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高中数学必背公式——立体几何与空间向量


立体几何与空间向量

求角:
(1)异面直线所成的角:
r r r r | a ?b | 可平移至同一平面; 也可利用空间向量:cos? ?| cos ? a, b ?| = r r ? | a |?| b | | x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | x ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2
2 1

r r b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向量) (其中 ? ( 0o ? ? ? 90o )为异面直线 a, 。
(2)直线与平面所成的角: 在斜线上找到任意一点,过该点向平面作垂线,找到斜线在该平面上的射影,则斜线和射 影所成 的角 便是 直线 与平面 所成 的角 ;也 可利用 空间 向量 ,直 线 AB 与平 面所 成角 ??? ? ?? AB ? m ? ?? sin ? ? ??? | AB || m |
?? ( m 为平面 ? 的法向量).

(3)二面角: 方法一:常见的方法有三垂线定理法和垂面法; 方法二:向量法:夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1, b2 , b3 ) ,则 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 cos〈a,b〉= . 2 2 2 2 a1 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32
2 2 2 2 推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a12 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式. ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量).

求空间距离:
(1)点与点的距离、点到直线的距离,一般用三垂线定理“定性” ; ??? ? ?? ? | AB ? n | ? ? ( n 同时垂直于两直线, A 、 B 分别在两直线上) (2)两条异面直线的距离: d ? ; |n|

??? ? ?? ? | AB ? n | ? ? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ?? ) (3)求点面距: d ? ; |n|
(3)线面距、面面距都转化为点面距。 △空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x.y,使 MB 都表示向量} MP=xMA+yMB {MP MA

或对空间任一定点 O,有 OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB 表示向量}

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