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精简易下载版 高中数学解题的技巧[1]


高中数学解题的技巧
数学解题的思维过程 数学解题的思维过程 解题的思维 数学解题的思维过程是指从理解问题开始,经过探索思路,转换问题直至解决问题,进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程,G . 波利亚提出了四个阶段*(见附录),即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段 思维过程的实质,可以用下列八个字加以概括:理解、转换、实施、反思。 :理解、转换、实施、反思。 第一阶段:理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段:转换问题是解题思维活动的核心,是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程,是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段:计划实施是解决问题过程的实现,它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达,是解 题思维活动的重要组成部分。 第四阶段:反思问题往往容易为人们所忽视,它是发展数学思维的一个重要方面,是一个思维活动过程的结束包含另一个新 的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确,思路更加活泼,进一步提高探索的成效,我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”,即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题,以通过对新题的考察,发 现原题的解题思路,最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识,常用的解题策略有:熟悉化、简单化 直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 基于这样的认识,常用的解题策略有:熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等 一、 熟悉化策略 所谓熟悉化策略,就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时,要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目, 以便充分利用已有的知识、经验或解题模式,顺利地解出原题。 一般说来,对于题目的熟悉程度,取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析,任何一道解答题,都包含条件和 对于题目的熟悉程度, 对于题目的熟悉程度 取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析,任何一道解答题, 结论(或问题)两个方面。因此,要把陌生题转化为熟悉题,可以在变换题目的条件 结论(或问题) 条件、 结论(或问题)两个方面。因此,要把陌生题转化为熟悉题,可以在变换题目的条件、结论(或问题)以及它们的联系方式 上多下功夫。 上多下功夫。 常用的途径有: (一)、充分联想回忆基本知识和题型: )、充分联想回忆基本知识和题型 )、充分联想回忆基本知识和题型: 按照波利亚的观点,在解决问题之前,我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型,充分利用相似问题中 的方式、方法和结论,从而解决现有的问题。 )、全方位 多角度分析题意: 全方位、 (二)、全方位、多角度分析题意: 对于同一道数学题,常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此,根据自己的知识和经验,适时调整分析问题的视角, 有助于更好地把握题意,找到自己熟悉的解题方向。 恰当构造辅助元素: (三)恰当构造辅助元素 数学中,同一素材的题目,常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间,也存在着多种联系方式。因此,恰当 构造辅助元素,有助于改变题目的形式,沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系,把陌生题转化为熟悉题。 