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高中排列组合21种方法学案


高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排 列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组 合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用 题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类 办法中有 m2 种不同的方法,?,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么 完成这件事共有:
N ? m1 ? m2 ? ? mn

种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步 有 m2 种不同的方法,?,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共 有:
N ? m1 ? m2 ? ? mn

种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完 成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事 ,即采取分步还是分类 ,或是分步与分类同时 进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是 多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解 题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这
1

C4

1

A4

3

C3

1

两个位置.

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位 置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不 种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?

二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
甲 乙 丙 丁

要求某几个元素必须排在一起的问题 ,可以用捆绑法来解决问题 .即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题:某人射击 8 枪, 命中 4 枪, 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不 同种数为 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种?

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 端

练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两 个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻, 那么不同插法的种数为

2

四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法

定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理

练习题:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐 增加,共有多少排法?

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种
n

练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个 新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯 的方法( )

六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?

C D E F G H B A A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆 形排列共有

1 m An n

3

练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈

七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

前 排

后 排

一般地 , 元素分成多排的排列问题 , 可归结为一排考虑 , 再分段研 究.

练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规 定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同 排法的种数是

八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少 不同的装法.

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题:一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不 同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同 的选法有 种

九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在 两个奇数之间,这样的五位数有多少个?
4

1524

3

小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

练习题: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一 行陈列,要求同一品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有 陈列方式的种数为 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种 十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额, 分给 7 个班, 每班至少一个,有多少种分配方案?

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板, 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 Cn?1
m?1

练习题: 1.10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 2. x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数 十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有多少种?

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面,再从整体中淘汰.

练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至 少有一人在内的抽法有多少种?

5

十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法?

平均分成的组,不管它们的顺序如何 ,都是一种情况 ,所以分组后要一定要除以 A n n ( n 为均分的 组数)避免重复计数。

练习题: 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法? 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一 组,有多少种不同的分组方法 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该年级 的两个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为______ 十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演 出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法

解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做 到标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 既有男生又有女生,则不同的选法共有

谈会, 若这 4 人中必须

2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只 能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共 有多少乘船方法.

6

十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条 件的关灯方法有多少种?

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒 模型等,可使问题直观解决

练习题:某排共有 10 个座位,若 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么 不同的坐法有多少种?

十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编 号与盒子的编号相同,有多少投法

5
3 号盒

3
4 号盒

4
5 号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果

练习题: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年 卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种? 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色 方法有 种

7

1 3 2 5 4

十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除

练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线 解: 我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成 对异面直线

每个四面体有

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题 逐一解决,然后依据问题分解后的结构 ,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 ,从而得到 问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

十七.化归策略 例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一 列,不同的选法有多少种?

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简 要的问题, 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法, 从而进下一步解决原来的问题

练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路, 从A走 到 B 的最短路径有多少种?

8

B

A
十八.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数?
数字排序问题可用查字典法 , 查字典的法 应从高位向低位查 , 依次求出其符合要求 的个数,根据分类计数原理求出其总数。

练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小 到大排列起来,第 71 个数是

十九.树图策略 例 19. 3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球 仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,树图会收到意想不到的结果

练习: 分别编有 1, 2, 3, 4, 5 号码的人与椅, 其中 i 号人不坐 i 号椅 ( i ? 1,2,3,4,5 ) 的不同坐法有多少种?

二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从 中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

一些复杂的分类选取题 ,要满足的条件比较多 , 无从入手,经常出现重复遗 漏的情况 ,用表格法 ,则分类明确 ,能保证题中须满足的条件 ,能达到好的效 果.
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二十一:住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一 类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再 利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能 的种数有 .

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