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成才之路数学选修2-1之1-1-1 (30)

2.3.3

一、选择题 1.如图,椭圆 C1,C2 与双曲线 C3,C4 的离心率分别是 e1,e2,e3 与 e4,则 e1,e2,e3, e4 的大小关系是( )

A.e2<e1<e3<e4 C.e1<e2<e3<e4 [答案] A

B.e2<e1<e4<e3 D.e1<e2<e4<e3

[解析] 椭圆离心率越大越扁,双曲线离心率越大,开口越广阔. 2.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为 F( 7,0),直线 y=x-1 与其相交于 M、N 2 两点,MN 中点的横坐标为- ,则此双曲线的方程是( 3 x2 y2 A. - =1 3 4 x2 y2 C. - =1 5 2 [答案] D x2 y2 [解析] 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),依题意 c= 7, a b x2 y2 ∴方程可化为 2- =1. a 7-a2 x2 y2 B. - =1 4 3 x2 y2 D. - =1 2 5 )

?x2- y 2=1 ? 由?a 7-a 得, ?y=x-1. ?
(7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0. -2a2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= . 7-2a2 ∵ x1+x2 -a2 2 2 2 =- ,∴ 2=- ,解得 a =2. 2 3 3 7-2a

2

2

x2 y2 故所求双曲线方程为 - =1,故选 D. 2 5 3.若 ab≠0,则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )

[答案] C x2 y2 [解析] 方程可化为 y=ax+b 和 + =1.从 B,D 中的两椭圆看 a,b∈(0,+∞),但 a b B 中直线有 a<0,b<0 矛盾,应排除;D 中直线有 a<0,b>0 矛盾,应排除;再看 A 中双曲 线的 a<0,b>0,但直线有 a>0,b>0,也矛盾,应排除;C 中双曲线的 a>0,b<0 和直线中 a, b 一致.应选 C. x2 y2 4.(2010·潍坊模拟)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾 a b 斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( A. 6 [答案] B [解析] 在直角△MF1F2 中,∠F1F2M=90°,∠MF1F2=30°,|F1F2|=2c,于是 cos30°= 得 2c = |MF1| B. 3 C. 2 D. 3 3 )

3 |MF2| 3 4 3 2 3 , =tan30°= , 从而有|MF1|= c, 2|= |MF c, 代入|MF1|-|MF2|=2a, 2 2c 3 3 3

2 3 c c=2a,故 e= = 3,故选 B. 3 a x2 y2 5. 双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两个焦点为 F1、 2, P 为其上一点, F 若 且|PF1|=2|PF2|, a b

则双曲线离心率的取值范围为( A.(1,3) C.(3,+∞) [答案] B [解析]

)

B.(1,3] D.[3,+∞)

由双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|=4a,∵|PF1|+

|PF2|≥|F1F2|, c ∴6a≥2c, ≤3,故离心率的范围是(1,3],选 B. a 6.已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有( )

1 1 A. 2+ 2=4 e1 e2 1 1 C. 2+ 2=2 e1 e2 [答案] C

B.e2+e2=4 1 2 D.e2+e2=2 1 2

?|PF1|+|PF2|=2a ? [解析] 设椭圆长半轴长为 a,双曲线实半轴长为 m,则? ? ?||PF1|-|PF2||=2m

① ②

①2+②2 得:2(|PF1|2+|PF2|2)=4a2+4m2, 又|PF1|2+|PF2|2=4c2 代入上式得 4c2=2a2+2m2, 1 1 两边同除以 2c2 得 2= 2+ 2,故选 C. e1 e2 5 7.(08·山东)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到 13 椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( x y A. 2- 2=1 4 3 x2 y2 C. 2- 2=1 3 4 [答案] A [解析] 由已知得椭圆中 a=13,c=5,曲线 C2 为双曲线,由此知道在双曲线中 a=4, x2 y2 c=5,故双曲线中 b=3,双曲线方程为 2- 2=1. 4 3 x2 y2 x2 y2 8.已知 a>b>0,e1,e2 分别为圆锥曲线 2+ 2=1 和 2- 2=1 的离心率,则 lge1+lge2 a b a b 的值( ) B.大于 1 D.等于 0
2 2

)

x y B. 2- 2=1 13 5 x2 y2 D. 2- 2=1 13 12

2

2

A.大于 0 且小于 1 C.小于 0 [答案] C

a2-b2 a2+b2 a4-b4 a2 [解析] ∵lge1+lge2=lg +lg =lg <lg 2=0,∴lge1+lge2<0. a a a2 a 9.动圆与圆 x2+y2=1 和 x2+y2-8x+12=0 都相外切,则动圆圆心的轨迹为( A.双曲线的一支 C.抛物线 [答案] A [解析] 设动圆半径为 r,圆心为 O,x2+y2=1 的圆心为 O,圆 x2+y2-8x+12=0 的圆 心为 O2, 由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2, ∴|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1<|O1O2|=4, B.圆 D.双曲线 )

由双曲线的定义知,动圆圆心 O 的轨迹是双曲线的一支. x2 y2 10.(2010·浙江理,8)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在 a b 双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近方程为( )

A.3x±4y=0 C.4x±3y=0 [答案] C [解析] 如图:

