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上海市八校2013届高三3月联合调研考试数学文试题


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上海市八校 2013 届高三 3 月联合调研考试数学文试题
一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.若 z ? C ,且 (3 ? z )i ? 1 ,则 z ? ________________。 2.函数 y ?

log 0.5 x 的定义域为
x
?1



3.已知 f ( x) ? 2 ? 2 ,那么 f

(2) 的值是

。 。

4.已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d = 5.函数 y ?

3 cos x cos x

sin x cos x

的最小正周期



6. ?a n ?是无穷数列,已知 an 是二项式 (1 ? 2 x) (n ? N *) 的展开式各项系数的和,记
n

Pn ?

1 1 1 ? ? ? ? ,则 lim Pn ? __________。 n ?? a1 a2 an
2

7.若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点与抛物线 y ? 4 10 x 的焦点重合,则 双曲线的标准方程为 。 。

8.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点, DE ? DC 的最大值为
?

9.△ ABC 中,三内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 ?B ? 60 ,不等式

? x2 ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | a ? x ? c} ,则 b ? ______。
10.如图为一几何体的的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形,SD=PD =6, CR=SC, AQ=AP, S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线, 点 沿图中虚线将它们折叠, 使 P,Q,R,S 四点重合,则这样的几何体的体积为________。 11.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任意抽取三个数,其中仅有两个数是连续整数的概 率是 。 。 12.已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , b1 ? 2 ,且对任意的正整数 i , j , k , l , 当 i ? j ? k ? l 时,都有 ai b j ? ak bl ,则 a10 ? b10 的值是 13. f (x) 为 R 上的偶函数, g (x) 为 R 上的奇函数且过 ?? 1,3? , g ( x) ? f ( x ? 1) ,则

f (2012 ) ? f (2013 ) ?


2

14.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a (a ? 1) 的

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点的轨迹.给出下列三个结论:

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① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积大于 其中,所有正确结论的序号是 。

1 2 a 。 2

二. 选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结 论是正确的, 必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑, 选对得 5 分, 否则一律得零分。 15.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S2 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 ) ( )

16. 右图给出了一个程序框图, 其作用是输入 x 的值, 输出相应的 y 值, 若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有 ( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 17.若点 M (a, ) 和 N (b, ) 都在直线 l : x ? y ? 1 上,则点 P (c, ) ,

1 b

1 c

1 a

1 Q ( , b) 和 l 的关系是 c (A)P 和 Q 都在 l 上
(C)P 在 l 上,Q 不在 l 上

(B) P 和 Q 都不在 l 上 (D)P 不在 l 上,Q 在 l 上
Q(t )

18.受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响,某公 司 2012 年一年内每天的利润 Q(t ) (万元)与时间 t (天)的关系 如图所示,已知该公司 2012 年的每天平均利润为 35 万元, 令 C(t ) (万元)表示时间段 [0, t ] 内该公司的平均利润,用图像描 述 C(t ) 与 t 之间的函数关系中较准确的是(
C(t )

35

O
50 100 150 200 250 300 350

t

)
35

C(t )

?35

35

O
50 100 150 200 250 300 350

O
t
?35
50 100 150 200 250 300 350

t

?35
C(t )

A

B
C(t )

35

35

O
50 100 150 200 250 300 350

O
t
?35
50 100 150 200 250 300 350

t

三. 解答题: (本题满分 74 分) 本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域 (对 应的题号)内写出必要的步骤。 19.(本题满分 12 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分)
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?35

C

D

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O1

如图, 已知点 P 在圆柱 O O1 的底面圆 O 上,AB 为圆 O 的直径,

8 3。 OA ? 2 , ?AOP ? 120? ,三棱锥 A1 ? APB 的体积为 3
(1)求圆柱 O O1 的表面积; (2)求异面直线 A1 B 与 OP 所成角的大小。 (结果用反三角函数值表示)

A1

B1

A

O

B P

20.(本题满分 14 分;第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分) 如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD, 在点 A 处有一个 可转动的探照灯,其照射角 ?PAQ 始终为 45 (其中点 P、Q 分别
?

D

Q

C

在边 BC、CD 上),设 ?PAB ? ? ,tan ? ? ,探照灯照射在正方形 t ABCD 内部区域的面积 S (平方百米)。 (1) 将 S 表示成 t 的函数; (2) 求 S 的最大值。

P

45?
A

?