数学解题中, 构造的辅助元素是多种多样的, 构造算法, 构造多项式, 数学解题中, 构造的辅助元素是多种多样的, 常见的有构造图形 点、 、 、 ) 构造算法, ( 线 面 体 , 构造多项式, 构造方程 组) ( , 构造坐标系,构造数列,构造行列式,构造等价性命题,构造反例,构造数学模型等等。 构造坐标系,构造数列,构造行列式,构造等价性命题,构造反例,构造数学模型等等 二、简单化策略 所谓简单化策略,就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时,要设法把转化为一道或几道 比较简单、易于解答的新题,以便通过对新题的考察,启迪解题思路,以简驭繁,解出原题。 简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来,我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。 因此,在实际解题时,这两种策 略常常是结合在一起进行的,只是着眼点有所不同而已。 解题中,实施简单化策略的途径是多方面的,常用的有: 寻求中间环节,分类考察讨论,简化已知条件,恰当分解结论等 寻求中间环节,分类考察讨论,简化已知条件,恰当分解结论等。 寻求中间环节,挖掘隐含条件: 1、寻求中间环节,挖掘隐含条件: 在些结构复杂的综合题,就其生成背景而论,大多是由若干比较简单的基本题,经过 适当组合抽去中间环节而构成的。 因此,从题目的因果关系入手,寻求可能的中间环节和隐含条件,把原题分解成一组相互联系的系列题,是实现复杂问题简 单化的一条重要途径。 分类考察讨论: 在些数学题,解题的复杂性,主要在于它的条件、结论(或问题)包含多种不易识别的可能情形。对 2、分类考察讨论 于这类问题,选择恰当的分类标准,把原题分解成一组并列的简单题,有助于实现复杂问题简单化。 简单化已知条件: 3、简单化已知条件: 有些数学题,条件比较抽象、复杂,不太容易入手。这时,不妨简化题中某些已知条件,甚至暂时撇开不顾,先考虑一个简 化问题。这样简单化了的问题,对于解答原题,常常能起到穿针引线的作用。

4、恰当分解结论: 恰当分解结论 有些问题,解题的主要困难,来自结论的抽象概括,难以直接和条件联系起来,这时,不妨猜想一下,能否把结论分解为几 个比较简单的部分,以便各个击破,解出原题。 直观化策略: 三、直观化策略 所谓直观化策略,就是当我们面临的是一道内容抽象,不易捉摸的题目时,要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题, 以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系,找到原题的解题思路。 )、图表直观 图表直观: (一)、图表直观: 有些数学题,内容抽象,关系复杂,给理解题意增添了困难,常常会由于题目的抽象性和复杂性,使正常的思维难以进行到 底。 对于这类题目,借助图表直观,利用示意图或表格分析题意,有助于抽象内容形象化,复杂关系条理化,使思维有相 对具体的依托,便于深入思考,发现解题线索。 )、图形直观 图形直观: (二)、图形直观 有些涉及数量关系的题目,用代数方法求解,道路崎岖曲折,计算量偏大。这时,不妨借助图形直观,给题中有关数量以恰 当的几何分析,拓宽解题思路,找出简捷、合理的解题途径。 )、图象直观 图象直观: 不少涉及数量关系的题目,与函数的图象密切相关,灵活运用图象的直观性,常常能以简驭繁,获 (三)、图象直观 取简便,巧妙的解法。 四、特殊化策略 所谓特殊化策略,就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时,要注意从一般退到特殊,先考察 包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题,以便从特殊问题的研究中,拓宽解题思路,发现解答原题的方向或途径。 所谓一般化策略,就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时,要设法 五、一般化策略 把特殊问题一般化,找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果,顺利解出原题。 所谓整体化策略,就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时,要 六、整体化策略 适时调整视角,把问题作为一个有机整体,从整体入手,对整体结构进行全面、深刻的分析和改造,以便从整体特性的研究 中,找到解决问题的途径和办法。 所谓间接化策略,就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难,或在特定场合甚至找不到解题依据 七、间接化策略 的题目时,要随时改变思维方向,从结论(或问题)的反面进 反面进行思考,以便化难为易解出原题。 