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高二上数学期末复习三教学讲义


高二上数学期末复习三教学讲义-----圆锥曲线 1.已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的 3 5 7 中点 M 到 y 轴的距离为( ) A. B.1 C. D. 4 4 4
2

解析:利用抛物线定义 A 到准线距离|AA′|,B 到准线距离|BB′|,且|AA′|+|BB′|=3, 3 1 5 AB 中点 M 到 y 轴距离 d= - = .答案:C 2 4 4 2 2. 如图过抛物线 y =2px p>0) ( 的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于 点 A, , B 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为( ) 3 9 2 2 2 2 A.y = x B.y =9x C.y = x D.y =3x 2 2

C,

3.设 P 是双曲线 2- 2=1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 分别是 2 b 双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.1 或 5 B.6 C.7 D.9

x2 y2

x2 y2 4.设 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P, a b
→ → → ) 使(OP+OF2)·F2P=0(O 为坐标原点),且|PF1|= 3|PF2|,则双曲线的离心率为( 2+1 3+1 A. B. 2+1 C. D. 3+1 2 2 → → → 解析:∵(OP+OF2)·F2P=0,∴OB⊥PF2 且 B 为 PF2 的中点,又 O 是 F1F2 的中点

?|PF |-|PF |=2ac ∴OB∥PF ,∴PF ⊥PF .则?|PF | +|PF | =4 ?|PF |= 3|PF |
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2

2

整理,可得( 3-1)c=2a,

∴e= = 3+1.

c a

答案:D

5.(2011·浙江)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦点,C2 a b 4 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 13 1 2 2 2 2 ( ) A.a = B.a =13 C.b = D.b =2 2 2

x2 y2

2

y2

y2 解析:依题意:a -b =5,令椭圆 2 + 2=1, b +5 b
2 2

x2

?y=2x ? 1 x2 1 N 如图可知 MN= AB,∴ 2= ,由? x2 y2 3 xB 9 + 2=1, 2 ?b +5 b ?
由?
? ?y=2x ?x +y =a ?
2 2 2 2 2

∴xN=

2

b2? b2+5? , 2 5b +20

b2? b2+5? 2 5b +20 a xN 1 2 2 2 ∴xB= ,∴ 2= = ,∴又 a =b +5, 5 xB a2 9
5 答案:C

1 2 2 2 ∴9b =b +4,∴b = . 2

6.(2011·浙江)设 F1,F2 分别为椭圆 +y =1 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上,若F1A= 3 → 5F2B,则点 A 的坐标是____________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),∵F1(- 2,0),F2( 2,0), → → ∵F1A=(x1+ 2,y1),F2B=(x2- 2,y2),∴(x1+ 2,y1)=5(x1- 2,y2), ∵?

x2


2

?x1+ 2=5? x2- 2? ?y1=5y2

??

?x1=5x2-6 2 ?y1=5y2
2



又∵点 A,B 都在椭圆上,∴ +y2=1, +y1=1, 3 3 ∴ ? 5x2-6 2? 3
2 2

x2 2

x2 1

2

+(5y2) =1,∴

2

25x2-60 2x2+72 2 +25y2=1, 3

2

?x2 2? ∴25? +y2?-20 2x2+24=1,∴25-20 2x2+24=1, ?3 ?
∴x2= 6 2 2,∴x1=5x2-6 2=0,∴把 x1=0 代入椭圆方程得 y1=1,∴y1=±1, 5

∴点 A(0,±1). 7.点 P 是双曲线 -y =1 的右支上一点,M、N 分别是(x+ 5) +y =1 和(x- 5) +y = 4 1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值是( A.2 B.4 C.6 ) D.8

x2

2

2

2

2

2

解析:如图,当点 P、M、N 在如图所示的位置时,|PM|-|PN|可取得最大值,注意到 两圆圆心分别为双曲线两焦点,故|PM|-|PN|=(|PF1|+|F1M|)-(|PF2|-|F2N|)=|PF1|- |PF2|+|F1M|+|F2N|=2a+2R=6.

答案:C 8.已知点 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 x 轴的 直线与双曲线交于 A, 两点, ABF2 是锐角三角形, B 若△ 则该双曲线离心率的取值范围是( A.(1, 3) B.( 3,2 2) C.(1+ 2,+∞) D.(1,1+ 2) )

x2 y2 a b

b2 a c2-a2 π 1 2 解析:依题意得,0<∠AF2F1< ,故 0<tan∠AF2F1<1,则 = <1,即 e- <2,e 4 2c 2ac e
-2e-1<0, (e-1) <2,所以 1<e<1+ 2,选 D.
2
2

答案:D

9.已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a) , 则当 | a |? 4 时, | PA | ? | PM | 的最小值是 【答案】 a ? 9 ? 1
2
2 【解析】当 x ? 4 时, y ? 4 ? 4 ? 16 ,所以 y ? ?4 ,即 y ? 4 ,因为 | a |? 4 ,所以点 A



