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高中数学重要公式汇总


高中数学重要公式汇总
1 、元素与集合的关系

2 、集合 有个;非空的真子集有

的子集个数共有 个.

个;真子集有

个;非空子集

3 、二次函数的解析式的三种形式: (1) 一般式: (2) 顶点式 : 标 时,设为此式) (3) 零点式: 标为 (4)切线式: 线 相切且切点的横坐标为 设为此式) 4、 真值表: 同真且真,同假或假 时, 时,设为此式) 。(当已知抛物线与直 (当已知抛物线与轴的交点坐 (当已知抛物线的顶点坐

5 、常见结论的否定形式;

6 、 四种命题的相互关系(下图): (原命题与逆否命题同真同假; 逆命题与否命题同真同假.)

充要条件:

(1)

则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件;

(2) (3)

且 q ≠> p,则 P 是 q 的充分不必要条件; p ≠> p ,且 ,则 P 是 q 的必要不充分条件;

(4)p ≠> p ,且 7、 函数单调性:

则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。

增函数:(1)文字描述是:y 随 x 的增大而增大。 (2)数学符号表述是:设 f(x)在 上有定义,

若对任意的 有 成立, 则就叫 (x)的递增区间。 减函数:(1) 文字描述是:y 随 x 的增大而减小。 (2)数学符号表述是:设 f(x)在 xD 上有定义, 若对任意的 有

,都

在上是增函数。D 则就是 f

,都

成立,则就叫 f(x)在上是减函数。D 则就是 f(x)的递减区间。 单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数; (2)、减函数+

减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数; 函数-增函数=减函数; 注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性: (4)、减

等价关系: (1)设 ,那么

上是 增函数;

上是减函数.

(2)设函数 则 为增函数;如果

在某个区间内可导,如果 ,则为减函 数.



8、函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数定义:在前提条件下,若有 是奇函数。 性质: (1)、奇函数的图象关于原点对称; (2)、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间; (3)、定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0 . 偶函数定义:在前提条件下,若有 f(—x)=f(x),则 f(x)就是偶函数。 性质:(1)、偶函数的图象关于 y 轴对称; (2)、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间; , 则 f(x)就

奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数; 函数=偶函数; (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; 函数=奇函数(也有例外得偶函数的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; 函数=非奇非偶函数

(2)、奇函数·奇 (4)、奇函数±奇 (6)、奇函数±偶

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关 于原点对称, 那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 9、函数的周期性: 定义:对函数 f(x),若存在 则就叫 f(x)是周期函数, 其中,T 是 f(x)的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式: (1)、 f(x+T)= - f(x),此时周期为 2T ; (2)、 f(x+m)=f(x+n),此时周期为 ; ,使得 f(x+T)=f(x),

(3)、 10、常见函数的图像:

此时期为 2m



11、

对于函数

恒成立,则函数的对称轴



;

两个函数 f=(x+a)与 y=(b-x) 的图象关于直线 12、 分数指数幂与根式的性质:

对称.

13 、指数式与对数式的互化式: . 指数性质:

指数函数: (1)、 在定义域内是单调递增函数;

(2)、 恒过点(0,1) 对数性质:

在定义域内是单调递减函数。注:

指数函数图象都

对数函数: (1)、 (2)、 函数图象都恒过点(1,0) 在定义域内是单调递增函数; 在定义域内是单调递减函数;注: 对数

(3)、

(4)、

14、 式 :

对数的换底公

对数恒等式 推论 15、对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则

16、 平均增长率的问题(负增长时):如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p,则 对于时间的总产值, 有 .

17 、等差数列:通项公式: (1) 为公差,n 为项数, 为末项。 (2)推广: (3) 对任意数列都适用)

,其中

为首项,d

(注:该公式

前 n 项和: (1) 数,为末项。

;其中为首项,n 为项

(2) (3) 任意数列都适用) (注:该公式对

(4) 都适用)

(注:该公式对任意数列

常用性质:(1)、若 m+n=p+q ,则有 注:若 p 成等差。 (2)、若 等差数列。 、为等差数列,则 的等差中项,则有

; n、m、



(3)、 则

为等差数列,为其前 n 项和,

也成等差数列。 (4)、

(5)

等比数列: 通项公式:(1) ,其中为首项,n 为项数,q 为公比。

(2)推广 (3)

: (注:该公式对任意数列都适用)

前 n 项和: 列都适用)

(1)

(注:该公式对任意数

(2)

(注:该公式对任意数列

都适用)

(3)

常用性质:

(1)、若 m+n=p+q ,则有 注:若 的等比中项,则 成等比。 (2)、若、 为等比数列,则





为等比数列。

18、 分期付款(按揭贷款) : 每次还款 19、三角不等式:

元(贷款元,次还清,每期利率为).

(1)若 (2) 若 (3) .

,则 ,则

. .

20 、同角三角函数的基本关系式 : 21、 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

22、 和角与差角公式

(辅助角

所在象限由点(a,b) 的象限决定

, ).