反面进 数学解题方法经典 一、整理各类题目的解题方法 ①选择题的解法 选择题的解法: 选择题得分关键是考生能否精确、迅速地解答。数学选择题的求解有两种思路:一是从题干出发考 选择题的解法 虑,探求结果;二是题干和选择的分支联合考虑或从选择的分支出发探求是否满足题干条件,由于答案在四个中找一个,随 机分一定要拿到。 选择题解题的基本原则是:“充分利用选择题的特点,小题尽量不要大做”。 填空题的解法: 填空题答案有着简短、明确、具体的要求,解题基本原则是小题大做别马虎, ②填空题的解法 填空题答案有着简短、明确、具体的要求,解题基本原则是小题大做别马虎,特别是解的个数和形式 是否满足题意,有没有漏解和不满足题目要求的解要认真区别对待。今年江苏的数学高考填空题的分值增加许多, 是否满足题意,有没有漏解和不满足题目要求的解要认真区别对待。今年江苏的数学高考填空题的分值增加许多,其得分情 况对高考成绩大有影响,所以答题时要给予足够的精力和时间 填空的解法主要有:直接求解法、特例求解法、数形结合法, 精力和时间, 况对高考成绩大有影响,所以答题时要给予足够的精力和时间,填空的解法主要有:直接求解法、特例求解法、数形结合法, 解题时灵活应用。 解题时灵活应用。 解答题的解法: 解答题得分的关键是考生能否对所答题目的每个问题有所取舍,一般来说在解答题中总是有一定数量 解答题得分的关键是考生能否对所答题目的每个问题有所取舍, ③解答题的解法 的数学难题(通常在每题的后半部分和最后一、两题中) 如果不能判别出什么是自己能做的题, 的数学难题(通常在每题的后半部分和最后一、两题中),如果不能判别出什么是自己能做的题,而在不会做的题上花太多的 时间和精力,得分肯定不会高。解答题解题时要注意:书写规范,各式各样的题型有各自不同的书写要求, 时间和精力,得分肯定不会高。解答题解题时要注意:书写规范,各式各样的题型有各自不同的书写要求,答题的形式对了 基本分也就得到了,比如概率题、立体几何题有规定的书写要求,解题时务必注意。审题清晰,题读懂了解题才能得到分 得到分, 基本分也就得到了,比如概率题、立体几何题有规定的书写要求,解题时务必注意。审题清晰,题读懂了解题才能得到分, 要快速在短时间内审清题意,知道题目表达的意思,题目要解决的是什么问题,关键的字词是什么,特殊的情形有没有, 要快速在短时间内审清题意,知道题目表达的意思,题目要解决的是什么问题,关键的字词是什么,特殊的情形有没有,不 能一知半解,做了一半才发现漏了条件推翻重来,费了精力影响情绪。 能一知半解,做了一半才发现漏了条件推翻重来,费了精力影响情绪 每年高考试题总有创新,对新型的探索开放题的解题要诀有:(1)试:阅读题意,分清条件和结论,尝试最简单、最基 试 础的运算。(2)猜:在前面尝试的基础上,大胆猜想,可以运用归纳、类比、推广、化归等思想方法多角度、多维度地猜想, 猜 合理进行猜想是关键的一步。(3)证:综合运用数学知识进行求解与证明,要注意前后联系,过程严谨。在探索开放题的解 证 答过程中,要注意尝试举例,并进行多方位的联想,将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移, 从而进行大胆的猜想,最后再进行规范的证明。 二、形成良好的考试心态 一张试卷肯定有自己不会的或暂时不能解决的问题,当出现这种情形时心里急是解决不了问题的,只会增加心理负担, 要有一些良好心态的提示,乐观地应考,不要为一时得失而悲观失望,尽可能得到自己会做的题目的分值。注意解题速度和 各大题的做题时间,高考是在单位时间内完成一张试卷,题量是相对固定的,主观题的时间最好在 45 分钟内解决,每一题

要细心,认真对待,任何一题不读三遍不动手,读了三遍没感觉暂时不做,不能出现因个别的题而花了大量时间,不会做就 坚决跳过去,由于近年高考题大题的难度是多层次给分,对于最后的两个大题前一、二问的得分可能不是太难,一定要做。 三、关注重点知识和方法 考前最后一两天仍要关注数学思想方法 数学思想方法的回顾,数学思想方法一直是数学高考的重点和热点,数形结合、类比、逆向思 数学思想方法一直是数学高考的重点和热点, 数学思想方法 数学思想方法一直是数学高考的重点和热点 数形结合、类比、 化归与转化、特殊到一般等数学思想方法常以具体题目为载体出现,理解这些思想方法对答好数学试卷大有帮助,解题 维、化归与转化、特殊到一般等数学思想方法常以具体题目为载体出现 时要重视提升高考题目中隐含的数学思想方法,这样会起到画龙点睛、豁然开朗的效果。考前还要重视新增内容的复习,高 考一直与课改的方向一致,新课程增加的内容也是高考的重点内容,特别是新老内容相结合的一些问题,如向量在几何、三 角中的应用,导数在函数问题中的应用,统计、线性规划与概率在实际问题中的应用等在最后复习中再回顾一次,要充分重 视。


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