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江苏省赣榆县海头高级中学2014-2015学年高二下学期周末训练数学(理)试题(15)


江苏省海头高级中学 2014-2015 学年第二学期周末训练(15)

高二数学试题(选修物理)
(考试时间 120 分钟,总分 160 分) 1、设复数 满足 ,其中 为虚数单位,则 .

2 、若双曲线 ______ 3、

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3 : 2, 则双曲线的离心率 a2 b2

的二项展开式中,

的系数 是___________(用数字作答) . ,则该圆的半径为 .

4、圆的极坐标方程为

5、函数

的最大值是



6、 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,M、N 分别是圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 上 4 3
. 和 ,则曲

的点,则|PM | + |PN |的最大值为 7、已知曲线 的极坐标方程分别为

线

交点的极坐标为



8、过点 ?? 4,0? 作直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 交于 A、B 两点,若 AB=8,则直线

l 的方程为__
9、从集合 个数记为 ,则直线

__ 中随机选取一个数记为 ,从集合 不经过第三象限的概率为 . 中随机选取一

10、某校学生在上学路上要经过 2 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到 红灯的概率都是 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟.则该校某个学生在上学路上因

遇到红灯停留的总时间 的均值等于 11、 已知函数 ④ ,其中是

分钟. ② ③ (填正确答案的序

, 下列四个条件: ① 的充分条件的是

号) . 12、关于 的方程 至少有一个负实根的充要条件是 . ,如果每注 元. 时,可利用组合数

13、小东购买一种叫做“买必赢”的彩票,每注售价 10 元,中 奖的概率为 奖的奖金为 300 元,那么小东购买一注彩票的期望收益是 14、在证明恒等式

表 示

, 即

推 得 . 类 似 地 , 在 推 导 恒 等 式

时,也可以利用 组合数表示

推得。则

______________.

15、已知二阶矩阵 有特征值

及对应的一个特征向量

,并且在矩阵 作用下将



变换成点

。 (1)求矩阵 ;

(2)求矩阵 的另一个特征值,及对应的一个特征向量 的坐标之间的关系; (3)求直线 在矩阵 作用下的直线 的方程。

16、已知命题 :

≥0; :

≤0(

) 。

(1)若命题 为真 命题,求实数 的取值范围; (2)若 是 成立的充分不必要条件,求实数 的取值范围。

17、已知
2012



(1)若



,求

? (?1) a
i i ?0

i

的值;

(2)当

时,

(i)若

,求

中奇数的个数; ;

(ii)若其奇数项的和为 ,偶数项的和为 ,求证 : (ii)若 求证: , 为展开式中四个连续的项的系数,



18、在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,先从这个盒子中有放回地先后抽 取两张卡片,设这两张卡片的号码分别为 x, y, O 为坐标原点, P( x ? 2, x ? y), 记

? ?| OP |2 .
(1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取最大值”的概率; (5 分) (2)求 ? 的分布列及数学期望.

19、已知函数





(Ⅰ)若 时,求曲线 在点 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 在 上是减函数,求实数 的取值范围; (Ⅲ)令 ,是否存在实数 ,当 ( 是自然对数的底)时,函 数 的最小值是 3,若存在,求出 的值;若不存在,说 明理由.

20、已知圆 C 与两坐标轴都 相切,圆心 C 到直线 y ? ? x 的距离等于 2 。 (1)求圆 C 的方程。 (2)若直线 l :

x y ? ? 1 ?m ? 2, n ? 2? 与圆 C 相切,求证 mn ? 6 ? 4 2 。 m n

参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将正确答案填在答题纸上. ) 1、 2、 5 3、10 4、 5、

6、7

7、

8、 5 x ? 12y ? 20 ? 0 _或_ x ? ?4 __

9、

10 、

11、①②③

12、

13、

14、



二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15、解: (1) ; (2)矩阵 的另一个特征值 ,设 ,则 ;

(3) 16、解: (1) 17、略。 ;

。 (2) ≥6。

18、解: (1)当 ( x, y) ? (1,3)或(3,1)时,? 取最大值,? ? 5 ,令“ ? 取最大值”为事件 A , 则 P ( A) ?

1 1 1 1 2 ? ? ? ? 3 3 3 3 9

(2)易知 ? 的所有可能取值为 0,1,2,5,当 ? ? 0 时, ( x, y) ? (2,2), 所以

1 .当 ? ? 1 时, ( x, y) ? (1,1)或(3,3)或(2,1)或(2,3) ,所以 9 4 2 P(? ? 1) ? .当 ? ? 2 时, ( x, y) ? (1,2)或(3,2) ,所以 P(? ? 2) ? 9 9 P(? ? 0) ?
所以 ? 的分布列为

?

0

1

2

5

P

1 9

4 9

2 9

2 9

所以 E? ? 0 ?

1 4 2 2 ? 1? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 9 9 9 9

19、解: (Ⅰ)当 a ? 0 时 f ( x) ? x2 ? ln x ,

1 ? f ' (1) ? 1 ,又 f (1) ? 1 x 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 0 ; (Ⅱ)因为函数在 [1,2] 上是减函 数,所以:
' 所以 f ( x) ? 2 x ?

f ' ( x) ? 2 x ? a ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? 0 在 ?1,2? 上恒成立, x x ?a ? ?1 ?h(1) ? 0 ? 2 令 h( x) ? 2 x ? ax ? 1,有 ? 得? 7, a?? ?h(2) ? 0 ? ? 2
得a ? ?

(Ⅲ)假设存在实数 a ,使 g ( x ) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3,

7 ; 2

g ' ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x 4 (舍去) , e

①当 a ? 0 时, g ' ( x) ? 0 ,所以:

g ( x ) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ?
②当

1 ? e 时, g ' ( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立 a 4 (舍去) e

所以 g ( x ) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ?

1 1 ? e 时,令 g ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? , a a 1 1 所以 g ( x ) 在 (0, ) 上单 调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a 1 ? g ( x ) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. a 2 综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 g ( x) 有最小值 3.
③当 0 ? 20、解:解: (1)设圆 C 的圆心 C ?a, b ? ,半径为 r ,由已知得:

? ?a ? b ? ? ?r ? a ? ?a?b ? 2 ? ? 2 ?a ? b ? 1 ?a ? b ? ?1 或? ?? ?r ? 1 ?r ? 1
2

(3 分)

(5 分)
2 2 2

圆 C 的方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 或 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 (2)直线 l 的方程为 nx ? m y ? m n ? 0 因为直线 l 与圆 C : ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 相切
2 2

(7 分) (9 分) (11 分) (13 分)

所以

n ? m ? mn n2 ? m2

?1

mn ? 2m ? 2n ? 2 mn ? 2 所以 m ? n ? 因为 m ? 0, n ? 0, m ? n ? 2 mn 2 2 mn ? 2 ? 2 mn 所以 mn ? 4 mn ? 2 ? 0 所以 2 所以 mn ? 2 ? 2 ,或 mn ? 2 ? 2
展开,整理得

?

?

又 m ? 2, n ? 2 所以 mn ? 2 ? 2 所以 mn ? 6 ? 4 2 (16 分)

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