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江苏省盐城市2008-2009高三第一次调研考试数学试题


高三第一次调研考试 盐城市 2008/2009 高三第一次调研考试


∑ xi yi nx y
i =1 n n


∑ ( x x)( y y)
i =1 i i n

(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
参考公式:线性回归方程的系数公式为 b =

∑x
i =1

2

i

nx

2

=

∑ ( x x)
i =1 i

n

, a = y bx .

2

一, 填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知角 α 的终边过点 P (-5,12),则 cos α =____▲____. 2.设 (3 + i ) z = 10i ( i 为虚数单位),则 | z | =____▲____. 3.如图,一个几何体的主视图与左视图都是边长为 2 的正方形,其俯视图是 直径为 2 的圆,则该几何体的表面积为____▲____.

x ≥ 0, y ≥ 0 所表示的区域为 A ,现在区域 A 中任意丢进一 4.设不等式组 x ≤ 2 y≤2
个粒子,则该粒子落在直线 y =

主俯俯

左俯俯

1 x 上方的概率为____▲____. 2

俯俯俯
第3题 开始

5. 某单位为了了解用电量 y 度与气温 x 0 C 之间的关系,随机统计了某 4 天 的用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温( C) 用电量(度)
0

18 24

13 34

10 38

-1 64
0

S←0

由表中数据得线性回归方程 y = bx + a 中 b = 2 ,预测当气温为 4 C
时,用电量的度数约为____▲____. 6.设方程 2 ln x = 7 2 x 的解为 x0 ,则关于 x 的不等式 x 2 < x0 的最大整数解 为____▲____. 7.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下表所示的数据. 观测次数 i 观测数据 ai 1 40 2 41 3 43 4 43 5 44 6 46 7 47 8 48

i←1
输入 ai

i← i +1
2

S←S + ( ai a )

i ≥ 8?
是 S ← S/8



在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 a 是这 8 个数据的平均数),则输出的 S 的值是____▲____.
2 8.设 P 为曲线 C : y = x x + 1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围

输出 S

结束 1 第7题

是 [ 1,3] ,则点 P 纵坐标的取值范围是____▲____. 9.已知 {an } 是等比数列, a2 = 2, a4 = 8 ,则 a1a2 + a2 a3 + a3 a4 + + an an +1 =____▲____. 10.在平面直角坐标平面内,不难得到"对于双曲线 xy = k ( k > 0 )上任意一点 P ,若点 P 在 x 轴, y 轴

x2 y2 上 的 射 影 分 别 为 M , N , 则 PM PN 必 为 定 值 k " . 类 比 于 此 , 对 于 双 曲 线 2 2 = 1 a b ( a > 0 , b > 0 )上任意一点 P ,类似的命题为:____▲____. 2 2 ; 11. 现 有 下 列 命 题 : ① 命 题 " x ∈ R, x + x + 1 = 0 " 的 否 定 是 " x ∈ R, x + x + 1 ≠ 0 " ② 若

A = { x | x > 0} , B = { x | x ≤ 1} ,则 A ∩ (R B ) = A ;③函数 f ( x) = sin(ω x + φ )(ω > 0) 是偶函数的充

要条件是 φ = kπ +

π
2

(k ∈ Z ) ;④若非零向量 a, b 满足 | a |=| b |=| a b | ,则 b与(a b) 的夹角为 60.

