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6.2 平均值不等式 Microsoft Word 文档


6.2 算术平均数 几何平均数 算术平均 平均数
一,明确复习目标
1.掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理; 2.会用平均值定理求最大或最小值; 3.能运用均值定理来揭示数量间或实际问题中的不等关系.

二.建构知识网络
1.基本不等式
2 2 (1) a, b ∈ R, 则a + b ≥ 2ab

(2) a, b ∈ R + ,则 a + b ≥ 2 ab (3) a, b, c ∈ R + , 则a 3 + b3 + c3 ≥ 3abc ,(拓展内容) 2 均值不等式: 两个正数的均值不等式:

a+b ≥ ab 2 a+b+c 3 三个正数的均值不等是: ≥ abc 3
a1 + a 2 + + a n n ≥ a1a 2 a n n
a2 + b2 2

n 个正数的均值不等式:

2 1 1 + a b

≤ ab ≤

a+b ≤ 2

——两个正数 a,b 的调和平均数,几何平均数,算术平均数,均方根之间的关系, 这是一个非常重要的不等式,许多题目可以从中找到解题途径. 3.最值定理:设 x, y

> 0,由x + y ≥ 2 xy
S 2
2

(1)如果 x,y 是正数,且积 xy = P (是定值) xy 时, 和x + y有最小值2 P ,则 (2)如果 x,y 是正数和 x + y = S (是定值) x=y 时, 积xy有最大值( ) ,则 运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等 4.利用均值不等式可以证明不等式,求最值,取值范围,比较大小等.此外还要掌 握如下常用不等式
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

a ∈ R, a2 ≥ 0, a ≥ 0 ;

a 2 + b2 a+b 2 ) , ≥( 2 2

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac b b+m < ; 若 a>b>0,m>0,则 a a+m 1 1 若 a,b 同号且 a>b 则 < ,等. a b

三,双基题目练练手
a2 + b2 1. (2006 浙江) "a>b>0"是"ab< "的 ( 2
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件
2 2

)

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

2.(2005 福建)设 a, b ∈ R , a + 2b = 6, 则a + b 的最小值是 ( A. 2 2 B.

5 3 3

C.-3

D.

7 2

3.(2006 重庆)若 a, b, c > 0 且 a ( a + b + c ) + bc = 4 2 3 ,则 2a + b + c 的最小值 为 ( ) (B) 3 + 1 (C) 2 3 + 2 (D)2 3 2

(A) 3 1

4.(2006 陕西 8) 已知不等式(x+y)( 最小值为 A 2
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

1 a + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的 x y 8

( B
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

) 4

C

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

6
2

D

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

5. 若 a 是正实数,2a +3b =10,则 a 2 + b 2 的最大值等于________.
2

6. (2006 春上海 同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班 春上海) 级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高. 这两个

事实可以用数学语言描述为:若有限数列 a1 , a 2 , , a n 满足 a1 ≤ a 2 ≤ ≤ a n , 则___________________和
2 2 2 2

结论用数学式子表示).

简答:1-4.ACDB; 3.(2a+b+c) =4a +b +c +4ab+4ac+2bc
≥4a2+2bc+4ab+4ac+2bc=4(a2+ab+bc+ac)=4(4-2 3 ) ∴2a+b+c≥2 3 -1.当且仅当 b=c 时取等号.

4.令 5. 和

y 9 = t , 得a ≥ [(t + 1) + 10]max = 4 x t +1
6.

4 6; 3

a m +1

a1 + a 2 + + a m a1 + a 2 + + a n ≤ (1 ≤ m < n ) m n + a m + 2 + + a n a1 + a 2 + + a n ≥ (1 ≤ m < n ) nm n

四,经典例题做一做
【例 1】(1)已知 a,b 为正常数,x,y 为正实数,且
a b + = 1 ,求 x+y 的最小值. x y

16 的最小值 b( a b) 2 2 (3)求 y = 4 x 2 的最大值 x +2
(2)若 a>b>0, 求 a +
2

a b bx ay + 解 (1) 法 一 : 直 接 利 用 基 本 不 等 式 : x + y = ( x + y)( + ) = a + b + ≥ x y y x ay bx x = y x = a + ab a + b + 2 ab 当且仅当 ,即 时等号成立 a b y = b + ab + =1 x y

