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高一数学必修2立体几何概念定理公理整理


立体几何的概念、公理、定理、推论整理(1.2)
高一八单 郭祺整理

1

(一)平面的三大基本公理和推论:
公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即这条直线在这个面内)
如图: A∈α => AB?α = B∈α

公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
如图: A∈α A∈β => = α∩β=a 且 A∈a β B α A

公理 3:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。
如图:A,B,C 为不在同一直线上的三点,有且只有一个平面 α,使 A∈α B∈α C∈α

推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
如图:B,C∈a,A∈a,有且只有一个平面 α,使 A∈α a∈α

已知:有一条直线 a 和直线外一点 A 求证:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 证明: 在直线 a 上取任意不重合两点 B,C 又∵A∈a ∴A,B,C 不在同一直线上 即过 A,B,C 三点有且只有一平面 α(公理 3) ∵B,C∈a,又 B,C∈α,所以 a?α(公理 1) 所以经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面

推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
如图:a∩b=A ,有且只有一个平面 α, 使 a∈α b∈α

推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
如图:a// b ,有且只有一个平面 α,使 a∈α b∈α

已知:直线 a∩b=A 求证:经过两条相交直线,有且只有一个平面 证明: 在 a ,b 上分别取不同于点 A 的点 B 和点 C 则过这不在同一直线上的三个点有且只有一个平面 α(公理 3) ∵A ,B∈b,又 A,B∈α;A, C∈a,又 A , C∈α ∴a,b∈α(公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那 么这条直线就在这个平面内) 因此平面 α是过相交直线 a, 的平面. b 假设过直线 a,b 还有一个平面 β 则 A,B,C∈β 则过 A,B,C 有两个平面 α和 β 与公理 3 矛盾 ∴原假设错误 ∴过直线 a,b 的平面有且只有一个 ∴经过两条相交直线,有且只有一个平面

已知:直线 a/ b / 求证:经过两条平行直线,有且只有一个平面 证明: 根据平行线的定义:同一平面内,不相交的两条直线叫做平行 线 ∴a,b 在同一平面内(a,b∈α) 在直线 a 上取一 ( 点A A∈a) 假设经过直线 a,b 有另一平面 β 则 β过点 A 和直线 b 与推论 1 矛盾 ∴原假设错误 ∴经过两条平行直线,有且只有一个平面

※“有”表示存在, “只有”表示唯一, “且”表示联立命题, 所以此问题的证明即要证明“存在性”又要证明“唯一性” 。
纠正与补充:

※(注意不仅要证明“有” ,还要证明“只有一个” ,证明“只 有一个”时使用的是反证法) 反证法一般程序:1.假设结论错误 2.据理推出假设矛盾 3. 否定原假设 4.肯定结论为真

2
(二)空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面)
公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。(平行线的传递性)
如图: a/ b / b/ c / => a/ c = /

等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
如图: AC/ A’ / C’ => ∠CAB=∠C’ = A’B’ AB/ A’ / B’

证明:∠CAB=∠C’ A’B’ 分别在∠CAB 和 ∠C’ A’B’的两边上截取 AC=A’ ,AB=A B’ C’ ’ 连结 AA’ ,CC’ ,BB’ ,CB,C’ B’ AB//A B ’’ A 是平行四边形 = 四边形 ABB’’ AB = A B ’’ =>
// => AA’ =

BB’ CC’

// 同理,AA’

=> BB’ // CC’= 四边形 CBB’ = C’是平行四边形 =>

=> AC=A’C’ = = AB=A’B’ => △ABC≌△A’B’C’ => ∠CAB=∠C’A’B’ = CB=C’B’

推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。 ※补:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反,那么这两个角互补。

异面直线的定义:我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 异面直线判定定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。
如图: A∈α B∈α a∈α A,B∈L => = L 与 a 异面