其中正确命题的序号有____▲____.(写出所有你认为真命题的序号)

x2 y2 12.设 A, F 分别是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点 P ,使得线段 a b PA 的垂直平分线恰好经过点 F ,则椭圆的离心率的取值范围是____▲____. 13.如图,在三棱锥 P ABC 中, PA ,PB ,PC 两两垂直,且 PA = 3, PB = 2, PC = 1 .设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f ( M ) = (m, n, p ) ,其中 m , ,p 分别是三棱锥 M PAB , n P 1 三棱锥 M PBC ,三棱锥 M PCA 的体积.若 f ( M ) = ( , x, y ) ,且 2 1 a + ≥ 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为____▲____. x y
A C

14.若关于 x 的不等式 x < 2 x t 至少有一个负数解,则实数 t 的取值范
2

M B
第 13 题

围是____▲____. 二,解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明 过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知在 ABC 中, cos A = (Ⅰ)求 tan 2A ; (Ⅱ)若 sin(

6 , a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边. 3

π
2

+ B) =

2 2 , c = 2 2 ,求 ABC 的面积. 3

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中,侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ,侧棱 PA ⊥ PD , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , 其 中

P

BC // AD , ∠BAD = 900 , AD = 3BC , O 是 AD 上一点. (Ⅰ)若 CD // 平面PBO ,试指出点 O 的位置; (Ⅱ)求证: 平面PAB ⊥ 平面PCD .
B
2

A

O C
第 16 题

D

17. (本小题满分 15 分) 如图,某小区准备在一直角围墙 ABC 内的空地上植造一块"绿地 ABD ",其中 AB 长为定值 a , BD 长可根据需要进行调节( BC 足够长).现规划在 ABD 的内接正方形 C BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积 S1 与种花的面积 S2 的比值

S1 称为"草花比 y ". S2 (Ⅰ)设 ∠DAB = θ ,将 y 表示成 θ 的函数关系式; (Ⅱ)当 BE 为多长时, y 有最小值?最小值是多少?
F

D

G

A

E
第 17 题

B

18. (本小题满分 15 分) 已知 ⊙ C 过点 P (1,1) ,且与 ⊙ M : ( x + 2) 2 + ( y + 2) 2 = r 2 ( r > 0) 关于直线 x + y + 2 = 0 对称. (Ⅰ)求 ⊙ C 的方程; (Ⅱ)设 Q 为 ⊙ C 上的一个动点,求 PQ MQ 的最小值; (Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与 ⊙ C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原 点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

19. (本小题满分 16 分)

(Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [ 2, t ] 上为单调函数; (Ⅱ)求证: n > m ;

已知函数 f ( x ) = ( x 2 3 x + 3) e x 定义域为 [ 2, t ] ( t > 2 ),设 f ( 2) = m, f (t ) = n .

f ' ( x0 ) 2 (Ⅲ)求证:对于任意的 t > 2 ,总存在 x 0 ∈ ( 2, t ) ,满足 = (t 1) 2 ,并确定这样的 x0 的个数. x0 e 3

20. (本小题满分 16 分) 在正项数列 {an } 中,令 S n =


i =1

n

(Ⅰ)若 {an } 是首项为 25,公差为 2 的等差数列,求 S100 ; (Ⅱ)若 S n =

1 . ai + ai +1

2 (Ⅲ)给定正整数 k ,正实数 M ,对于满足 a12 + ak +1 ≤ M 的所有等差数列 {an } ,

np ( p 为正常数)对正整数 n 恒成立,求证 {an } 为等差数列; a1 + an +1

求 T = ak +1 + ak + 2 + + a2 k +1 的最大值.

3

高三第一次调研考试 盐城市 2008/2009 高三第一次调研考试

数学附加题
(总分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题] 在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区 域内. A.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图, ABC是 ⊙ O 的内接三角形, PA是 ⊙ O 的切线,

PB 交 AC 于点 E ,交⊙ O 于点 D ,若 PE = PA ,

∠ABC = 60 ,PD = 1,BD = 8,求BC的长 .

第 21 题(A)

B.(选修 4—2:矩阵与变换) 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2). (Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M 1 ; (Ⅱ)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:2x-y=4,求 l 的方程. C.(选修 4—4:坐标系与参数方程)

在极坐标系中,设圆 ρ = 3 上的点到直线 ρ cosθ + 3sinθ = 2 的距离为 d ,求 d 的最大值. D.(选修 4—5:不等式选讲)
1 1 1 100 设 a, b, c 为正数且 a + b + c = 1 ,求证: (a + ) 2 + (b + ) 2 + (c + ) 2 ≥ . a b c 3

(

)

[必做题] 第 22,23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22. (本小题满分 10 分) 如图,ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°. (Ⅰ)求点 A 到平面 PBD 的距离; (Ⅱ)求二面角 A—PB—D 的余弦值.

