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空间向量及其线性运算习题


空间向量及其加减数乘运算

B

b
O

b a
A

a

结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍适用于它们。

B

b

O

A

a
思考:它们确定的平面是否唯一?

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2 ) AB ? AD ? AA 1 (3) 1 3 ( AB ? AD ? AA 1 ) 1 2

D1 A1 B1

C1

( 4 ) AB ? AD ?

CC

D
1

C B

A

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2 ) AB ? AD ? AA 1 (3) 1 3 ( AB ? AD ? AA 1 ) 1 2

D1 A1 G D
1

C1 B1

M

( 4 ) AB ? AD ?

CC

C B
1

解:1) AB ? BC = AC ; (

A

( 2 ) AB ? AD ? AA 1 ? AC ? AA 1 ? AC ? CC

? AC

1

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

F2

F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(1) AB 1 ? A1 D 1 ? C 1 C ? x AC
( 2 ) 2 AD 1 ? BD 1 ? x AC (3)
A1
1

D1 B1

C1

AC ? AB 1 ? AD 1 ? x AC

1

D B

C

A

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(1) AB 1 ? A1 D 1 ? C 1 C ? x AC 解 (1) AB 1 ? A1 D 1 ? C 1 C
D1 A1 B1 C1

? AB 1 ? B 1 C 1 ? C 1 C ? AC ? x ? 1.
( 2 ) 2 AD 1 ? BD 1 ? x AC (3)
A
1

D B

C

AC ? AB 1 ? AD 1 ? x AC

1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
( 2 ) 2 AD 1 ? BD 1 ? x AC
(2) 2 AD
1

1

(3)

AC ? AB 1 ? AD 1 ? x AC

1

? BD 1

? AD 1 ? AD 1 ? BD 1 ? AD 1 ? ( BC
1

? BD 1 )

D1 A1 B1

C1

? AD 1 ? D 1 C 1 ? AC 1

? x ? 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。
(3) AC ? AB 1 ? AD 1 ? x AC
1

( 3 ) AC ? AB 1 ? AD 1
? ( AD ? AB ) ? ( AA 1 ? AB ) ? ( AA 1 ? AD ) D1 ? 2 ( AD ? AB ? AA 1 )
? 2 AC 1
A1 B1 C1

? x ? 2.
A

D B

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

(1)

AB ?

1 2

( BC ? BD )

(2)
D G B

AG ?

1 2

( AB ? AC )

M

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

(1)

AB ?

1 2

( BC ? BD )

(2)
D G B

AG ?

1 2

( AB ? AC )

(1) 原式= AB ? BM ? MG ? AG

(2)原式
= AB ? BM ? MG ? 1 2 ( AB ? AC )

M

C

= BM ? MG ?

1 2

( AB ? AC )
? MG

= BM ? MG ? MB

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
'

(1) AC

? x ( AB ? BC ? CC )
' '

( 2 ) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
'

(1) AC

? x ( AB ? BC ? CC )
' '

( 2 ) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D ( 2 ) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A

D

B

C

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律
( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律
( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

数乘分配律
k ( a ? b ) ? k a+ k b

数乘分配律
k ( a ? b ) ? k a+ k b

作业
空间四边形 ABCD 中, AB ? a ,BC = b ,AD ? c ,

试用 a , b , c来表示 CD , , BD . AC

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;
A1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n ? 1 A n ? A1 A n

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。
A 1 A 2 ? A 2 A 3 ? A 3 A 4 ? ? ? A n A1 ? 0


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