已知:直线 a 在平面 α内(a∈α) ,直线 L 与平面 α交于 B 点(L∩α=B) 在直线 L 上有不同于 B 点的一个 A 点(A≠B)且点 A 在平面 α外(A∈a) 求证:直线 L 与直线 a 异面 证明: A 假设直线 L 与直线 a 共面, 过 B 点和直线 a 有且只有一个平面 α(推论 1) ∴直线 a 和直线 L 都在平面 α内 B 又 A∈L,L?α,所以 A∈α 与点 A 在平面 α外相矛盾 ∴原假设错误 ∴直线 L 与直线 a 不共面 ∴直线 a 与直线 L 为异面直线(异面直线的定义)

※我们把直线 L 与直线 a 所成的锐角(或直角) 叫做异面直线 L,a 所成的角(0°,90°]。 若异面直线 L,a 所成的角是直角,则称异面 直线 L,a 互相垂直,记作 L⊥a(线线垂直) 一般异面直线求角度我们通过平移至相交求其 所成的夹角大小。在一个三角形内解决异面直 线所成的角度是一种常用的方法。 两异面直线间距离: 公垂线段 公垂线段:和两条异面直线都垂直相交的直线 叫做这两条异面直线的公垂线.两条异面直 线,有且只有一条公垂 线。
例:图中直线 AB 是异面直线 a、b 的公垂线.

初中有关知识回顾(简略)
平行线判定方法: 1.同位角相等,两直线平行。2.内错角相等,两直线平行。3.同旁内角互补,两直线平行。 4.平行于同一直线的两条直线互相平行。5.同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。 6.同一平面内,永不相交的两条直线平行。

平行线的性质:
如图:已知直线 m//n,直线 L 与直线 m,n 分 别 相 交 于 点 A, 点 B 。 1.两直线平行,同位角相等(如图:∠1=∠2) 2.两直线平行,内错角相等(如图:∠2=∠3) 3.两直线平行,同旁内角互补(如图:∠2+∠4=180°)

矩形的判定定理: 平行四边形的判定定理: 1.对角线相等的平行四边形是矩形 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.有一个角是直角的平行四边形是矩形 2.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2.有三个角是直角的四边形是矩形 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形 6.对角分别相等的四边形是平行四边形 正方形的判定定理: 1.有一个角是直角的菱形是正方形 菱形的判定定理: 2.对角线互相垂直的矩形是正方形 1.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3.四边相等的矩形是正方形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.邻边相等的平行四边形是菱形 ※ 立体几何的学习离不开平面几何的基础

纠正与补充:

3
平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 如图:L1 // L2 // L3 L4,L5,L6 为任意三条截这组平行线的直线  若 a=a,则 b=b,c=c 推论: 经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边 经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰 (证明略) L1 L2 L3 L6 L5 L4

平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例。 如图: ∵AD∥BE∥CF, ∴A B :BC=D E:EF;AB:AC=DE:DF; BC:AC=EF:DF。 也可以说 AB: DE=BC:EF;AB:DE=AC:DF;BC:EF=AC:DF。 平行线分线段成比例定理推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例

(三)直线和平面的位置关系
一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种: 1.如果一条直线 a 和一个平面 α没有公共点,我们就说直线 a 与平面 α平行(a// α) α 2.如果直线 a 与平面 α有且只有一个公共点,我们就说直线 a 与平面 α相交(a∩α=A) a A 3.如果直线 a 与平面有无数个公共点,我们就说直线 a 在平面 α内(a?α) α a α a

直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
如图:a?α b?α a/ b / /α => a/ =

直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。 如图: a// α
a?β α∩β=b /b => a/ =

已知:a//α,a?β,α∩β=b(如图) 求证:a//b 证明: = a//α => 直线 a 与平面 α没有公共点 = b?α => 直线 a 和 b 没有公共点 a,b?β

=> a//b =

※本题还可以用反证法证明(略)