O
第 22 题

23. (本小题满分 10 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

2 .现在甲, 乙两人从袋中轮流摸取 1 球, 7

甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次 被取出的机会是等可能的,用 ξ 表示取球终止时所需要的取球次数. (Ⅰ)求袋中原有白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 ξ 的概率分布及数学期望 Eξ ; (Ⅲ)求甲取到白球的概率.
4

盐城市 2008/2009 高三第一次调研

数学参考答案
一,填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.

5 2. 13 2 n 9. ± (1 4 ) 3
1. 11.②③

10

3. 6π

4.

3 4

5.68

6. 4

7. 7

8. [ , 3]

3 4

a 2b 2 10. 若点 P 在两渐近线上的射影分别为 M , N ,则 PM PN 必为定值 2 a + b2 1 9 12. ,1 13.1 14. , 2 2 4

二,解答题:本大题共 6 小题,计 90 分. 15. 解: (Ⅰ)因为 cos A = ∴ tan 2 A =

6 3 2 ,∴ sin A = ,则 tan A = …………………………………………(4 分) 3 3 2

2 tan A = 2 2 ……………………………………………………………………………(7 分) 1 tan 2 A π 2 2 2 2 1 (Ⅱ)由 sin( + B ) = ,得 cos B = ,∴ sin B = …………………………………………(9 分) 2 3 3 3 6 则 sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B = …………………………………………(11 分) 3 c sin A 1 2 2 由正弦定理,得 a = = 2 ,∴ ABC 的面积为 S = ac sin B = ………………………(14 分) sin C 2 3 16. (Ⅰ)解:因为 CD // 平面PBO , CD 平面ABCD ,且 平面ABCD ∩ 平面PBO = BO , 所以 BO // CD ……………………………………………………………………………………………(4 分) 又 BC // AD ,所以四边形 BCDO 为平行四边形,则 BC = DO ……………………………………(6 分) 而 AD = 3BC ,故点 O 的位置满足 AO = 2OD ………………………………………………………(7 分) (Ⅱ)证: 因为侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD , AB 底面ABCD ,且 AB ⊥ 交线AD , 所以 AB ⊥ 平面PAD ,则 AB ⊥ PD …………………………………………………………………(10 分) 又 PA ⊥ PD ,且 PA 面PAB, AB 面PAB, AB ∩ PA = A ,所以 PD ⊥ 平面PAB …………(13 分) 而 PD 平面PCD ,所以 平面PAB ⊥ 平面PCD …………………………………………………(14 分) 1 2 π 17. 解:(Ⅰ)因为 BD = a tan θ ,所以 ABD 的面积为 a tan θ ( θ ∈ (0, ) )………………………(2 分) 2 2 FG DG t a tan θ t 设正方形 BEFG 的边长为 t ,则由 = ,得 = , AB DB a a tan θ a tan θ a 2 tan 2 θ 解得 t = ,则 S 2 = …………………………………………………………………(6 分) 1 + tan θ (1 + tan θ )2
所以 S1 =

