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立体几何必修1第一章训练卷


高一数学立体几何 训练卷
考试范围:1.1-2.1 姓名:___________班级:___________成绩:___________ 一、选择题 1.已知 m, n 为不同的直线, ? , ? 为不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? / / ? ; 其中所有正确命题的序号是( A.①② B.②③ ) C.①③ ②若 m ? ? , ? ? ? ,则 m / / ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则 n ? ? .

D.①④

2.设 l、m 是两条不同的直线,a,β 是两个不同的平面,有下列命题: ①l//m,m ? a,则 l//a ;② l//a,m//a 则 l//m; ③a 丄β ,l ? a,则 l 丄β ; ④l 丄 a,m 丄 a,则 l//m. 其中正确的命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是( A.36 B.108 C.72 D.180 )

4.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这 个几何体的全面积为( )

A. ?

3 2

B. 2?

C. 3?

D. 4?

第3题

第4题
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第5题

5. .某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( A. 4 B.5 C. 6

) D.7

6.已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为 那么这个三棱柱的表面积是( A. 6 3 B. 12 3 ) C. 18 3 D. 24 3 ) D.

4? 的球体与棱柱的所有面均相切, 3

7.在几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2 B.2 2

4? C. 3

2? 3

8.已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为(



A.4π

B. 12π

16? C. 3

64? D. 3

9.一个所有棱长均为 1 的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上,则此球的体积为( A.



6? 8

B.

2? C. 2? 3

D.

2? 3

10.如图 2 ,在透明塑料制成的长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 容器内灌进一些水,将容器底面一边 BC 固定于地面 上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A? D ? 始终与水面 EFGH 平行; ④当 E ? AA? 时, AE ? BF 是定值. 其中正确的命题的序号是 ( )
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A' B' E A B F D C H

D' C' G

A.①②③

B.①③

C.②④

D.①③④

请独立完成: 1 题号 答案

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题 11.右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 . 4 ,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的表面积是
正(主)视图 侧(左)视图
2

12.一个机器零件的三视图如图所示(单位:cm),该零件的表面积为

cm

俯视图

13.一个正方体表面展开图中,五个正方形位置如图阴影所示.第六个正方形在编号 1 到 5 的位置,则所有可能 位置的编号是_____ _.

14.设三棱锥的三个侧面两两互相垂直,且侧棱长均为 2 3 cm,则其外接球的表面积为 15.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 是分别是棱 A1B1、A1D1 的中点,则 A1B 与 EF 所成角的大小为______.

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 下列三个图中,左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图。右边两个是正视图和侧视图. (1)请在正视图的下方,按照画三视图的要求画出该 多面体的俯视图(不要求叙述作图过程) ; (2)求该多面体的体积(尺寸如图).

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17. (本小题 9 分)如图是一个空间几何体的三视图,其正视图与侧视图是边长为 4cm 的正三角形、俯视图中正方 形的边长为 4cm,

(1)画出这个几何体的直观图(不用写作图步骤) ; (2)请写出这个几何体的名称,并指出它的高是多少; (3)求出这个几何体的表面积。

18.如图所示,已知在圆锥 SO 中,底面半径 r=1,母线长 l=4,M 为母线 SA 上的一个点,且 SM=x,从点 M 拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点 A,求: (1)设 f(x)为绳子最短长度的平方,求 f(x)表达式; (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离; (3)f(x)的最大值.

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析: 由线面垂直的定义可知①正确; ②中 “m ? ? ” 也有可能; ③中必须 “m? n ? P” ; 由面面垂直的性质定理可知④正确.故选答案 D. 考点:点、线、面的位置关系、定理. 2.A 【解析】 试 题 分 析 : 若 l / / m, m ? ? , 则 l / /? 或 l ? ? , 即 ① 不 正 确 ; 若 l / /? , m / /? , 则

l / / m或l ? m ? P 或 l 与 m 为异面直线, 即②不正确; 若? ? ? ,l ? ? , 则 l ? ? 或l / /? 或

l 与面 ? 相交于一点 P,即③不正确;所以④命题正确.
考点:线与线、线与面关系. 3.B 【解析】 试题分析:观察正视图、侧视图可知,这是一个柱体,结合俯视图,一部分为正四棱柱,一 部分为正四棱锥,根据图中数据其体积为 6 ? 6 ? 2 ? ? 6 ? 6 ? 3 ? 108 ,选 B. 考点:三视图,几何体体积计算. 4.A 【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体为圆柱,底面积为: S1 ? 2 ?