求证:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行。
已知:平面 α β γ , , (为图中三棱柱的三个侧面),α β n ,α γ m,γ β ∩ = ∩ = ∩ =L,且 m//n 求证:L//m,L//n 纠正与补充: 证明:

γ

m
α

β

L

m//n n∈γ m∈γ

n

=> n//γ = n?β β∩γ=L

=> L//n 同理,L//m =

※如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中

两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行。 可当作一个结论或定理来用

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P31 思考题:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线相交,那么第三条直线和这两条直线有怎么样的位置关系
答:第三条线过这两条直线的交点 如图 已知:α∩β=b,γ∩β=c,α∩γ=a,a∩b=s 求证: a∩b∩c=s 证明: ∵γ∩β=c ∴c 为平面 γ和 β的交线 又∵b∈ β,a∈ γ,a∩b=s ∴s∈c (两个相交平面内的两条直线交于一点,则这一点必定在这两个面的交线上) ∴a∩b∩c=s
※如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线相交,那么第三条直线和这两条直

a b γ α β

c

线交于同一点(证明略)

可当作一个结论来用

直线与平面的垂直
如果一条直线 a 与一个平面 α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 a 与平面 α互相垂直,记作 a⊥α.直线 a 叫做平面 α的垂线,平面 α叫做直线 a 的垂面,垂线和平面的交点称为垂足. 重要的两个结论:1.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(证明方法参考《钥匙》P38) 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。
※本定理的证明在我们现在的知识范围内解决很麻烦,在此就不做详细证明,以后学习向量时可轻松解决。

你有办法证明吗?试一下吧!

直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. a⊥α 如图: b⊥α b’
=> a//b =

已知:a⊥α,b⊥α 求证:a//b 证明: 假设 b 不平行于 a,设 a∩b=P,b’是经过点 P 与直线 a 平行的直线. 直线 b 与 b’确定平面 β,设 α∩β=c ∵a⊥α,b⊥α ∴a⊥c,b⊥c 又∵b’ a // ∴b’ ⊥c 这样在平面 β内,经过直线 c 上同一点 P,有两条直线 b,b’与 c 垂直, 与平面几何中经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾。 ∴原假设错误 ∴a//b

P

纠正与补充:

5
定理 1:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直这个平面。
a//b 如图: = a⊥α => b⊥α

a

b

已知:a//b ,a⊥α 求证:b⊥α 证明: 设 m 为 α任意一条直线 a⊥α m?α => a⊥m = b//a => b⊥m = 由 m 的任意性可知,直线 b 垂直于 α内任意一条直线 所以 b⊥α

α

m

※可作为直线和平面垂直的判定定理直接使用

定理 2:一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面。
如图: α//β a⊥α => a⊥β = A 已知:α//β,a⊥α 求证:a⊥β 证明: 设 a∩α=A,a∩β=B 在平面 α内取任意一条直线 b,过 b 做截面 γ,γ∩α=b,γ∩β=c 又因为 α//β 所以 b//β 则 b//c(直线和平面平行的性质定理) 又 a⊥α,b?α 所以 a⊥b 所以 a⊥c(一条直线垂直于一组平行线中的任意一条,则这条直线也将垂直另一条) 由于 b 直线在平面 α内具有任意性,则 c 直线在 β平面内也具有任意性 所以 a 垂直 β中的任意直线 所以 a⊥β c γ B b

直线与平面所成的角:
一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线与平面的焦点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线 P 段叫做这个点到平面的斜线段. 如图,过平面外一点 P 向平面 α引斜线和垂线,那么过斜足 Q 和垂足 P’的直线就是斜线在平面 内的正投影(简称投影) ,线段 P’Q 就是斜线段 PQ 在平面内的射影。 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角。 PQ 与平面 α内经过点 Q 的直线所成的所有角中,∠PQP’最小。 (可证明,略) ※直线和平面所成的角 θ的范围 0°≤θ≤90°,而斜线和平面所成的角 θ的范围 0°<θ<90°. 当直线与平面平行或直线在平面内时,直线与平面成 0°角;当直线与平面垂直时,直线与平面成 90°. α