1 2 1 a 2 tan 2 θ S (1 + tan θ ) 2 a tan θ S2 = a 2 tan θ ,则 y = 1 = 1 ………………(9 分) 2 2 (1 + tan θ ) 2 S2 2 tan θ 1 1 1 1 (Ⅱ)因为 tan θ ∈ (0, +∞) ,所以 y = (tan θ + + 2) 1 = (tan θ + ) ≥ 1 ……………(13 分) 2 tan θ 2 tan θ a a 当且仅当 tan θ = 1 时取等号,此时 BE = .所以当 BE 长为 时, y 有最小值 1…………………(15 分) 2 2
5

a 2 b 2 2 + 2 +2=0 a = 0 18. 解:(Ⅰ)设圆心 C (a, b) ,则 ,解得 …………………………………(3 分) b+2 b = 0 =1 a+2 2 2 2 2 2 2 则圆 C 的方程为 x + y = r ,将点 P 的坐标代入得 r = 2 ,故圆 C 的方程为 x + y = 2 ………(5 分)
(Ⅱ)设 Q ( x, y ) ,则 x + y = 2 ,且 PQ MQ = ( x 1, y 1) ( x + 2, y + 2) …………………………(7 分)
2 2

= x + y + x + y 4 = x + y 2 ,所以 PQ MQ 的最小值为 4 (可由线性规划或三角代换求得)…(10 分)
2 2

(Ⅲ)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA : y 1 = k ( x 1) ,

y 1 = k ( x 1) 2 2 2 PB : y 1 = k ( x 1) ,由 2 ,得 (1 + k ) x + 2k (1 k ) x + (1 k ) 2 = 0 ………(11 分) 2 x +y =2 k 2 2k 1 因为点 P 的横坐标 x = 1 一定是该方程的解,故可得 x A = ………………………………(13 分) 1+ k 2 k 2 + 2k 1 y y A k ( xB 1) k ( x A 1) 2k k ( xB + x A ) 同理, xB = ,所以 k AB = B = = = 1 = kOP 2 1+ k xB x A xB x A xB x A 所以,直线 AB 和 OP 一定平行…………………………………………………………………………(15 分) 2 x x x 19. (Ⅰ)解:因为 f ′( x ) = ( x 3 x + 3) e + (2 x 3) e = x ( x 1) e …………………………………(2 分) 由 f ′( x) > 0 x > 1或x < 0 ;由 f ′( x ) < 0 0 < x < 1 ,所以 f ( x ) 在 (∞, 0), (1, +∞ ) 上递增, 在 (0,1) 上递减 …………………………………………………………………………………………(4 分) 欲 f (x ) 在 [ 2, t ] 上为单调函数,则 2 < t ≤ 0 ………………………………………………………(5 分) (Ⅱ)证:因为 f ( x ) 在 (∞, 0), (1, +∞ ) 上递增,在 (0,1) 上递减,所以 f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值 e (7 分) 13 又 f ( 2) = 2 < e ,所以 f ( x ) 在 [ 2, +∞ ) 上的最小值为 f ( 2) …………………………………(9 分) e 从而当 t > 2 时, f ( 2) < f (t ) ,即 m < n …………………………………………………………(10 分)
f ' ( x0 ) f '(x ) 2 2 = x0 2 x0 ,所以 x0 0 = (t 1) 2 即为 x0 2 x0 = (t 1) 2 , x0 e e 3 3 2 2 2 2 2 2 令 g ( x ) = x x (t 1) ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) = x x (t 1) =0 3 3 在 ( 2, t ) 上有解,并讨论解的个数……………………………………………………………………(12 分) 2 2 2 1 2 2 因为 g ( 2) = 6 (t 1) = (t + 2)(t 4) , g (t ) = t (t 1) (t 1) = (t + 2)(t 1) ,所以 3 3 3 3 ①当 t > 4或 2 < t < 1 时, g ( 2) g (t ) < 0 ,所以 g ( x ) = 0 在 ( 2, t ) 上有解,且只有一解 ……(13 分) 2 2 ②当 1 < t < 4 时, g ( 2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = (t 1) < 0 , 3 所以 g ( x ) = 0 在 ( 2, t ) 上有解,且有两解 …………………………………………………………(14 分)
(Ⅲ)证:因为 ③当 t = 1 时, g ( x ) = x 2 x = 0 x = 0或x = 1 ,所以 g ( x ) = 0 在 ( 2, t ) 上有且只有一解; 当 t = 4 时, g ( x ) = x 2 x 6 = 0 x = 2或x = 3 , 所以 g ( x ) = 0 在 ( 2, 4) 上也有且只有一解…………………………………………………………(15 分)