说明:为了利用均值不等式,本题利用了"1"的逆代换. 法二:消元化为一元函数 由
ay a b + =1得 x = yb x y

∴ x+ y =

ay a( y b ) + ab +y= +y y b y b ab ab =a+ +y= +( y b)+ a +b y b y b
ay >0 得 y-b>0 yb

∵ x>0,y>0,a>0 ∴ 由 ∴ x+y≥ 2 ab + a + b

ab y b = y b y = b + ab 当且仅当 ,即 时,等号成立 a b x = a + ab + =1 x y

法三:三角代换.令 ∴ x=
a cos 2 θ

b a π = cos 2 θ , = sin 2 θ , θ ∈(0, ) y x 2

= a sec 2 θ , y = b csc 2 θ
2

∴ x+y= a( 1 + tan

θ ) + b( 1 + cot 2 θ )

= a + b + a tan 2 θ + b cot 2 θ ≥ a + b + 2 ab
a tan θ = b cot θ 时,等号成立 当且仅当 a b x + y =1

(2)分析:

16 的分母(a—b)b,而(a—b)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐步 b(a b)

进行:先对 b 求最小值 f ( a ) ,然后在对 a 求最小值 解法一: a 2 +

16 16 =[(a—b)+b]2 + b( a b) b( a b) 16 16 =4(a—b)b+ ≥16 b( a b) b( a b) 16 的最小值 b( a b)

≥[2 b( a b) ]2 +

当且仅当 b=(a—b)且(a—b)b=2,即 a=2b=2 2 时取等号,故 a 2 + 为 16 解法二: a 2 +

16 16 64 8 ≥ a2 + = a 2 + 2 ≥ 2a = 16 2 b( a b) a a b + ( a b) 2

当且仅当 b=(a—b)且 a =

8 , a 16 的最小值为 16 b( a b)

即 a=2b=2 2 时取等号,故 a 2 + (3) y = 6 ( x + 2 +
2

2 ) x +2
2 2

(若由 y ≤ 6 2 2, 则x + 2 =

2 即( x 2 + 2)2 = 2 无解"="不成立) x +2
2

令 u = x + 2 ≥ 2, 则y = 6 (u +
2

2 ) ,可以证明 y(u)在 [ 2, +∞) 递减 u

∴u=2,即 x=0 时,ymax=3 ◆ 提炼方法:1.(1)题法一将"1"利用已知回代,充分利用了倒数关系,巧妙灵活; 2.法二,三是常用的两种消元方法,即代数消元和三角换元,要熟练掌握. 3.在运用均值不等式求最值时,必须保证"一正,二定,三等".凑出定值是关键!"=" 成立必须保证,若有几步放缩,只要每步取等号的条件相同即可. 【例 2】已知 ab+a+2b=30,(a>0,b>0),求证:ab≤18. 证明:法 1:由已知,(a+2)(b+1)=32, ab=30-(a+2b)=34-[(a+2)+2(b+1)] ≤ 34 2 ( a + 2) 2(b + 1) = 18 法 2:由已知 30 = a + 2b +

a + 2b ≥ 12 ,∴ab=30-(a+2b)≤18 30 a 法 3:由已知得 b = a+2 30 a 64 ∴ ab = a = (a + 2) + + 34 a+2 a+2

1 1 a + 2b 2 a 2b ≤ (a + 2b) + ( ) 2 2 2

≤ 2 64 + 34 = 18 1 1 1 9 + + ≥ . a b bc cd a d
3 a+b+c ≤ 1 1 1 3 + + a b c

【例 3】已知:a>b>c>d,求证:

证明: ∵a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d),题中出现了"和"与"倒数和" ∴利用调和平均数与算术平均数的关系

得:

1 1 1 9 9 + + ≥ = a b b c c d (a b) + (b c) + (c d ) a d

【例 4】 (2005 北京)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车 流量 y (千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间的函数关系为:

y=

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 υ 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少? (精确到 0.1 千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?