Q

P’

课外补充:射影定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:
(1)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; (2)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长; (3)垂线段比任何一条斜线段都短。

三垂线定理及其逆定理(很重要哦~)
三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 已知:直线 a 在平面 α内,直线 AB 是平面 α的斜线,CB 为 AB 在平面 α内的射影,且 a 垂直 CB 求证:a⊥AB 证明: a?α
AC⊥α => a⊥AC = a⊥BC

AC∩BC=C

=> a⊥ABC = AB?平面 ABC

=> a⊥AB =

三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。 已知:直线 a 在平面 α内,直线 AB 是平面 α的斜线,CB 为 AB 在平面 α内的射影,且 a 垂直 AB 求证:a⊥CB 证明: a?α => a⊥AC = AC⊥α a⊥AB => a⊥ABC = => a⊥CB = AB∩BC=B AB?平面 ABC 纠正与补充:

※三垂线定理及其逆定理的互相转换在考试中特别常用,它是解题过程中的一个 “中转站” ,运用熟练对我们解决许多空间几何问题有极大的帮助。

6
证明题: (此题所证明的问题是一个非常重要的结论,需留意!) 如图,已知∠BAC 在平面 α内,P∈α,∠PAB=∠PAC. 求证:点 P 在平面 α内的射影在∠BAC 的平分线上. 证明: 作 PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为 O,E,F,连结 OE,OF,OA. PE⊥AB,PF⊥AC ∠PAB=∠PAC PA=PA PO⊥α AB?α => Rt△PAE≌Rt△PAF(AAS)= AE=AF. = > E A => AB⊥PO = AB⊥PE > AB⊥平面 PEO= AB⊥OE α F O C P

B

同理,AC⊥OF. 在 Rt△AOE 和 Rt△AOF 中,AE=AF,OA=OA, 所以 Rt△AOE≌Rt△AOF 于是∠EAO=∠FAO 因此,点 P 在 α内的射影 OA 在∠BAC 的平分线上

※这是个重要的结论,在选择填空题可帮助 我们迅速解决问题。

线与面垂直还有面与面垂直的问题较为复杂,因为在空间里垂直不再能够直接看出来,缺少直观会让我们思路不明确,故解决垂直问题时 大家要注意。

(四)平面和平面的位置关系
空间两个平面不外乎有两种位置关系:平行或相交 平行:如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面互相平行 相交:如果两个平面有一个公共点,那么由公理 2 可知,它们相交于经过这个点的一条直线

两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
如图 1: a?α b?α a∩b=A a//β b//β

=> α//β =

※此定理推论:如果一个平面内有两条相交直线 与另一个平面的两条相交直线分别平行,那么这 两个平面平行。 (因为两条相交直线确定唯一一个平面) 这是重要的推论哦,给你解题带来很大的方便!

图1 a A α b

已知:在平面 α内有两条相交直线 a,b,a∩b=A,且直线 a,b 都平行平面 β 求证:α//β 证明: 假设平面 α不平行于平面 β,则它们必相交于一条直线,设这条直线为 c 假设直线 a,b 同时平行 c 则 a//b(平行与同一直线的两直线平行) ,与已知条件中 a,b 相交矛盾 故 a,b 直线不可能同时平行 c 所以 a,b 直线必与 c 直线存在交点,且交点在平面 α和 β的交线 c 上 与已知条件中 a,b 同时平行平面 β相矛盾 所以原假设平面 α不平行于平面 β是错的 所以 α//β

β 图2

α

a

β

你知道为什么“如果一个平面内有两条平行直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 ”是假命题吗? 答:如图 2,平面 α和 β相交于 a,我们可以在平面 α内作出无数条直线与平面 β平行,也就是说即使在一个平面内有无数条直线和另一 个平面平行,也不能保证这两个平面平行,更不用说两条平行线了。