f ' ( x0 ) 2 综上所述, 对于任意的 t > 2 ,总存在 x 0 ∈ ( 2, t ) ,满足 = (t 1) 2 , x0 e 3 且当 t ≥ 4或 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x0 适合题意;当 1 < t < 4 时,有两个 x0 适合题意…………(16 分) 2 2 (说明:第(Ⅱ)题也可以令 ( x ) = x 2 x , x ∈ ( 2, t ) ,然后分情况证明 (t 1) 在其值域内,并讨论直 3

6

2 (t 1)2 与函数 ( x) 的图象的交点个数即可得到相应的 x0 的个数) 3 a201 a1 a ai 1 20.(Ⅰ)解:由题意得, ,所以 S100 = = 5 ……………………(4 分) = i +1 2 2 ai + ai +1
线y= (Ⅱ)证:令 n = 1 , 所以 S n =

p 1 = ,则 p =1………………………………………………(5 分) a1 + a2 a1 + a2


i =1

n

n +1 np (n + 1) p 1 1 = (1), S n +1 = ∑ = (2), ai + ai +1 a1 + an +1 ai + ai +1 a1 + an + 2 i =1

(2)—(1),得

(n + 1) n 1 — = , a1 + an + 2 a1 + an +1 an +1 + an + 2

化简得 ( n + 1) an +1 nan + 2 = a1 ( n ≥ 1) (3)……………………………………………………………(7 分) 在(3)中令 n = 1 ,得 a1 + a3 = 2a2 ,从而 {an } 为等差数列 …………………………………………(10 分) (Ⅲ)记 t = ak +1 ,公差为 d ,则 T = ak +1 + ak + 2 + + a2 k +1 = (k + 1)t + 则

(n + 2)an + 2 (n + 1)an +3 = a1 (n ≥ 1) (4),(4)—(3)得 an +1 + an +3 = 2an + 2 (n ≥ 1) …………(9 分) k (k + 1) d …………………(12 分) 2

T kd 2 2 2 2 =t+ , M ≥ a1 + ak +1 = t + (t kd ) k +1 2 4 kd 1 4 kd 2 T 2 = (t + ) 2 + (4t 3kd ) 2 ≥ (t + )2 = ( ) …………………………………………(14 分) 10 2 10 10 2 5 k +1 M 4t = 3kd ak +1 = t = 3 (k + 1) 10 M 10 则T ≤ ,当且仅当 时等号成立……………(16 分) 2 kd 2 ,即 2 d = 4 M M = 5 (t + 2 ) k 10

数学附加题部分
21.A. 几何证明选讲选做题 A (几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题) 解: 因为 PB=PD+BD=1+8=9, PA2 =PD BD=9,PA=3,AE=PA=3,连结 AD,在 ADE 中,得 AD =

7 ……(5 分)

又 AED BEC ,所以 BC = 2 7 …………………………………………………………………(10 分) B. 矩阵与变换选做题) (矩阵与变换选做题 矩阵与变换选做题 b b 1 1 a b 2 0 a a 解: (Ⅰ)设 = , ,则有 c 1 = 1 , c d d d 1 2 c a = 1 b = 2 a b = 1 2a + b = 0, 所以 ,且 ,解得 …………………………………………………………(4 分) c d = 1 2c + d = 2 c = 3 d = 4
1 所以 M= 3 2 1 2 1 ,从而 M = 3 1 ………………………………………………………………(7 分) 4 - 2 2 x′ 1 2 x x + 2 y (Ⅱ)因为 = = 且 m:2 x′ y ′ = 4 , y ′ 3 4 y 3 x + 4 y

