 是平行四边

形,所以 CD // EM , 又EM ? 面AEF且CD ? 面AEF ?CD // 面AEF???4分

AC ? BC ? C , ?CE ? 面ABC , 又 由 左 图 知 CE ? AC, CE ? BC, 且右图中:
CD ? 面A B C

? CE ? CD, 所以四边形 CDME 为矩形,则 EM ? MD ,?AEF 中 EA ? EF ,M 为 AF 的
中点, 所 以

EM ? AF, 且AF ? MD ? M , 所 以 EM ? 面ABF,又EM ? 面AEF ,

面AEF ? 面ABF?8分

?VC ? AEF ? VA?CEF ,由左图知 AC ? CE ,又面 AEC⊥平面 BCEF,且 AEC ? 平面 BCEF=CE,
? AC ? 面B C E F ,
即 AC 为 三 棱 锥

A?C

E 的 F





-7-

1 1 1 2 ?VA?CEF ? S ?CEF ? AC ? ? ?1? 2 ? 2 ? ??12分 3 3 2 3
20.解析: (1)法 1:根据题意动圆圆心 M ?x, y ? 到定点 F ?1,0? 和到定直线 x ? ?1 的距离相 等,根据抛物线的定义可知,动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x . ……………5 分
2

1? 1 ? MF ? ? x ? ? ? 2 ? 2 , 即 MF ? x ? 1? ? 法 2 : 设 M ?x, y ? , 则

?x ? 1?2 ? y 2

? x ?1



y 2 ? 4x . …………5 分
(2)依题意,设直线 l 的方程为 x ? ty ? m(m ? 0), A?x1 , y1 ?, B?x2 , x2 ? ,则 A, B 两点的坐标

? x ? ty ? m ? 2 y ? 4 x 消去并 x 整理,得 满足方程组: ?

y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 , y1 ? y2 ? 4t , y1 y2 ? ?4m??7分
设直线 AE 和 BE 的斜率分别为 k1 , k 2 ,则:

1 1 2 y1 y 2 ? y 2 y12 ? m? y1 ? y 2 ? y1 y2 y ?x ? m ? ? y 2 ?x1 ? m ? 4 4 k1 ? k 2 ? ? ? 1 2 ? ?x1 ? m ??x2 ? m ? ?x1 ? m??x2 ? m ? x1 ? m x 2 ? m
1 1 ?? 4m ??4t ? ? 4m t y1 y2 ? y1 ? y2 ? ? m? y1 ? y2 ? ?4 ?4 ? 0???11分 ?x1 ? m ??x2 ? m? ?x1 ? m??x2 ? m ?

? tan?AED? tan? 1800 ? ?BED ? 0? tan?AED ? tan?BED
? 0 ? ?AED ?

?

?

?
2

,0 ? ?BED ?

?
2

? ?AED ? ?BED ???13分
3 2 2

? 21.解: (1)当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x ? x ? bx ? c, 则 f ( x) ? ?3x ? 2 x ? b

(1 分)

? f (0) ? 0 ?c ? 0 ? ? f ?(?1) ? ?5 即 ?? 3 ? 2 ? b ? ?5 ,解得 b ? c ? 0 . 依题意,得 ?

(3 分)

?? x 3 ? x 2 , x ? 1 f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1 (2)由(1)知,
2 2 f ?( x) ? ?3 x 2 ? 2 x ? ?3 x( x ? ), x? ? 3 令 f ( x) ? 0, 得 x ? 0, 或 3 ①当 ? 1 ? x ? 1 时
(4 分)
-8-

? 当 x 变化时 f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(?1,0)

0

2 (0, ) 3

2 3

2 ,1 (3 )
0 — 单调递减

— 单调递减

0 极小值

+ 单调递增

极大值

2 4 f (?1) ? 2, f ( ) ? , f (0) ? 0, 3 27 又
所以 f ( x) 在 ?? 1,1? 上的最大值为 2 . ②当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? a ln x 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的最大值为 0 ; 当 a ? 0 时, f ( x) 在 ?1,2 ?上单调递增,所以 f ( x) 在 ?1,2 ?上的最大值为 a ln 2 . (7 分) 综上所述, 当 a ln 2 ? 2 ,即 (6 分)

a?

2 ln 2 时, f ( x) 在 ?? 1,2? 上的最大值为 2; 2 ln 2 时, f ( x) 在 ?? 1,2? 上的最大值为 a ln 2 .

当 a ln 2 ? 2 ,即

a?

(9 分)

(3)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P, Q 满足题设要求,则点 P, Q 只能在 y 轴的两侧.
3 2 不妨设 P(t , f (t )),(t ? 0) ,则 Q(?t , t ? t ) ,显然 t ? 1

因为 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 所以 OP ? OQ ? 0 ,即 ? t ? f (t )(t ? t ) ? 0
2 3 2



若方程①有解,则存在满足题意的两点 P, Q ;若方程①无解,则不存在满足题意的两点 P, Q 若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,代入①式得 ? t ? (?t ? t )(t ? t ) ? 0 ,
3 2

2

3

2

3

2

4 2 即 t ? t ? 1 ? 0 ,而此方程无实数解,因此 t ? 1 .

(11 分)

1 ? (t ? 1) ln t 此时 f ?t ? ? a ln t ,代入①式得, ? t ? (a ln t )(t ? t ) ? 0 即 a
2 3 2



-9-

令 h?x ? ? ?x ? 1?ln x( x ? 1) ,则

h ' ? x ? ? ln x ?

1 ?1 ? 0 x ,所以 h( x) 在 ?1,??? 上单调递增,因

为 t ? 1 ,所以 h(t ) ? h(1) ? 0 ,当 t ? ?? 时, h(t ) ? ?? ,所以 h (t ) 的取值范围为 ?0,??? 。 所以对于 a ? 0 ,方程②总有解,即方程①总有解.

- 10 -


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