B.3x±5y=0 D.5x±4y=0

由条件|F2A|=2a,|F1F2|=2c 又知|PF2|=|F1F2|,知 A 为 PF1 中点,由 a2+b2=c2,有|PF1|=4b 由双曲线定义: |PF1|-|PF2|=2a,则 4b-2c=2a ∴2b=c+a,又有 c2=a2+b2,(2b-a)2=a2+b2, ∴4b2-4ab+a2=a2+b2 b 4 3b2=4ab,∴ = , a 3 4 ∴渐近线方程:y=± x.故选 C. 3 二、填空题 11.设中心在原点的椭圆与双曲线 2x2-2y2=1 有公共的焦点,且它们的离心率互为倒 数,则该椭圆的方程是________. [答案] x2 2 +y =1 2

x2 y2 [解析] 双曲线为 - =1. 1 1 2 2 ∴双曲线的焦点为(1,0)和(-1,0),离心率为 2.则椭圆的离心率为 =1, x2 ∴a= 2,b=1.∴椭圆的方程是 +y2=1. 2 x2 y2 12.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N a b 2 c 2 ,又 e= = ,c 2 a 2

两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于____________. [答案] 2 b2 [解析] 由题意得,a+c= , a 即 a2+ac=b2,a2+ac=c2-a2, ∴c2-ac-2a2=0,∴e2-e-2=0. 解得 e=2 或 e=-1(舍去). x2 y2 13.双曲线 - =1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 9 16 到 x 轴的距离为____________. [答案] 3.2 [解析] 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),∴a=3,b=4,c=5.由双曲线的定义知,m-n= 2a=6, 又 PF1⊥PF2. ∴△PF1F2 为直角三角形. 即 m2+n2=(2c)2=100. 由 m-n=6,得 m2+n2-2mn=36, ∴2mn=m2+n2-36=64,mn=32. 设点 P 到 x 轴的距离为 d, 1 1 S△PF1F2= d|F1F2|= |PF1|·|PF2|, 2 2 1 1 mn 32 即 d·2c= mn.∴d= = =3.2, 2 2 2c 10 即点 P 到 x 轴的距离为 3.2. x2 y2 x2 y2 14.(2010·北京理,13)已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点与椭圆 + =1 的焦 a b 25 9 点相同,那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________. [答案] (±4,0) y=± 3x c [解析] 双曲线焦点即为椭圆焦点,不难算出为(±4,0),又双曲线离心率为 2,即 =2, a b c=4,故 a=2,b=2 3,渐近线为 y=± x=± 3x. a 三、解答题 x2 y2 15.求以椭圆 + =1 的长轴端点为焦点,且经过点 P(4 2,3)的双曲线的标准方程. 25 9 x2 y2 [解析] 椭圆 + =1 长轴的顶点为 A1(-5,0),A2(5,0),则双曲线的焦点为 F1(-5,0), 25 9 F2(5,0),由双曲线的定义知,

|PF1|-|PF2| = (4 2+5)2+(3-0)2- (4 2-5)2+(3-0)2 = (5 2+4)2- (5 2-4)2=8, 即 2a=8,a=4,c=5,∴b2=c2-a2=9. x2 y2 所以双曲线的方程为 - =1. 16 9 x2 y2 16.直线 l 被双曲线 - =1 截得弦长为 4,其斜率为 2,求直线 l 在 y 轴上的截距. 3 2 [解析] 设直线 l 的方程为 y=2x+m,

?y=2x+m, ? 由?x2 y2 得 10x2+12mx+3(m2+2)=0. - =1, ? ?3 2
设直线 l 与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 6 3 由韦达定理,得 x1+x2=- m,x1x2= (m2+2). 5 10 又 y1=2x1+m,y2=2x2+m, ∴y1-y2=2(x1-x2), ∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2 =5[(x1+x2)2-4x1x2] 36 3 =5[ m2-4× (m2+2)] 10 25 ∵|AB|=4,∴ 36 2 m -6(m2+2)=16. 5 210 . 3

∴3m2=70,m=±

x2 y2 17.设 P 点是双曲线 2- 2=1 上除顶点外的任意一 点,F1,F2 分别为左、右焦点,c a b 为半焦距,△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 切于点 M,求|F1M|·|F2M|之值. [解析] 如图所示. 是双曲线上任一点(顶点除外), P 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=±2a, 根据切线定理,可得|F1M|-|F2M|=|PF1|-|PF2|=±2a. 又|F1M|+|F2M|=2c, ∴当 P 在双曲线左支上时,|F1M|=c-a,|F2M|=c+a. 当 P 在双曲线右支上时,|F1M|=c+a,|F2M|=c-a. 故|F1M|·|F2M|=c2-a2=b2. 18.已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A、B 两点. (1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值,

1 (2)是否存在这样的实数 a,使 A、B 两点关于直线 y= x 对称?若存在,请求出 a 的值; 2 若不存在,请说明理由.
?y=ax+1 ? [解析] (1)由? 2 2 消去 y 得, ? ?3x -y =1

(3-a2)x2-2ax-2=0①
2 ? ?3-a ≠0 依题意? ? ??>0

即- 6<a< 6且 a≠± 3② 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?x +x =3-a ? 则? -2 ?x x =3-a ④ ?
2a
1 2 2 1 2 2



∵以 AB 为直径的圆过原点,∴OA⊥OB. ∴x1x2+y1y2=0,但 y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1, 由③④知,x1+x2= ∴(a2+1)· -2 2a . 2,x1x2= 3-a 3-a2

-2 2a +a· +1=0. 3-a2 3-a2

解得 a=±1 且满足②. 1 1 (2)假设存在实数 a,使 A、B 关于 y= x 对称,则直线 y=ax+1 与 y= x 垂直,∴a= 2 2 -2. 直线 l 的方程为 y=-2x+1. 将 a=-2 代入③得 x1+x2=4. ∴AB 中点横坐标为 2, 纵坐标为 y=-2×2+1=-3. 1 但 AB 中点(2,-3)不在直线 y= x 上. 2 1 即不存在实数 a,使 A、B 关于直线 y= x 对称. 2


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