B

21. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知椭圆 C 以 F1 ? ?2, 0 ? , F2 ? 2, 0 ? 为焦点且经过点 P(? , ) 。 (1)求椭圆 C 的方程;

5 3 2 2

(2) 已知直线 l 过点 P , 且直线 l 的一个方向向量为 m ? ? 3,3? 。 是否存在平行于 l 的直线 l1 , 使得直线 l1 与椭圆 C 有公共点,且直线 l1 与 l 的距离等于 2 ?若存在,求出直线 l1 的方程; 若不存在,说明理由。

??

22.(本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分. ) 已知下表为函数 f ( x) ? ax ? cx ? d (a ? 0) 部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研
3

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究,相关函数值取非整数值时,取值精确到 0.01。

x y

-0.61 0.07

-0.59 0.02

-0.56 -0.03

-0.35 -0.22

0 0

0.26 0.21

0.42 0.20

1.57 -10.04

3.27 -101.63

根据表中数据,研究该函数的一些性质: (1) 判断 f (x) 的奇偶性,并证明; (2) 判断 f (x) 在 ?? 0.6,?0.55? 上是否存在零点,并说明理由; (3) 判断 f (x) 在 ?? ?,?0.35? 的单调性, 并说明理由。

23. (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 对 于 数 列 A : a1 , a2 , a3 (ai ? N, i ? 1, 2,3) , 定 义 “ T 变 换 ” : T 将 数 列 A 变 换 成 数 列

B : b1 , b2 , b3 , 其中 bi ? | ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2) , b3 ? | a ?1a | 。 且 这种“ T 变换”记作 B ? T ( A) 。 3
继续对数列 B 进行“ T 变换”, 得到数列 C : c1 , c2 , c3 , 依此类推, 当得到的数列各项均为 0 时 变换结束。 (1)试问 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变换”得到的 各数列;若不能,说明理由; (2)设 A : a1, a 2 , a3 , B ? T ( A) 。若 B : b, 2, a (a ? b) ,且 B 的各项之和为 20。求 a , b ; (3)在(2)的条件下,若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最 小值,并说明理由。

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参考答案
一、填空题(本题满分 56 分,本大题共有 14 题,每题 4 分) 1、 3 ? i ; 2、 0,1? ; ? ? 9、 2 3 ; 3、 2; 4、 2; 5、 ; ? 6、

1 ; 2

7、x ?
2

y2 ? 1; 9

8、1;

10、72; 11、

3 ; 12、1536; 13、-3; 5

14、 ②

二. 选择题(本题满分 20 分,本大题共有 4 题,每题 5 分) 15、C ; 16、C ; 17、A; 18、D;

三. 解答题: (本题满分 74 分) 19.(本小题满分 12 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) (1)由题意 在 ?AOP 中, OA ? OP ? 2, ?AOP ? 120 ,所以 AP ? 2 3 ????????? 1 分
0

在 ?BOP 中, OB ? OP ? 2, ?BOP ? 60 ,所以 BP ? 2
0

?????????? 2 分

1 VA1 ? APB ? S?APB ? AA1 3
解得 AA1 ? 4 ,

1 1 8 ? ? ? 2 3 ? 2 ? AA1 ? 3 3 2 3

????????????????????????????? 4 分

S 表 ? 2? ? 2 2 ? 2? ? 2 ? 4 ? 24? .?????????????????????? 6 分
(2)取 AA1 中点 Q ,连接 OQ , PQ ,则 OQ // A1 B , 得 ?POQ 或它的补角为异面直线 A1 B 与 OP 所成的角. ?????????? 8 分 又 AP ? 2 3 , AQ ? AO ? 2 ,得 OQ ? 2 2 , PQ ? 4 , 由余弦定理得 cos ?POQ ?

PO 2 ? OQ 2 ? PQ 2 2 ?? ,??????????? 10 分 2 PO ? OQ 4

得异面直线 A1 B 与 OP 所成的角为 arc cos

2 . ??????????????? 12 分 4

20.(本题满分 14 分;第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分) (1) BP ? t ,0 ? t ? 1 ,??????????????????????????? 2 分

?DAQ ? 450 ? ? , DQ ? tan(450 ? ? ) ?

