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【金版学案】2016高考数学理科二轮复习课件:专题9第三讲 分类讨论思想


随堂讲义
专题九 思想方法专题 第三讲 分类讨论思想

分类讨论思想是历年高考的必考内容,它不仅是高 考的重点和热点,也是高考的难点,高考中经常会有一道 解答题,解题思路直接依赖于分类讨论. 预测2016年的高考,将会一如既往地考查分类讨论思 想,特别在解答题中(尤其是导数与函数问题),将有一道 进行分类求解的难度大的题,选择题、填空题也会出现不 同情形的分类讨论求解题.

例1 的大小.

设 0<x<1,a>0 且 a≠1,比较|loga(1- x)|与|loga(1+ x)|

思路点拨:先利用 0<x<1 确定 1-x 与 1+x 的范围,再利用绝 对值及对数函数的概念分类讨论两式差与 0 的大小关系, 从而比较出 大小.

解析:∵0<x<1, ∴0<1-x<1,1+x>1, 0<1-x2<1. ①当 0<a<1 时, loga(1- x)>0,loga(1+ x)<0, 所以|loga(1- x)|-|loga(1+ x)| =loga(1- x)-[-loga(1+ x)] =loga(1- x2)>0;

②当 a>1 时,loga(1- x)<0,loga(1+ x)>0. 所以|loga(1- x)|-|loga(1+ x)| =-loga(1- x)-loga(1+x) =-loga(1- x2)>0. 由①②可知,|loga(1- x)|>|loga(1+ x)|.

本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论, 我们称为概念分 类型.由概念内涵引起的分类还有很多:如绝对值 |a|分 a>0,a=0, a<0 三种情况;直线的斜率分倾斜角θ≠90°,斜率 k 存在,倾斜 角 θ=90°,斜率不存在;指数、对数函数 [y=ax(a>0 且 a≠1)与 y =logax(a>0 且 a≠1)]可分为 a>1,0<a<1 两种类型;直线的截距
? x y ? ? 式分直线过原点时[为 y=kx],不过原点时 为a+b=1?等. ? ?

? 1 1.若函数 f(x)= ? 则不等式|f(x)|≥ 的解集为[-3, 3 x ?1? ???3?? ,x≥0,
1 ,x<0, x 1]. 解析:本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法 . 属于 基础知识、基本运算的考查.

x<0, ? 1 ? 由|f(x)|≥ ???1? 1 ?-3≤x<0. 3 ?≥ ? ?? ?x? 3 x≥0, x≥0, ? ? ? ? 1 由|f(x)|≥ ????1?x? 1???1?x 1?0≤x≤1. 3 ?? ? ?≥ ? ≥ ? 3 ?? ???3? ? 3 ? ?3? 1 ∴不等式|f(x)|≥ 的解集为{x|-3≤ x≤1}, 3 ∴应填[-3,1].

例 2 在等差数列{an}中,a1=1,满足 a2n=2an,n=1,2,? (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn=anpan(p>0),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 思路点拨:(1)由 a2n=2an,n= 1,2, ?求出公差 d,即得{an} 的通项公式. (2)先求{bn}的通项公式,然后用错位相减可求 Tn,但由于公比 q 不确定,故用等比数列前 n 项和公式求 Tn 时要分类讨论.

解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 由 a2n=2an 得 a2=2a1=2,所以 d=a2-a1=1. 又 a2n=an+nd=an+ n=2an, 所以 an=n. (2)由 bn=anpan 得 bn=npn, 所以 Tn=p+2p2+3p3+?+(n-1)pn 1+npn.①


n( n+1) 当 p=1 时,Tn= . 2 当 p≠1 时,pTn=p2+2p3+?+(n-1)pn+npn+ 1,②

n p ( 1 - p ) 2 3 n n+ 1 ①-② 得, (1- p)Tn= p+ p + p + ?+p - np = 1-p

-npn 1,


p(1-pn) npn+ 1 ∴Tn= - . (1-p)2 1-p

? ? 综上所述,T =? p(1-p ) np ? ? (1-p) - 1-p ,p≠1.
n( n+1) ,p=1, 2
n n+ 1 2 n

(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,均值 定理, 等比数列的求和公式等性质、 定理与公式在不同的条件下有不 同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,这时要小心,应根据题 目条件确定是否进行分类讨论. (2)分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的.比如除法运算 中分母能否为零的讨论;解方程及不等式两边同乘以一个数是否为 零,是正数,还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论; 求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题;差值比较中的差的正 负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.