定理 Ⅰ:垂直于同一直线的两个平面平行.
A’ β a’ b 如图 已知:平面 α和 β都垂直于直线 AA’ 求证:α//β 证明: 设经过直线 AA’的两个平面 γ,δ(读作 delta)分别与平面 α,β相交于直线 b, b’和 a,a’ 。 ∵AA’⊥α,AA’⊥β, ∴AA’⊥a,AA’⊥a’ 。 AA’ ,a,a’都在平面 δ内,由平面几何的 知识:在同一平面内,垂直同一直线的两直 线平行。 ∴a//a’ , ∴a’//α(线面平行的判定定理) 同理 b’//α 又∵a’∩b’=A’ a’ ; ,b’∈β ∴α//β 该题可以作为两个平面的判定定理

纠正与补充:

δ α

A

a γ b’

※证明两个平面平行的方法目前有且仅有 两种: (1)定义法(需借反证法证明) ; (2)判定定理法,其中“一个平面内有

两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行”是目前最好的 方法。使用该方法必须在一个平面内 构造出相交直线与另一个平面平行。

7
定理 Ⅱ:平行于同一平面的两个平面平行。
a α 如图: α//γ β//γ

补充几个结论:
=> α//β = 1.经过平面外一点(一条直线)有且只有一个平面和已知平面平行 2.夹在两个平面内的平行线段相等 3.夹在两个平面内的平行线与平面所成的角度相等 4.一条直线平行于两个平行平面中的任意一个,则它也平行于另一个 5.一条直线垂直于两个平行平面中的任意一个,则它也垂直于另一个 (证明略~)

β

已知:α//γ,β//γ 求证:α//β 证明: 任作一条直线 a,使得 a⊥γ, 由于 α//γ,β//γ,则 a⊥α, (定理 Ⅰ) a⊥β, ∴α//β

还有......(你还能想到什么?请写下来吧)
6. 7. 8. . . γ

γ

两个平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行。 如图:
α//β α∩γ=a β∩γ=b

=> a//b = α

a

已知:α//β,α∩γ=a,β∩γ=b 求证:a//b 证明: 因为 α//β, 所以 α和 β没有公共点,因而交线 a,b 也没有公共点. 又因为 a,b 都在平面 γ内,所以 a//b

b β

平行平面间距离:
与两个平面都垂直的直线,叫做这平面的公垂线,它夹在这两个平面内的线段,叫做这两个平面的公垂线段. 两个平面的公垂线都相等.我们把公垂线的长度叫做两个平面间的距离 用“面面平行”的性质证明线面平行,线线平行的方法 一.两个平面平行有如下性质: = 1.两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面.简言之,“面面平行 => 线面平行”. = 2 如果两个平行平面和第三个平面相交,那么它们的交线平行.简言之,“面面平行 => 线线平行”. 因此,面面平行的性质可以解决“线线平行”和”线线平行”的问题. 二.利用性质解决问题的关键是构造出性质定理的应用背景. 三.转换是解决立体几何问题中的一个非常重要的思想.(有时要证明面面平行必须先证明线线平行,有时要证明线线平行又必须先证明面面平行)

二面角的概念:
平面内一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一个部分都叫做平面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

二面角的大小:
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

注意:
二面角的大小是通过转化成二面角的平面角来度量的.二面角的平面角是多大,就是这个二面角是多大.我们规定,二面角 α的大小范围 是 0°≤α≤180°.