所以 2(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+4 =0,这就是直线 l 的方程 ………………………………………(10 分) C. 坐标系与参数方程选做题 (坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题)
7

解:将极坐标方程 ρ = 3 转化为普通方程: x + y = 9 ……………………………………………(2 分)
2 2

ρ cos θ + 3 sin θ = 2 可化为 x + 3 y = 2 …………………………………………………………(5 分)
2 2 在 x + y = 9 上任取一点 A ( 3cos α ,3sin α ) ,则点 A 到直线的距离为

(

)

d=

3cos α + 3 3 sin α 2 2

=

6sin(α + 300 ) 2 2

,它的最大值为 4 ……………………………(10 分)

D. 不等式选讲选做题 (不等式选讲选做题 不等式选讲选做题) 证:左= (1 + 1 + 1 )[( a + ) + (b + ) + (c + ) ] ≥ [1× ( a + ) + 1× (b + ) + 1× (c + )] …(5 分)

1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 a b c 3 a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 = [1 + ( + + )]2 = [1 + (a + b + c)( + + )]2 ≥ (1 + 9)2 = ……………………(10 分) 3 a b c 3 a b c 3 3

22.解:以 OA,OB 所在直线分别 x 轴,y 轴,以过 O 且垂直平面 ABCD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标 系, A( 3 ,0,0), B (0,1,0), C ( 3 ,0,0), D (0,1,0), P ( 3 ,0,2) ,DB = (0, 2, 0), AP = (0, 0, 2) …(2 分) 则 (Ⅰ)设平面 PDB 的法向量为 n1 = ( x1 , y1 , z1 ) , DP = ( 3 ,1,2), 由

DB = (0,2,0) ,

2 3 3 x1 + y1 + 2 z 1 = 0 ,得 .令 z1 = 1, 得 n1 = ( , 0,1) , DA = ( 3,1, 0), 3 n1 DB = 0 2 y1 = 0 | n1 DA | 2 21 = …………………………………………………(5 分) 7 | n1 |

n1 DP = 0

所以 点A到平面PDB的距离d =

(Ⅱ)设平面 ABP 的法向量 n 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , AP = (0,0,2), AB = ( 3 ,1,0) ,

3 x2 = 3 AP n 2 = 0 3 2 x2 = 0 由 ,得 .令y2 = 1, 得 y2 = 1 ,∴ n 2 = ( ,1,0) , 3 3 x2 + y2 = 0 AB n 2 = 0 z = 0 2

∴ cos < n1 , n2 >=

n1 n2 7 = ,而所求的二面角与 < n1 , n2 > 互补, 7 | n1 || n2 |

(Ⅱ)由题意, ξ 的可能取值为 1,2,3,4………………………………………………………………(4 分)

7 …………………………………………………………………(10 分) 7 n(n 1) 2 2 C n(n 1) 2 23.解:(Ⅰ)设袋中原有 n 个白球,由题意知: = n = = ,所以 n( n 1) =12, 2 7×6 7 C7 7×6 2 解得 n=4(舍去 n = 3 ),即袋中原有 4 个白球……………………………………………………………(3 分)
所以二面角 A—PB—D 的余弦值为

4 3× 4 2 3× 2 × 4 4 3 × 2 × 1× 4 1 P (ξ = 1) = ; P (ξ = 2) = = ; P (ξ = 3) = = ; P (ξ = 4) = = , 7 7×6 7 7 × 6 × 5 35 7 × 6 × 5 × 4 35
所以,取球次数 ξ 的分布列为:

ξ
P

1

2

3

4

4 7

2 7

4 35

1 35
………(6 分)

Eξ =

8 …………………………………………………………………………………………………(8 分) 5
8

(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第 1 次和第 3 次取球,记"甲取到白球"的事件为 A, ) 则 P ( A) = P ("ξ = 1" 或 " ξ =3" ,所以 P ( A) = P (ξ = 1) + P (ξ = 3) =

24 ………………………(10 分) 35

9


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