在抛物线的外侧,延长 PM 交直线 x ? ?1 ,

由抛物线的定

义可知 PN ? PM ? 1 ? PF ,当,三点 A, P, F 共线时, | PA | ? | PF | 最小,此时为
2 2 2 | PA | ? | PF |? AF , 又焦点坐标为 F (1,0) ,所以 AF ? (4 ? 1) ? a ? 9 ? a , 即

P ? 1 ?P 的最小值为 a 2 ? 9 ,所以 PM ? PA 的最小值为 a 2 ? 9 ? 1 。 M A

x2 y2 ( 10.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ? c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存 a b a c 在点 P 使 ,则该椭圆的离心率的取值范围为( ) ? sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1

) A.(0, 2 ? 1
【答案】D 【解析】 根据正弦定理得

B.(

2 ,) 1 2

C.(0,

2 ) 2

D.( 2 ? 1 ,1)

PF2 sin ?PF1 F2


?

PF1 sin ?PF2 F1
c ?e a

, 所以由

a c 可 ? sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1



a c ? PF2 PF1
1



PF1 PF2

?

, ,

所 即



PF1 ? e PF2
2a PF F 2 ? e ?1 e


, 因

又 为

P

F ?

P? F 2
2

P 2 e?

F 2( ?

1P 2 ) F? 2 ? P

a

a?

c?

P

F ?

,(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为 0,无意义)所以

?a

c

a?c?

2a c 2 c , 所 以 2 ? a ? c , 即 1? ? ? 1? 1? e ? ? 1? e , 即 e ?1 a e ?1 a e ?1

1 ) 1 ) ?2 ? e 2 ? 2 ?( ? e ? e( ? ?1 ,所以 ? ,解得 2 ? 1 ? e ? 1 ,即 ( 2 ? 1,1) ,选 D. ? 2 2 ? (? 1 e ) ? 2 ? 1? e ? ?
11.已知抛物线 C : y ? 4 x, 点M (m,0) 在 x 轴的正半轴上,过 M 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点。 (I)若 m=1,且直线 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; ( II ) 问是 否 存在 定点 M , 不 论直 线 l 绕 点 M 如何 转 动, 使 得
2

1 1 恒为定值。 ? 2 | AM | | BM | 2

21.解: (I)设 A,B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,AB 中点 P 的坐 标为 P( x0 , y 0 ), 由题意得 M(1,0) ,直线 l 的方程为 y ? x ? 1. 由? 2分

? y ? x ? 1, 得x 2 ? 6 x ? 1 ? 0, 2 ? y ? 4 x,

则 x1 ? x 2 ? 6, x1 ? x 2 ? 1, 且x0 ?

x1 ? x2 ? 3, y 0 ? x0 ? 1 ? 2. 2
2 2

4分

2 故圆心为 P(3,2) ,直径 | AB |? 1 ? k | x1 ? x 2 |?

2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 8.
6分

∴以 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 16. (II)若存在这样的点 M,使得 设直线 l : x ? ky ? m. 由?

1 1 为定值, ? 2 | AM | | BM | 2

? x ? k y ? m, 得y 2 ? 4k y ? 4m ? 0, 于是y1 ? y 2 ? 4k , y1 y 2 ? ?4m. 2 ? y ? 4 x,
2 2 2 2 2 2

| 又? AM | ? y1 (1 ? k ), | BM | ? y 2 (1 ? k ),

( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( 2 ? 2 )? ? ? | AM | 2 | BM | 2 y1 y 2 1 ? k 2 1 ? k 2 ( y1 y 2 ) 2 m 16(k 2 ? ) 1 2 , 10 分 ? ? 1? k 2 16 m 2 1 1 1 m 因为要与 k 无关,只需令 ? 1, 即 m=2,进而 ? ? . 2 2 4 2 | AM | | BM |
所以,存在定点 M(2,0) ,不论直线 l 绕点 M 如何转动,

1 1 1 恒为定值 . ? 2 2 4 | AM | | BM |

17.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分)已知椭圆

???? ? ???? ? x2 y 2 由点 P 向 x 轴作垂线段 PQ, 垂足为 Q, M 在 PQ 上, PM ? 2MQ , 点 且 ? ? 1上任一点 P, 4 9
点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 D(0,-2)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 N 是过点 (0, ?

4 ) 且平行 17

???? ??? ??? ? ? 于 x 轴的直线上一动点,满足 ON ? OA ? OB (O 为原点) ,问是否存在这样的直线 l,
使得四边形 OANB 为矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在说明理由 【 答 案 】

因为 ON ? OA ? OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形, 假设存在矩形 OANB,则 OA ? OB ? 0 即 x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , 所以 (1 ? k 2 ) ? 分 设 N(x0,y0) ,由 ON ? OA ? OB ,得

12 16 k ? 2k ? ? 4 ? 0,即k 2 ? 4, k ? ?2 , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

…………10

y 0 ? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ?