2.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的 取值范围是(1,+∞). 解析:设函数 y=ax(a>0 且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x) =ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,就是函数 y=ax(a>0 且 a≠1) 与函数 y=x+a 有两个交点. 由图象可知当 0<a<1 时两函数只有一 个交点,不符合;当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图象过点(0, 1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两 个交点.所以实数 a 的取值范围是(1,+∞).

例3

已知函数 f(x)=2x3-3x.

(1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值 范围; (3)问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲 线 y=f(x)相切(只需写出结论)? 思路点拨: (1)求导数, 导数等于 0 求出 x, 再代入原函数解析式, 最后比较大小,即可; (2)设切点,由相切得出切线方程,然后列表 并讨论求出结果;(3)由(2)容易得出结果.

解析:(1)由 f(x)=2x3-3x 得 f′(x)=6x2-3,令 f′(x)=0,得 x
? ? 2? 2 2 2? =- 或 x= ,因为 f(-2)=-10,f?- ?= 2,f? ?=- 2, 2 2 2? ? ?2 ?

f(1)=-1,
? 2? 所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f?- ?= 2. 2? ?

(2)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0),
2 则 y0=2x3 0-3x0,且切线斜率为 k=6x0-3,所以切线方程为 y

-y0=(6x2 0-3)(x- x0),

3 2 因此 t- y0= (6x2 0- 3)(1- x0),整理得:4x 0- 6x0+ t+ 3= 0,设

g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x) 相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”,g′(x)=12x2-12x=12x(x -1),g(x)与 g′(x)的情况如下:

所以,g(0)=t+3 是 g(x)的极大值,g(1)=t+1 是 g(x)的极小值, 当 g(0)=t+3≤0,即 t≤-3 时,此时 g(x)在区间(-∞,1]和(1, +∞)上分别至多有 1 个零点,所以 g(x)至多有 2 个零点, 当 g(1)=t+1≥0,t≥-1 时,此时 g(x)在区间(-∞,0)和[0, +∞)上分别至多有 1 个零点,所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(0)>0 且 g(1)<0, 即-3<t<-1 时, 因为 g(-1)=t-7<0, g(2)=t+11>0,

所以 g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有 1 个零点, 由于 g(x)在区间(-∞, 0)和(1, +∞)上单调, 所以 g(x)分别在区间(- ∞,0)和[1,+∞)上恰有 1 个零点. 综上可知,当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时, t 的取值范围是(-3,-1). (3)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切.

题目中含有参数的问题(含参型),主要包括:含有参数的不等式 的求解;含有参数的方程的求解;对于解析式系数是参数的函数,求 最值与单调性问题; 二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类 问题的一般思路是:结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨 论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何 意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.

3.数列{an}的通项 an=n (cos n∈N*. (1)求 Sn;

2

2nπ

3

-sin

2nπ

3

),其前 n 项和为 Sn,

S3n (2)bn= n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n· 4

解析: (1)由于 cos2

nπ nπ 2nπ -sin2 =cos , 故 S3k=(a1+a2+a3) 3 3 3

2 2 ? 12+22 ? 4 + 5 + (a4+ a5+ a6)+ ? + (a3k- 2+ a3k- 1+ a3k)= ?- +32? + (- 2 2 ? ?