直二面角:
平面角是直角的二面角叫做直二面角

两个平面垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,则称这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 如图:
β AB⊥α AB?β

=> α⊥β =
A

已知:直线 AB 垂直平面 α,平面 β过直线 AB,α∩β=MN 求证:α⊥β 证明: 在平面 α内找一点 C,连结 CB 使得 CB⊥MN ∵AB⊥α,MN?α ∴AB⊥MN 又 CB⊥MN ∴∠ABC 是二面角 α—MN—β的平面角 又 BC?α ∴AB⊥BC ∴∠ABC=90° 即平面 α和 β的二面角是直二面角, ∴α⊥β

N B α M 纠正与补充: C

8
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α 如图: 已知 α⊥β,α∩β=m,AB?α,AB⊥m,B 为垂足 求证:AB⊥β 证明: 在平面 β内作 BC⊥m, 则∠ABC 是二面角 α—m—β的平面角. 由 α⊥β, 可知 AB⊥BC 又 AB⊥m,BC∩m=B ∴AB⊥β

A

m B β C

求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点且垂直第二个平面的直线必在第一个平面内.
α P b a β c β P α b c a 如图: 已知 α⊥β,P∈α,P∈a,a⊥β. 求证:a?α 证明: 设 α∩β=c 过点 P 在平面 α内作直线 b⊥c, 根据平面与平面垂直的性质定理,有 b⊥β. 因为经过一点有且只有一条直线与平面 β垂直, 所以直线 a 应与直线 b 重合,即 a?α.

※该问题可作为一个定理来用!

定理:如果两个相交平面都垂直第三个平面,那么它们的交 线垂直于第三个平面

纠正与补充:

α γ P a

Q n β 如图: 已知 α∩γ=a,α⊥β,γ⊥β 求证:a⊥β 证明: 设 α∩β=m,β∩γ=n 在直线 a 上取一点 P 且 P 不在 β上 过 P 作 PQ 垂直直线 m 又 m 为互相垂直的两平面 α和 β的交线 ∴PQ⊥β(两个平面垂直的性质定理), 又 P,Q∈α ∴PQ∈α 同理 PQ∈γ 又 α∩γ=a, ∴PQ?a ∴a⊥β

m

推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直(证明略)
面面垂直的证明方法: 一.证明两个平面垂直,主要的途径: 1.利用面面垂直的定义,即两平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角,就说这两平面垂直. 二.二是面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的 一条垂线,那么这两个平面垂直. 三.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面 面垂直来实现的;因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂 直,线面垂直,面面垂直的互相转化.每一垂直的判定就是从某一 垂直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转化关系如下图所示:
性质定理 判定定理 性质定理 判定定理 性质定理

整理者的话: 我将书中出现,自己能想到的一些立体几何的定理,结论以及推论都 摘下来,并赋予了证明。其实学习这一块内容公式的灵活运用才是最重要 的,但是死背公式不仅记不牢而且不能运用自如,我们记忆公式的最好方 法是记模型(情景) ,所以我给每个重要的结论都配上了图。 但是即使是明白这些结论的作用却不知道这些结论是如何产生的也是 不好的,因为只有深明它产生的过程才能更好地掌握它。 华罗庚先生当初在全国招收一批优秀数学家,最后选拔出了六位杰出 的青年数学家 (其中还包括陈景润) 华老亲自面试他们, , 当时他问他们两 1.三角形的内角和为什么是 180°? 2.对顶角为什么相等?由此 个问题: 我们可以看出华老觉得一个数学家是否优秀不仅仅在于他能否做难题,还 需要他对基础掌握扎实程度,现在很多同学一味的追求做难题,反倒是忽 略了基础。当你在证明一道题,你使用一些理所当然的结论,你是否真的 知道这些结论是如何来的? 在此同样感谢刘老师,他给了我这次整理的机会,我在整理的过程中 收获良多! 由于时间仓促,错误和疏漏是在所难免的,请见谅!

线线垂直

线面垂直

面面垂直


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高中数学必修二立体几何入门试题精选

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必修2《立体几何初步》教材分析与建议

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高中数学必修2立体几何常考题型:直线与平面垂直的判定

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高一数学必修二立体几何点线面的关系 单元测试试卷

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数学必修2空间几何体_点、直线、平面之间的位置关系复...

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必修2立体几何知识归纳与整理

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