920v (v > 0) . v + 3v + 1600
2

解: (Ⅰ)依题意, y =

920 920 920 ≤ = , 1600 83 3 + 2 1600 3 + (v + ) v

1600 , 即v = 40时, 上式等号成立, v 920 所以y max = ≈ 11.1(千辆 / 小时). 83 920v (Ⅱ)由条件得 2 > 10, v + 3v + 1600 当且仅当v =
整理得 v2-89v+1600<0, 即(v-25) (v-64)<0,解得 25<v<64. 答:当 v=40 千米/小时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆/小时.如果要求在该 时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应大于 25 千米/小时且小于 64 千米/ 小时. 【研讨.欣赏】在△ABC 中,∠C=90°,AC+BC=l(定值) ,将图形沿 AB 的中垂线折叠, 使点 A 落在点 B 上, 求图形未被遮盖部分面积的最大值. B 解:将图形沿 AB 的中垂线折叠,使点 A 落在点 B 上, 未被遮盖部分是 Rt ACD 设 BC = a, AC = b , b < a ,则 a + b = 1 , tan B =

b a

D

E

∠ADC = 2 B, DC = b cot 2 B

C

A

∴ Rt ACD 的面积

1 2 1 2 a2 b2 1 (1 a )(2 a 1) S = b cot 2 B = b = 2 2 2 ab 4 a
1 1 1 = [3 (2a + )] ≤ [3 2 2] 4 a 4
当且仅当 2a =

1 2 1 a= 时, S max = (3 2 2 ) a 2 4 1 (3 2 2 ) . 4

故图形未被遮盖部分面积的最大值是

五.提炼总结以为师
1.掌握均值不等式,正确理解它的运用条件和"取最值"的条件; 2.掌握公式形式特征,能正用,逆用和变形运用,会 "添拆项"凑定值和等号成立 的条件. 3.在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变 量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值.

同步练习
【选择题】

6.2 算术平均数 几何平均数
2 2 a+b a +b , p是 则 ≤ 2 2 2

已知命题 p : a = b ; 命题 q : 1.(2006 安徽)设 a, b ∈ R ,

q 成立的(

) A.当 x > 0且x ≠ 1时, lg x + 1 ≥ 2 lg x C. 当x ≥ 2时, x +

) A.必要不充分条件 C.充分必要条件 2.下列结论正确的是 (

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 B. 当x > 0 时, x + 1 ≥ 2 x D.当 0 < x ≤ 2时, x

1 的最小值为 2 x

1 无最大值 x
)

3. (2004 湖南)设 a > 0, b > 0, 则以下不等式中不恒成立的是 ( ....

1 1 + )≥4 a b 2 2 C. a + b + 2 ≥ 2a + 2b
A. ( a + b)( (

B. a + b ≥ 2ab
3 3

2

D. | a b | ≥

a b

4.(2004 全国 I) a 2 + b 2 = 1, b 2 + c 2 = 2, c 2 + a 2 = 2, 则ab + bc + ca 的最小值为 ) A. 3 -

1 2

B.

1 - 3 2

C.-

1 - 3 2

D.

1 + 3 2

【填空题】 5. 下列不等式中恒成立的是_________ ①ctgθ+tgθ≥2 ②x+

2 x

-1≥2



sin 2 θ + 3 sin 2 θ + 2

≥2

④xyz≤

1 (x+y+z=1) 27

6.若 x,y 是正数,则 ( x +

1 2 1 ) + ( y + ) 2 的最小值是_______ 2y 2x
5. ②③; 6.原式= x +
2

简答.提示:1-4.BBBB;
【解答题】 7. 设 x≥0, y≥0, x2+

1 1 x y + y2 + 2 + + ≥ 4 2 4x 4y y x

y2 2 =1,求 x 1 + y 的最大值. 2
2

y2 =1 解法一: ∵x≥0, y≥0, x + 2
∴ x 1 + y = x (1 + y ) = 2 x
2 2 2 2

1+ y2 2

x2 +
≤ 2

1+ y2 y2 1 x2 + + 2 = 2 2 2 =3 2 2 2 4 3 2 1+ y2 3 2 2 ,y= (即 x2= )时, x 1 + y 取得最大值 2 2 2 4