1? t ?????????????? 4 分 1? t
t ? ?0,1? ???????????
8分

S ? S 正方形 ABCD - S ?ABP - S ?ADQ 1 1 1? t ? 1- t ? ? 2 2 1? t 1 2 ? 2 ? (t ? 1 ? ) 2 t ?1

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1 2 (2) S ? 2 ? (t ? 1 ? ), t ? ?0,1? 2 t ?1 ? 2? 2 ?????????????????? 12 分 当且仅当t ? 2 ? 1时取等号。
探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大值为 2 ? 2 (平方百米) ?? 21. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) (1) 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 10 ? a ? 10 ,???????????????? 又? c ? 2,? b ? 6 ,???????????????????????
2

14 分

2分 4分

x2 y2 ? 椭圆C的方程: ? ? 1 ?????????????????? 10 6

6分

5 3 x? y? 2 ? x ? y ? 4 ? 0 ????????? (2)? 直线l的方程为: 2 ? 3 3
? l1 // l ,?设直线 l1 的方程为: x ? y ? c ? 0 , ?????????????
x2 y2 与椭圆 C : ? ? 1 相交, 10 6
消去 y ,得 8 x ? 10cx ? 5c ? 30 ? 0 , ? ? 100 c ? 32 (5c ? 30 ) ? 0
2 2 2 2

8分 9分

? ?4 ? c ? 4 ??????????????????????????? 11 分
由题意知:直线 l1 到 l 的距离为 2 . 即:

4?c 2

? 2 ? c ? 2 ?????????????????????? 13 分
14 分

所以直线 l1 的方程为: x ? y ? 2 ? 0 ?????????????????

(1) 22.(本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)

? f (0) ? 0,? d ? 0 ,? f ( x) ? ax3 ? cx , ?????????????

2分 4分

? f (? x) ? ? f ( x) ,? f (x) 为奇函数;?????????????????
(2)由已知可得: f (?0.59) ? 0 ; f (?0.56) ? 0 ,

? f (x) 在 ?? 0.59,?0.56 ? 上存在零点,????????????????
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8分

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10 分

? f (x) 在 ?? 0.6,?0.55? 上存在零点; ????????????????
(3) 结论: f (x) 在 ?? ?,?0.35? 是单调递减函数. ?????????????? 理由: 设 x1 ? x2 ? ?0.35

11 分

c 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a( x2 ? x1 )( x12 ? x1 x2 ? x2 ? ) ???????????? a c ? f ( x) ? ax( x 2 ? ) 在 ?? 0.6,?0.55? 上存在零点 a
? ?0.6 ? ? ? c c ? ?0.55,? ? ?? 0.36,?0.3025 ? ???????????? a a

12 分

14 分

2 ? x2 ? 0.1225 , x1 x2 ? 0.1225 , x12 ? 0.1225 ;

2 ? x2 ? x1 x2 ? x12 ?

c ? 0.3675 ? 0.36 ? 0 a

又? a ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0

? f (x) 在 ?? ?,?0.35?是单调递减函数。????????????????

16 分

23. (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) (1)数列 A : 2,6, 4 不能结束,各数列依次为 4, 2, 2 ; 2, 0, 2 ; 2, 2, 0 ; 0, 2, 2 ; 2, 0, 2 ; 以下重复出现,所以不会出现所有项均为 0 的情形.??????????? (2)因为 B 的各项之和为 20,且 a ? b , 所以 a 为 B 的最大项,????? 所以 | a1 ? a3 | 最大,即 a1 ? a2 ? a3 ,或 a3 ? a2 ? a1 . 4分 6分

?b ? a1 ? a2 , ? 当 a1 ? a2 ? a3 时,可得 ? 2 ? a2 ? a3 , ?a ? a ? a . 1 3 ?
由 a ? b ? 2 ? 20 ,得 2(a1 ? a3 ) ? 20 ,即 a ? 10 ,故 b ? 8 . 当 a3 ? a2 ? a1 时,同理可得 a ? 10 , b ? 8 .??????????? (3)数列 B 为 8, 2,10 . 接下来经过“ T 变换”后得到的数列分别为:6,8, 2 ;2, 6, 4 ;4, 2, 2 ;2, 0, 2 ;2, 2, 0 ; 10 分

0, 2, 2 ; 2, 0, 2 ,??

????????????

14 分

从以上分析可知,以后重复出现,所以数列各项和不会更小. 所以经过 4 次“ T 变换”得到的数列各项和最小, k 的最小值为 4.??18 分 (其它解法
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相应给分)

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