+62)+?+ (3k-2)2+(3k-1)2 [- +(3k)2] 2 18k-5 k(9k+4) 13 31 = + +?+ = , 2 2 2 2 k(4-9k) S3k- 1=S3k-a3k= , 2 S3k- 2=S3k- 1-a3k- 1

k(4-9k) (3k-1)2 1 = + = -k 2 2 2 3k-2 1 =- - , 3 6

? ?(n+1)(1-3n) ,n=3k-1,(k∈N ). 故 S =? 6 ?n(3n+4),n=3k, ? 6
n 1 - - ,n=3k-2, 3 6
n *

(2)bn=

9n+4 S3n = , 4n n·4n 2·

9n+4? 1?13 22 ? ?, Tn= 2? 4 + 42 +?+ 4n ? 9n+4? 22 1? ? ?, 13 + + ? + 4Tn= 4 2? 4n- 1 ? 两式相减得 9n+4 1 9 9 3Tn= (13+ +?+ n- 1- n ) 2 4 4 4 9 9 ? - n 9n+4 ? 4 4 1? 1 ? - n =8- 2n = 13+ 1 4 ? 2? 2 1- 4 ? ? 8 1 3n 故 Tn= - - . 3 3·22n-3 22n+ 1 9n , 22n+ 1

- 3-

例 4 长方形 ABCD 中,|AB|=4,|BC|=8,在 BC 边上取一点 P,使|BP|=t,线段 AP 的垂直平分线与长方形的边的交点为 Q,R 时,用 t 表示|QR|. 思路点拨:建立平面直角坐标系,设法求出点 Q,R 的坐标,利用两 点间的距离公式建模.

解析:如图所示,分别以 BC,AB 所在的边为 x,y 轴建立平面 直角坐标系. 4 ∵kAP=- , t t ∴kQR= . 4
?t ? 又 AP 的中点的坐标为?2,2?, ? ?

t? t? ∴QR 所在的直线方程为 y-2= ?x- 2?.① 4? ? 由于 t 的取值范围的不同会导致 Q,R 落在长方形 ABCD 的不 同边上,故需分类讨论:

当|PD|=|AD|=8 时, 易知|PC|= |PD|2- |DC|2=4 3. ∴当 0≤t≤8-4 3时,Q,R 两点分别在 AB,CD 上,对方程 ①,分别令 x=0 和 x=8,
? ? t2? t2? 可得 Q?0,2- 8 ?,R?8,2+2t- 8 ?, ? ? ? ?

这时|QR|=2 16+t2;当 8-4 3<t≤4 时,Q,R 两点分别在 AB,AD 上,对方程①,分别令 x=0 和 y=4,
? ?8 t ? t2? 可得 Q?0,2- 8 ?,R? t +2,4?, ? ? ? ?

这时|QR|=

?8 t ?2 ? t2?2 ? + ? +?2+ ? ; 8? ? t 2? ?

当 4<t≤8 时,Q,R 两点分别在 BC,AD 上, 对方程①分别令 y=0 和 y=4,
?t 8 ? ?8 t ? ? ? ? ?, - , 0 + , 4 可得 Q 2 t ,R t 2 ? ? ? ?

4 t2+16 这时|QR|= . t 综上所述:当 0≤t≤8-4 3时,|QR|=2 16+t2; 当 8-4 3<t≤4 时,|QR|= 4 t2+16 当 4<t≤8 时,|QR|= . t
?8 t ?2 ? t2?2 ? + ? +?2+ ? ; 8? ? t 2? ?

一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括: 二次函数对称轴 位置的变动;函数问题中区间的变动;函数图象形状的变动;直线由 斜率引起的位置变动; 圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引 起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.

4.四面体的四个顶点到平面 M 的距离之比为 1∶1∶1∶3,求 满足条件的平面 M 的个数. 解析:①4 个顶点都在 M 同侧,则有:C1 4·1=4 个平面; ②距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点不同侧,则有:C1 4·1=4 个平面; ③距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点中的 1 个同侧,则有:
1 C1 4·C3·1=12 个平面;

④距离比为 3 的顶点与其他 3 个顶点中的 2 个同侧,则有:
2 C1 4·C3·1=12 个平面,

∴共有 4+4+12+12=32 个平面.

1.分类讨论的思想方法的步骤:(1)确定标准;(2)合理分类;(3) 逐类讨论;(4)归纳总结. 2.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主 元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等. 3.进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定 的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越 级讨论.其中最重要的一条是“不漏不重”.

4.解题时把好“四关”. (1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关” ; (2)要找准划分标准,把好“分类关”; (3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关” ; (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检 验关”.


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