当且仅当 x=

解法二: 令

x = cos θ π (0≤ θ ≤ ) 2 y = 2 sin θ
2

则 x 1 + y =cos θ

1 + 2 sin 2 θ = 2 cos 2 θ (1 + 2 sin 2 θ )
2

1 2

1 2 cos 2 θ + (1 + 2sin 2 θ ) 3 2 ≤ = 4 2 2
当 2 cos θ = 1 + 2 sin θ ,
2 2

即θ =

π
6

时,x=

3 2 3 2 2 ,y= 时, x 1 + y 取得最大值 2 2 4

8.(1)若 x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+

1 1 )(1+ )≥9 x y

(2)设实数 x,y 满足 y+x2=0,0<a<1,求证: log a (a x + a y ) ≤ log a 2 +

1 . 8

证明:(1)法一: 左边=(1+

1 1 1 1 1 x+ y 1 )(1+ )=1+ + + =1+ + x y x y xy xy xy

=1+

2 2 1 ≥1+ =9=右边 (当且仅当 x=y= 时取"="号) x+ y 2 xy 2 ( ) 2
2

法二: 令 x= cos θ 左边=(1+

y= sin

2

θ , 0< θ <

π

2

1 1 1 1 )(1+ )=(1+ )(1+ ) 2 x y cos θ sin 2 θ

1 1 1 1 2 + + =1+ 2 2 2 2 2 sin θ cos θ cos θ sin θ sin θ cos 2 θ 8 =1+ ≥1+8=9=右边 sin 2 2θ π 1 0<2 θ < π θ = 时,x=y= 时取等号 4 2
=1+
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

法三:∵x+y=1 ∴左边=(1+

1 1 x+ y y x+ y x )(1+ )=(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ ) x y x y x y

=5+2(

y x 1 + )≥5+4=9=右边 (当且仅当 x=y= 时取"="号) x y 2
x y x+y

(2)∵ a + a ≥ 2 a


= 2a

x x 2 2

= 2a

1 1 1 (x )2 + 2 2 8

,

1 1 1 1 ( x ) 2 + ≤ ,0<a<1 2 2 8 8
1 1 1 (x )2 + 2 2 8 1 1

∴ 2a

≥ 2a 8
y

∴ a x + a y ≥ 2a 8
1 ( 2a 8

∴ log a (a + a ) ≤ log a
x

) = log a 2 +

1 8

9.某种生产设备购买时费用 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生产设备 的维修费各年为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依每年 2 千元的增量 逐年递增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算?(即年平均费用最少) 解:设使用 x 年的年平均费用为 y(万元),则

10 + 0.9 x +
y=

(0.2 + 0.2 x) x 10 x 2 ≥1+2 =3, x 10 x

当且仅当 x=10 时,等号成立.
1 1 1 1 1 1 ≥ + + + + . 2a 2b 2c b+c c+a a+b

10. 设 a,b,c 均为实数,求证:

证明:∵a,b,c 均为实数, 1 1 1 1 1 ∴ ( + )≥ ≥ ,当 a=b 时等号成立; 2 2a 2b a+b 2 ab
1 1 1 1 1 ( + )≥ ≥ ,当 b=c 时等号成立; 2 2b 2c b+c 2 bc 1 1 1 1 1 ( + )≥ ≥ . 2 2c 2a c+a 2 ca

三个不等式相加即得 立.

1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + ,当且仅当 a=b=c 时等号成 2a 2b 2c b+c c+a a+b

【探索题】(1).已知 a3+b3=1,求 a+b 的取值范围. (2) 已知 a>0,b>0,a+b=4,求 ( a +

1 2 1 ) + (b + ) 2 的最小值. a b
3 3

解(1) 易知 a + b ≠ 0 ,否则 a=-b 代入 a +b =0 与已知矛盾. 令 a+b=t≠0,由 1=(a+b)3-3ab(a+b),得

ab =

t3 1 t3 1 2 ,视 a,b 为方程 x tx + = 0 的根, 3t 3t
2

由 = t 4×

t 3 1 t 3 4 = ≥ 0 ,得 得 3t 3t

t(t3 4) ≤ 0 即t(t 3 4)(t 2 + 3 4t + 3 16) ≤ 0 ① ∵ (t 2 + 3 4t + 3 16) ≥ 2 × 3 4 | t | 3 4 | t | ≥ 3 4 | t |≥ 0
∴①为 ∴①为 t (t

4) ≤ 0 0 ≤ t ≤ 3 4 3 ∴0 < a+b ≤ 4
3

(2) 由 4=a+b ≥ 2 ab 得 ab≤4.

1 2 1 2 ∴ ( a + ) + (b + ) ≥ a b

1 1 4 + b + ) 2 (4 + ) 2 a b = ab ≥ 25 2 2 2 25 当且仅当 a=b 时取"=",所求最小值为 . 2 (a +

易错解:原式 ≥ 22 + 2 2 = 8 ,最小值为 8.


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