1 3

1 1 ?? ?, 4 2

侧面积为: S 2 ? 2? ?

1 3 ?1 ? ? ,因此圆柱的表面积为: ? 2 2

考点:1、空间几何体的三视图;2、空间几何体的表面积. 5.B 【解析】 试题分析:根据三视图,可知元几何体是一个棱长分别为 2、2、1 的长方体和一个横放的直 三棱柱的组合体,三棱柱底面是一个直角边分别为 1、1 的直角三角形,高是 2,所以几何 体体积易求得是 V ? 2 ? 2 ? 1 ? 考点:几何体的三视图. 6.C 【解析】 试题分析: 此三棱柱为正三棱柱, 体积为

1 ? 1? 1? 2 ? 5 . 2

4? 的球体半径为1 , 由此可以得到三棱柱的高为 2 , 3

底面正三角形中心到三角形边的距离为 1 ,故可得到三角形的高是 3 ,三角形边长是 2 3 ,

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3 所以三棱柱的表面积为 2 ? ? 2 3 4

?

?

2

? 3 ? 2 3 ? 2 ? 18 3 .

考点:1、棱柱的表面积公式 ; 2、球的体积公式. 7.D 【解析】 试题分析:由三视图可知,该几何体的直观图为一个竖立的圆锥和一个倒立的圆锥组成,其
2 体积为 V ? 2 ? ? ? 1 ? 1 ?

1 3

2? ,选 D. 3

考点:1.三视图;2.体积. 8.D 【解析】 试题分析:由三棱柱的主视图和俯视图可知,三棱柱的侧棱长为 4,底面边长为 2 3 ,过点

P 向底面 ABC 作垂线,垂足为 D,易知 AD=2,则外接球的球心 O 在 PD 上,设球的半径为

r , 则 O P?
2 2

O? A

, 在 三 角 形 ADP 中 ,

r

OD ? DP ? r ? 2 3 ? r

, 有

r ? 2 ? ( 2 ?3 r ,解得 )
2

r?

4 64 3 S球O ? 4? r 2 ? ? 3 3 . ,所以

考点:三视图、球的表面积公式. 9.D 【解析】 试题分析:

设四棱锥 P ? ABCD 是满足条件的,连结 BD 、 AC 交于 E ,球心 O 在 PE 上, 令球的半径为 R ,则 OP ? OB ? R , 由正四棱锥所有棱长为 1,易求得四棱锥的高 PE ?

2 , 2

2 2 2 在 Rt ?OEB 中, OE ? EB ? OB ,即 (

2 2 2 ? R) 2 ? ( ) 2 ? R 2 ,解得 R ? , 2 2 2

故球的体积为 ? ? (

4 3

2 3 2? ) ? . 选 D. 2 3

考点:正四棱锥的性质,球的体积. 10.D
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【解析】 试题分析:由棱柱的定义可知①正确;虽然水面四边形 EFGH 始终是平行四边形,但它的 形状随着倾斜度的不同发生变化,故②错误;③显然正确;设水的体积为 V , 则
VABFE ? DCGH ? 1 2V 为定值. ? AE ? BF ? ? AB ? BC ? V , ? AE ? BF ? 2 AB ? BC

考点:考查空间几何体的结构特征,空间线面的位置关系. 11. 17? 【解析】 试题分析:从三视图可以看出:几何体是一个圆台,上底面是一个直径为 4 的圆,下底面是 一个直径为 2 的圆, 侧棱长为 4. 上底面积 S1 ? 4? , 下底面积 S2 ? ? , 侧面是一个扇环形, 面积为 S3 ?

1 (4? ? 2? ) ? 4 ? 12? ,所以表面积为 S1 ? S2 ? S3 ? 4? ? ? ? 12? ? 17? . 2

考点:空间几何体的三视图、表面积的计算. 12. 48 ? 16 2 ? 【解析】 试题分析:这是一个三角钻头的三视图。上面的圆柱的侧面积为 4 ? ? ? 8 ? 32? cm2 下面圆锥的侧面积为

?

