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《函数的奇偶性》教案

函数的奇偶性(苏教版必修1)教案设计 1 教学目标 知识目标: (1)理解函数的奇偶性的概念; (2)掌握判断函数奇偶性的方法; 能力目标:感悟数形结合思想,体会奇偶函数图象的特征和意义; 情感目标: (1)养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯; (2)通过感受图 象的对称美,陶冶学生的情操,进一步激发学生对数学的学习兴趣. 2 教学过程 2.1 问题情境 在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象:美丽的蝴蝶,盛开的花朵,六角形的 雪花晶体,建筑物和它水中的倒影,麦当劳的标志?? 【问题1】已知函数 f ( x) ? x2 ,分别求 f (1), f (?1), f (?3), f (3), f (a), f (?a) 的值,从 中可以得到怎样的结论? 答: f (a) ? f (?a) ,函数 y ? x2 的图象关于 y 轴对称. 【问题2】已知函数 f ( x) ? 1 ( x ? 0) ,分别求 f (1), f (?1), f (?3), f (3), f (a), f (?a) 的 x 值,从中可以得到怎样的结论? 答: f (?a) ? ? f (a) ,函数 y= 2.2 概念建构 2.2.1 概念一(偶函数) 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为A,如果对于任意的 x ? A ,都有 f (? x) ? f ( x) , 那么称函数 y ? f ( x) 是偶函数. 关键词 , ,式子表示为 ,图象特征 . 1 (x≠0)的图象关于原点对称. x 答:任意,都有. f (? x) ? f ( x) 关于 y 轴对称. 2.2.2 概念二(奇函数) 一般地, 设函数 y ? f ( x) 的定义域为A, 如果对于任意的 x ? A ,都有 f (? x) ? ? f ( x) , 那么称函数 y ? f ( x) 是奇函数. 关键词 , ,式子表示为 ,图象特征 . 答:任意,都有. f (? x) ? ? f ( x) 关于原点对称. 1/5 【问题3】奇函数,偶函数对函数的定义域有无要求? 答:定义中要求 x ? A, ? x ? A ,所以一个函数是奇(偶)函数的前提条件是定义域关 于原点对称.如函数 y ? x2 是偶函数,但 y ? x2 , x ? ? 2,3? 既不是偶函数,又不是奇函数. 所以我们把函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体 性质.处理函数的奇偶性问题要注意“定义域优先”. 【问题4】若函数 f ( x ) 是定义在R上的奇函数,能否求出 f (0) 的值? 答: f (0) ? 0 ,可以这样理解,若 f (0) 有意义,且 f (0) ? 0 ,则函数一定不是奇函数. 2.3 典型例题 例 1:判定下列函数是否为偶函数或奇函数: (1) f ( x) ? x2 ?1 ;(2) f ( x) ? 2 x ;(3) f ( x) ? 2 x ;(4) f ( x) ? ( x ? 1)2 . 解:(1)函数 f(x)=x -1 的定义域是 R,且 f (? x) ? (? x)2 ?1 ? x2 ?1 ? f ( x) , 2 所以 f(x)=x -1 为偶函数. (2)函数 f(x)=2x 的定义域为 R, f (? x) ? 2(? x) ? ?2 x ? ? f ( x) , 所以 f(x)=2x 为奇函数. (3)函数 f(x)=2|x|的定义域为 R,且 f (?x) ? 2 ?x ? 2 x ? f ( x) , 所以 f(x)=2|x|为偶函数. (4)函数 f(x)=(x-1) 的定义域为 R,因为 f (1) ? 0 , f (?1) ? 4 , 2 2 所以 f (1) ? f (?1) , f (1) ? ? f (?1) . 因此,根据函数奇偶性定义,可以知道函数 f ( x) ? ( x ? 1) 既不是奇函数也不是偶 2 函数. 点拨:本例也可借助函数图象帮助判断函数的奇偶性,涉及函数既不是奇函数也不是偶 函数的判断通常利用特殊值说理.从图象上看,只要图象上某点关于原点( y 轴)的对称点 不在函数图象上,那么这个函数就不是奇(偶)函数. 总结:判断函数奇偶性的步骤: ①确定函数的定义域,并检查函数的定义域是否关于原点对称; ②若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数;若对称,再确定 f (? x) 与 f ( x) 的关系; ③计算并下结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 是奇函数. 2/5 1 ) ?( f 1 ) 【问题5】 对于定义在R上的函数f(x), 若 f (? , 能否判断函数 f ( x ) 为偶函数? 若 f (?1) ? f (1) , 能否判断函数 f ( x ) 不为奇函数?若 f (?1) ? f (1) , 能否判断函数 f ( x ) 不 为偶函数? 答:不能,不能代表任意性;不能;能. 特殊值检验是判断一个函数不是奇(偶)函数 的一种重要方法. 变式:判断函数 f ( x) ? x3 ? 5x 是否具有奇偶性. 解:函数f(x)的定义域为R. 因为对于任意的 x ? R ,都有 f (? x) ? (? x)3 ? 5(? x) ? ?( x3 ? 5x) ? ? f ( x) , 所以函数y=f(x)为奇函数. 【问题6】函数 g ( x) ? x3 和 h( x) ? 5x 是奇函数,从而函数 f ( x) ? x3 ? 5x 也是奇函数, 你 能 举 出 类 似 的 例 子 吗 ? 若 不 同 的 两 个 函 数 f ( x) 和 g ( x) 为 奇 函 数 , 能 否 推 导 出 f ( x) ? g ( x) , f ( x) ? g (

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