4 16 k 2 ?4 4 , ?4? ? ? ,即 N 点在直线 y ? ? 2 2 17 17 1 ? 4k 1 ? 4k

所以存在四边形 OANB 为矩形,直线 l 的方程为 y ? ?2 x ? 2 18.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C 的方程为 x =4y,M 为直线 l:y=-m(m>0)上任意一点,过点 M 作抛物线 C 的两 条切线 MA,MB,切点分别为 A,B. (Ⅰ)当 M 的坐标为(0,-l)时,求过 M,A,B 三点的圆的标准方程,并判断直线 l 与此圆的位置关系; (Ⅱ)当 m 变化时,试探究直线 l 上是否存在点 M,使 MA ⊥MB?若存在,有几个这样的 点,若不存在,请说明理由, 【答案】解: (Ⅰ)当 M 的坐标为 (0 , 1) 时, ? 设过 M 点的切线方程为 y ? kx ? 1 ,代入 x 2 ? 4 y ,整理得 x2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,① 令 ? ? (4k )2 ? 4 ? 4 ? 0 ,解得 k ? ?1 , 代入方程①得 x ? ?2 ,故得 A(2 , , B(?2 , . 1) 1) 因为 M 到 AB 的中点(0,1)的距离为 2, 从而过 M ,A ,B 三点的圆的标准方程为 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 4 . 易知此圆与直线 l:=-1 相切. ……………………………………………………… 分) y (6 (Ⅱ)设切点分别为 A( x1 ,y1 ) 、 B( x2 ,y2 ) ,直线 l 上的点为 M ( x0 ,y0 ) , 过抛物线上点 A( x1 ,y1 ) 的切线方程为 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ,因为 x12 ? 4 y1 , k ? x1 ,
2
2

从而过抛物线上点 A( x1 ,y1 ) 的切线方程为 y ? y1 ? 所以得 y0 ?
x1 x2 x0 ? 1 ,即 x12 ? 2 x0 x1 ? 4 y0 ? 0 . 2 4

x1 ( x ? x1 ) ,又切线过点 M ( x0 ,y0 ) , 2

2 同理可得过点 B( x2 ,y2 ) 的切线方程为 x2 ? 2 x0 x2 ? 4 y0 ? 0 , ……………………… 分) (8

因为 kMA ?

x1 x , kMB ? 2 且 x1 ,x2 是方程 x 2 ? 2 x0 x ? 4 y0 ? 0 的两实根, 2 2

? x ? x ? 2 x0 , 从而, ? 1 2 ? x1 x2 ? 4 y0 ,

所以 kMA ? kMB ?

x1 x2 ? ? y0 , 2 2

当 y0 ? ?1 ,即 m ? 1时, 直线 l 上任意一点 M 均有 MA⊥MB,…………………………………………………(10 分) 当 y0 ? ?1 ,即 m≠1 时,MA 与 MB 不垂直. 综上所述,当 m =1 时,直线 l 上存在无穷多个点 M,使 MA⊥MB,当 m≠1 时,直线 l 上不存在满足条件的点 M.……………………………………………………………(12 分)

(20)(本小题满分 12 分)
设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A ,过点 A 与 a 2 b2

????? ???? ? ? AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ,且 2 F1 F2 ? F2Q ? 0 .
(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A 、 Q 、 F2 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方 程; (3)在(2)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点, 在 x 轴上是否存在点 P ( m , 0) 使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形,如果 存在,求出 m 的取值范围,如果 不存在,说明理由。
y
A

Q

? F1

O

? F2

x

(21) (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? (I)若 a ?

1 ( x ? 1) 2 ? ln x ? ax ? a . 2

3 ,求函数 f (x) 的极值; 2 (II)若对任意的 x ? (1,3) ,都有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围.
[来源:学|科|网] (20)(本小题满分 12 分) (1)解:设 Q(x0,0) ,由 F2 (c,0) ,A(0,b) 知 F2 A ? (?c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

b2 ? F2 A ? AQ,? ?cx0 ? b ? 0, x0 ? ? , c
2

由于 2 F1 F2 ? F2 Q ? 0 即 F1 为 F2 Q 中点. 故?

b2 ? c ? ?2c ? b 2 ? 3c 2 ? a 2 ? c 2 , c
1 2
??? (3 分)

故椭圆的离心率 e ? (2)由⑴知

c 1 1 1 3 ? , 得 c ? a 于是 F2 ( a ,0) Q (? a,0) , a 2 2 2 2 1 1 △AQF 的外接圆圆心为(- a ,0) ,半径 r= |FQ|= a 2 2 1 | ? a ?3| 2 所以 ? a ,解得 a =2,∴c =1,b= 3 , 2
所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

??? (6 分)

(3)由(Ⅱ)知 F2 (1,0)

l : y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 3 ?4

代入得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0
2 2 2 2

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ?

8k 2 , y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) 3 ? 4k 2

??? (8 分)

PM ? PN ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x 2 ? m, y 2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2m, y1 ? y 2 )

由于菱形对角线垂直,则 ( PM ? PN ) ? MN ? 0 故 k ( y1 ? y 2 ) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0 则 k ( x1 ? x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0
2

k2 (

8k 2 8k 2 ? 2) ? ? 2m ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

??? (10 分)

由已知条件知 k ? 0 且 k ? R

?m ?

k2 1 ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2

?0 ? m ?

1 4 1 . 4

故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 0 ? m ?

??? (12 分)


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