?

所以所求的表面积为 48 ? 16 2 ? cm 。
2

?

1 ? 4 2 ? 8? ? 16 2? cm 2 ,而上部分圆环加圆的表面积为 16? cm2 2

?

考点:三视图,几何体的面积计算。 点评:简单题,三视图问题,关键是理解三视图的画法规则,应用“长对正,高平齐,宽相 等” ,确定数据。 13.②③ 【解析】 试题分析:若以 B 面作为底面,则第六个正方形的编号为②;若以 D 面作为底面,则第六个 正方形的编号为③,则所有可能位置的编号是②③。

A

B

C

D E

考点:棱柱的结构特征. 点评:本题考查棱柱的结构特征,考查空间想象能力,是基础题. 14. 36? cm .
2

【解析】 试题分析:解:三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且侧棱长均为 2 3 ,以它的外接球就是它 扩展为正方体的外接球, 所以求出正方体的对角线的长为:2 3 × 3 =6, 所以球的直径是 6,
答案第 3 页,总 5 页

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半径为 3,所以球的表面积为:4π ×3 =36π .故选 B. 考点:球的表面积 点评:本题主要考查球的表面积,几何体的外接球,考查空间想象能力,推理能力,解题的 关键就是将三棱锥扩展成正方体,属于中档题. 15.

2

? 3

【解析】解:如图,将 EF 平移到 A1B1,再平移到 AC, 则∠B1AC 为异面直线 AB1 与 EF 所成的角 三角形 B1AC 为等边三角形, 故异面直线 AB1 与 EF 所成的角 60°,

16. (1)

(2)

22 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)作出俯视图如下左图所示

?????4 分 俯视图 (若只画对外框,没有画对角线或对角线画错的,给 2 分) (Ⅱ) 依题意, 该多面体是由一个正方体 ( ABCD ? A1B1C1D1 ) 截去一个三棱锥 ( E ? A1 B1 D1 ) 而得到 ??????6 分

∴ 截去的三棱锥体积 VE ? A1B1D1 ? ? S?A1B1D1 ? A1E ? ? ( ? 2 ? 2) ?1 ? 正方体体积 V正方体AC1 ? 23 ? 8 ∴ 所求多面体的体积 V ? 8 ? ?????10 分

1 3

1 3

1 2

2 3

????9 分

2 22 .?????12 分 ? 3 3

考点:三视图与多面体体积 点评:多面体转化为棱柱或棱锥再求其体积 17.(1)见解析;(2) 正四棱锥, 2 3 ;(3) 48 cm 2 。 【解析】 试题分析: (1)

答案第 4 页,总 5 页

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?????? 3 分 (2)正四棱锥 高为 2 3 ????????? 4 分

????????? 6 分 ???????9 分

(3)表面积为 48 cm 2

考点:三视图;棱锥的表面积。 点评: 解决本题的关键是得到该几何体的形状, 易错的地方是确定四棱锥的底面边长与高的 大小.再就是要注意别忘单位。 18. (1)f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4)(2)

4x x 2 ? 16

(3)32

【解析】 试题分析:将圆锥的侧面沿 SA 展开在平面上,如图,则该展开图为扇形,且弧 AA′ 的长度

L 就是⊙O 的周长, ∴L=2πr=2π.∴∠ASA′ =

L 2? ×360°= ×360°=90°, 2? l 2? ? 4
2

(1)由题意知,绳长的最小值为展开图中的 AM,其值为 AM= x ? 16 (0≤x≤4), ∴f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). (2)绳子最短时, 在展开图中作 SR⊥AM, 垂足为 R, 则 SR 的长度为顶点 S 到绳子的最短距离. 在 △SAM 中,∵S△SAM= ∴SR=

1 1 SA· SM= AM·SR, 2 2

4x SA ? SM = (0≤x≤4). 2 AM x ? 16

(3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数,∴f(x)的最大值为 f(4)=32. 考点:本小题主要考查扇形的弧长、面积公式等的应用,考查学生的运算求解能力. 点评: 解决此类问题的关键是正确转化, 将所要求解的问题转化为熟悉的数学问题进行解决.

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