23、 二倍角公式及降幂公式

. 24、 三角函数的周期公式 函数 ω ,为常数,且 A≠0)的周期 及函数 ; 函数,(A,ω ,为常数,且 A≠0)的周 ) , x∈R(A,

期 三角函数的图 像:

.

25 、正弦定理 :

(R 为

外接圆的半径).

26、余弦定 理: 27、面积定理:

(1)

分别表示 a、b、c 边上的高).

28、三角形内角和定理 : 在△ABC 中, 有

. 29、实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么:

30、与的数量积(或内积): 31、平面向量的坐标运算:

·

32 、两向量的夹角公

式:

33、 平面两点间的距离公 式:

34、 向量的平行与垂直 :设=,=,

,则: (交叉相乘差为零) (对应相乘和为零)

35 、线段的定比分公式 :设 是 实数, 且 ,则

,是线段

的分点,

36、三角形的重心坐标公式: 则的重心的坐标是 .

三个顶点的坐标分别为

37、三角形五“心”向量形式的充要条件:设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则

38、常用不等式:

39、极值定理:已知都是正数,则有 (1)若 xy 积是定值 P,则当 x=y 时和有最小值 ;

(2)若 x+y 和是定值 S,则当 x=y 时积有 xy 最大值 (3)已知 ,若 则有

.

(4)已知

,若则有

40、 一元二次不等式 根之外;如果 a 与

,如果 a 与

同号

异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.即:

. 41 、含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有 .

42、 斜率公式 :

43 、直线的五种方程: (1)点斜式: (2)斜截式: (直线 (b 为直线在 y 轴上的截距). ).

(3)两点式: 两点式的推广: (4)截距式 : (5)一般式: 直线的 (分别为直线的横、纵截距, (其中 A、B 不同时为 0). 法向量: ,方向向量 : (无任何限制条件!) )

44 、夹角公式:

45 、到的角公式:

46、 点到直线的距离



(点,直线:).

47、 圆的四种方程: (1)圆的标准方程 : (2)圆的一般方程: (>0).

(3)圆的参数方程 : (4)圆的直径式方程 : (圆的直径的端点是

48、点与圆的位置关系:点

与圆

的位置关系有三种:



49、直线与圆的位置关系:直线



圆的位置关系有三



50 、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,,

则:

.

51 、椭圆

的参数方程是

.

离心率



准线到中心的距离为

,焦点到对应准线的距离(焦准距)



过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为

:.

52、

椭圆

焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

53、椭圆的的内外部 :

54、椭圆的切线方程:

55 、双曲线的

离 心率

,准线到中心的距离为

,焦

距离(焦准距)

。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:.

焦半径公式



两焦半径与焦距构成三角形的面积



56 、双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1)若双曲线方程为

渐近线方程:

(2)若渐近线方程为

双曲线可设为.

(3)若双曲线 (

与有公共渐近线,可设为 ,焦点在 x 轴上, ,焦点在 y 轴上).

(4) 焦点到渐近线的距离总是 b。 57、双曲线的切线方程:

.

58、抛物线

的焦半径公式:

抛物线 过焦点弦长

焦半径 .

59、二次函数

的图象是抛物线:

(1)顶点坐标为

;(2)焦点的坐标为



(3)准线方程是

60 、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 : 或

(弦端点 为直线的倾斜角,

,由方程 为直线的斜率

消去 y 得到

61、证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 62、证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63、证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行。 64、 向量的直角坐标运算:

65、 夹角公式:





66 、异面直线间的距离 : ( 是两异面直线,其公垂向量为 ,C,D 是 上任一点,d 为 间的距离).

67、点到平面

的距离:



为平面的法向量,,

是的一条斜线段)

68、球的半径是 R,则其体积 69、球的组合体:

,其表面积



(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体: 棱长为

的正四面体的内切球的半径为

(正四面体高

,外接球的半径为

(正四面体高

70 、分类计数原理(加法原理): 分步计数原理(乘法原理): .

.

71、排列数公式 :

72 组合数公式:

组合数的两个性质:

73 、二项式定理: 二项展开式的通项公式: 的展开式的系数关系:

74 、互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 75 、独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率:P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An).

76、 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率:

77、 数学期望: 数学期望的性质

(1). (2)若 则 .

(3)



服从几何分布,且

78、方差: 标准差: 方差的性质: (1); (2)若 (3) 若 服从几何分布,且 方差与期望的关系:

79、正态分布密度函数: 式中的实数 是参数,分别表示个体的平均数与标准差.

对于

,取值小于 x 的概率:

.

80 、

处的导数(或变化率):

.

81 函数

、函数

在点

处的导数的几何意义: 在处的切线的斜率

在点处的导数是曲线 .

,相应的切线方程是

82、几种常见函数的导数:

83、 导数的运算法则:

84、 判别

是极大(小)值的方法:

当函数 f(x)在点处连续时,

85 、复数的相等:

86、 复数

的模(或绝对值)

87、 复平面上的两点间的距离公式: 88、实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程

③若

,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数

根.


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