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高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第一节 (110)


课时作业
一、选择题 1 1.已知 f(x)=x+ x-2(x<0),则 f(x)有 ( A.最大值为 0 C.最大值为-4 C = B.最小值为 0 D.最小值为-4 )

1 ? ? [∵x<0,∴f(x)=- ?(-x)+(-x)?-2≤-2-2=-4,当且仅当-x ? ? 1 ,即 x=-1 时取等号.] -x
2 2

2 2 ?a+b?2 a +b ? ? ≤ 2. (2014· 太原模拟)设 a、 b∈R, 已知命题 p: a +b ≤2ab; 命题 q: 2 , ? 2 ?

则 p 是 q 成立的 ( A.必要不充分条件 C.充分必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

B [命题 p:(a-b)2≤0?a=b;命题 q:(a-b)2≥0.显然,由 p 可得 q 成立, 但由 q 不能推出 p 成立,故 p 是 q 的充分不必要条件.] x2+2 3.函数 y= (x>1)的最小值是 x-1 ( A.2 3+2 C.2 3 A [∵x>1,∴x-1>0. ∴y= = = x2+2 x2-2x+2x+2 = x-1 x-1 B.2 3-2 D.2 )

x2-2x+1+2(x-1)+3 x-1 (x-1)2+2(x-1)+3 3 =x-1+ +2 x-1 x-1

≥2

(x-1)

3 +2=2 3+2. x-1

当且仅当 x-1=

3 ,即 x=1+ 3时,取等号.] x-1

4.(2012· 陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平 均时速为 v,则 ( A.a<v< ab C. ab<v< a+b 2 B.v= ab D.v= a+b 2 )

s A [设甲、乙两地的距离为 s,则从甲地到乙地所需时间为a,从乙地到甲地所 s 需时间为b, 又因为 a<b,所以全程的平均速度为 v= s a, 即 a<v< ab.] 5.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 aman=4a1, 1 4 则m+n的最小值为 ( 3 A.2 25 C. 6 5 B.3 D.不存在 ) 2s s= 2ab 2ab 2ab 2ab < = ab, > = a+b 2 ab a+b 2b

a+b

A [设正项等比数列{an}的公比为 q, 由 a7=a6+2a5,得 q2-q-2=0, 解得 q=2. 由 aman=4a1,即 2
m+n-2 2

=4,得 2m+n-2=24,即 m+n=6.

1 4 1 ? 1 4? 5 1?4m n ? 故m+n=6(m+n)?m+n?=6+6? n +m? ? ? ? ?

5 4 3 ≥6+6=2, 4m n 当且仅当 n =m时等号成立.] 1 1 k 6.设 a>0,b>0,且不等式a+b+ ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( a+b A.0 B.4 C.-4 D.-2 C (a+b) 1 1 k [由a+b+ ≥0 得 k≥- , ab a+b
2

)

(a+b)2 b a 而 =a+b+2≥4(a=b 时取等号), ab (a+b)2 所以- ≤-4, ab (a+b)2 因此要使 k≥- 恒成立,应有 k≥-4, ab 即实数 k 的最小值等于-4.] 二、填空题 7.已知 x,y 为正实数,且满足 4x+3y=12,则 xy 的最大值为________. 解析 ∵12=4x+3y≥2 4x×3y,∴xy≤3.

3 ? ?x= , ?4x=3y, 当且仅当? 即? 2 时 xy 取得最大值 3. ?4x+3y=12, ? ?y=2 答案 3 p (p 为常数,且 p>0)若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4, x-1

8.已知函数 f(x)=x+

则实数 p 的值为________. 解析 由题意得 x-1>0,f(x)=x-1+ p +1≥2 p+1,当且仅当 x= p+1 x-1

时取等号, 因为 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4, 9 所以 2 p+1=4,解得 p=4. 答案 9 4

2 9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= x的图象交于 P, Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 解析 由题意知:P、Q 两点关于原点 O 对称,不妨设 P(m,n)为第一象限中

2 的点,则 m>0,n>0,n=m, 4? ? 所以|PQ|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4?m2+m2?≥16, ? ? 4 ? ? ?当且仅当m2=m2,即m= 2时,取等号?, ? ? 故线段 PQ 长的最小值是 4. 答案 4

三、解答题 10.已知 x>0,a 为大于 2x 的常数, (1)求函数 y=x(a-2x)的最大值; (2)求 y= 解析 1 -x 的最小值. a-2x

(1)∵x>0,a>2x,

1 ∴y=x(a-2x)=2×2x(a-2x) 1 ?2x+(a-2x)?2 a2 ? = , ≤2×? 8 2 ? ? a a2 当且仅当 x=4时取等号,故函数的最大值为 8 . (2)y= a-2x a 1 + 2 -2≥2 a-2x 1 a a 2-2= 2-2.

当且仅当 x= 故 y=

a- 2 时取等号. 2

1 a -x 的最小值为 2-2. a-2x

1 9 11.正数 x,y 满足 x+y=1. (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+2y 的最小值.

解析

1 9 (1)由 1= x +y ≥2

1 9 x ·y 得 xy≥36,

1 9 当且仅当 x= y,即 y=9x=18 时取等号, 故 xy 的最小值为 36. 2y 9x ?1 9? (2)由题意可得 x+2y=(x+2y)?x+y ?=19+ x + y ≥19+2 ? ? 2y 9x x · y =19+

2y 9x 6 2,当且仅当 x = y ,即 9x2=2y2 时取等号,故 x+2y 的最小值为 19+6 2. 12.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用 100 万元购得一块土地,该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房,楼房的每平方 米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元.已知建筑第 5 层楼房时,每平方米建筑费用为 800 元. (1)若建筑第 x 层楼时, 该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费 用之和),写出 y=f(x)的表达式; (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低, 应把楼层建成几层?此时平均 综合费用为每平方米多少元? 解析 (1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为 720 元,

建筑第 1 层楼房建筑费用为 720×1 000=720 000(元)=72 (万元), 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 20×1 000=20 000(元)=2(万元), 建筑第 x 层楼房的建筑费用为 72+(x-1)×2=2x+70(万元), 建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 y=f(x)=72x+ x(x-1) ×2+100=x2+71x+100, 2

综上可知 y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z). (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为 g(x), f(x)×10 000 10f(x) 10(x2+71x+100) 则 g(x)= = = 1 000x x x 1 000 =10x+ x +710≥2 1 000 当且仅当 10x= x , 即 x=10 时等号成立. 1 000 10x· x +710=910.

综上可知应把楼层建成 10 层,此时平均综合费用最低,为每平方米 910 元.


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